提到三體問題，大家可能會想到那本中國科幻小說的里程碑——《三體》。那麼什麼是三體呢？三體問題到底是否可解？有沒有一個可解的公式？很遺憾，一般的微分方程都不存在一個解的公式，因為我們所掌握的函數太有限……
出品："SELF格致論道講壇"公眾號（ID：SELFtalks）
以下內容為美國西北大學夏志宏演講實錄：
今天我要講的是“三體問題和天體運動”。大家可能都知道一本名為《三體》的小說，小說中的很多內容都涉及到了三體運動的一些性質。今天我想從科學的角度講一下三體以及相關的一些很有趣的問題。
三體問題的由來
近代科學是從牛頓開始的。牛頓是一個非常了不起的科學家，也許是人類最偉大的科學家，他發現了牛頓力學，發現了微積分，發現了萬有引力定律。
這是美國一位著名漫畫家畫的一幅有關牛頓發現萬有引力的漫畫。漫畫上有一棵蘋果樹，蘋果樹下坐著的就是牛頓，旁邊有一個掉下來的蘋果。
據說，牛頓在劍橋大學蘋果樹下睡午覺的時候，一個蘋果掉下來砸在了他的頭上，結果觸發了他的靈感，讓他發現了萬有引力定律。當然，這只是一個傳說。
事實上，萬有引力定律的發現經過了牛頓之前幾百年來眾多科學家的共同觀測和辛勤勞動，它是根據許多對太陽系行星的運動觀測數據而總結得來的，其中最著名的科學家應該是開普勒。
開普勒提出了“行星運動三大定律”。這三大定律又是從哪兒來的呢？是從一個叫第谷的天文學家那裡得來的。第谷這個人非常有意思，有興趣的話，大家可以去查一下他的相關資料。
第谷是一位丹麥天文學家，他脾氣暴躁，但是跟皇帝的關係比較好，皇帝還專門給了他一座島，方便他在島上進行天文觀測。
第谷也是最後一位用肉眼觀測行星運動的天文學家。那時的觀測任務非常艱難，不過皇帝給了他很多資源，甚至在島上給他建了一個造紙廠，專供他研究需要使用的紙張。
第谷脾氣暴躁，年輕的時候跟人打架，鼻子讓人家削了。進行天文研究工作一段時間後，新皇帝上位了，但新皇帝不喜歡他，第谷只好去往捷克，因為那時捷克的皇帝很喜歡他，所以他就到了捷克繼續做他的天文學研究。
第谷經常出入捷克皇宮，不過到了捷克4年後，有一次他從皇宮回來後居然死了。當時人們都在爭論為什麼第谷從皇宮回來就死了。
雖然有人懷疑他可能是被毒死的，但更普遍的認為是，他在皇宮喝了太多酒，因為不好意思上廁所，結果活活讓尿給憋死了！他可能是唯一一個讓尿給憋死的科學家。
當然，這種說法一直存在爭議。所以在第谷死了300年後的1901年，人們把他的屍體挖了出來，想確定他是否真的是讓人毒死的。但結果發現，第谷確實沒有中毒，他真是讓尿給憋死的。
特別倒黴的是，又過了100年，人們又在爭議關於第谷的另一件事——第谷因打架讓人給削了鼻子，那後來的假鼻子是用什麼材料做的。
一部分人爭議是用鐵做的，一部分人爭議是用銅做的。所以10年前，第谷的屍體又被挖了出來。經過檢查，他的假鼻子是用鐵做的。這個人真是有趣又倒黴，但就是這個人奠定了萬有引力定律的一個基礎。
剛才說了，牛頓發現了微積分、牛頓力學和萬有引力定律，這三個發現恰好把一個天文學問題變成了一個數學問題。為什麼這麼說呢？因為我們可以根據物理定律來精確計算行星運行的軌跡。
我是南京大學天文系畢業的，但是到美國以後就開始做數學，其實我所做的一部分工作跟天文、數學都有關係。
天文學問題變成數學問題，也就是變成解一組微分方程。大家可能知道，方程有代數方程，也有微分方程。從某一程度而言，預測天體運行就變成了解一個數學的微分方程。
當然，最簡單的是二體問題，比如預測太陽和一個行星的運行軌跡。這時候要解的微分方程相對比較簡單。
二體問題的解人們可以把它寫出來，而且經過簡單訓練的人，都可以寫出二體問題的解。
但三體問題就比較複雜了，這也是我們今天講的主題。
舉一個三體問題的例子。比如研究太陽和兩個行星的運行軌跡，這就構成了一個三體問題。當然，也有可能是兩個像太陽一樣的恆星加一個行星那樣的三體問題。
這張圖中，上面是太陽和一顆行星構成的一個簡單二體問題，它的解是比較規範的，因為星體的運動相對規則。
我給大家畫了一個三體問題的軌跡，你會發現，這三個支點在空間的運轉軌跡是一個非常複雜的形狀，它所描述的軌跡毫無規則，這也是三體問題的一個非常基本的性質——三個天體的運動毫無規則可循。
太陽系除了太陽，還有八大行星，還有冥王星這類的矮行星，還有幾百萬顆小行星，有的行星還有衛星，還有現在沒發現的其他大行星……
所以，僅太陽系這組微分方程就非常龐大非常複雜了，遠遠超過三體問題，是多體問題了。我們現在連三體問題都很難解決，要解決多體問題就更難了。
三體問題是否可解？
三體問題到底是否可解？也就是說，有沒有一個可解的公式？
很遺憾，一般的微分方程都不存在一個解的公式，因為我們所掌握的函數太有限，用初等方法是沒有辦法寫出解來的。
同學們可能知道，代數方程比微分方程要簡單得多。一個二次方程誰都可以解，三次方程稍微看一下書的人也可以解，四次方程可能比較複雜，但也還是可以解的。
到了五次方程以後，就再也不存在初等的解了。也就是說，無法用一個公式把五次方程的解寫出來。當然，這並不是說五次方程沒解，五次方程肯定有五個根，它肯定是有解的，但是我們沒有辦法把它的解用公式的形式寫出來。
著名的伽羅瓦理論和阿貝爾定理，都在講五次方程不存在一個初等形式的解。
但是在牛頓所處的時代，還是有很多人試圖解微分方程，他們最想做的事是找首次積分，也叫經典解。
解方程需要找首次積分。能量積分、角動量積分、動量積分，這都是首次積分。人們花了幾百年的時間想找三體問題的其他首次積分，但非常遺憾的是，直到現在，現代數學還是證明不存在其他的首次積分。
也就是說，用這種經典的方法去解三體問題是不可能的，在經典意義下，三體是不可解的。
不可解反應到實用上是什麼意思呢？就是我們無法寫出一個公式，也就無法告訴你們一個確切的時間。
比如，你想知道一百萬年以後太陽系是什麼樣子的，但因為三體問題沒有一個解的公式，因為我寫不出來公式，所以就無法告訴你答案 。
不過，寫不出來不等於沒有解，解還是有的，只是我寫不出它的公式。
當然，我們可以讓計算機去計算，但這中間涉及到另一個問題——誤差。讓計算機去算是有誤差的。短期之內誤差很小，時間越長，誤差越大。
所以，幾千年、幾萬年、幾百萬年以後，到底會發生什麼，用現在計算機算出來的解去解答，還是不可信的。
這也就說明，我們沒有辦法預測行星運動的未來。雖然沒法預測，但我們還是想知道行星運動的大概情況。
比如，太陽系是不是穩定的。
我們寫不出解，但能否用其他數學分析方法得出太陽系是穩定的這個結論呢？畢竟這對我們來說還是挺重要的。如果太陽系不穩定，地球離太陽太遠，就太冷了；離太陽太近，又太熱了。
小說《三體》中就描述到，因為三體運動非常沒有規律，所以有時候三個太陽同時出現，過高的溫度把人全都燒死了，甚至燒成另外一種形態的生命。所以，我們對這類問題還是很感興趣的。
牛頓認為行星運動是不穩定的。不過，牛頓雖然是一位偉大的科學家，但他非常相信上帝，他的下半輩子一直想試圖用數學方法去證明上帝的存在。他甚至認為，太陽系不穩定，但如果有上帝幫忙，如果上帝每隔一段時間來推動一下地球，就可以解決問題了。
現在的人們很難相信，牛頓居然花了很長的時間用數學公式去推導上帝哪天會來推地球。
雖然牛頓生活在文藝復興時期，那時大家的思想比較開放，但牛頓的這種想法仍然受到了眾多科學家的批判。
其實，那時候基本上所有的大科學家都想研究三體問題，因為這是一個大的沒法解決的問題。每個科學家都有自己的想法，有的認為行星運動是長期穩定的，有的認為不穩定，他們都有自己的想法和證明方法。
但是，通過這麼多年的觀測和研究，人們越來越認識到，在物理世界，穩定的現象其實是罕見的，不穩定才更常見。這種不穩定現象，套用一個現代的詞彙，就叫作“混沌”。
什麼是混沌？
下面我要告訴大傢什麼是混沌，希望聽完之後，你們也可以輕鬆地告訴其他人什麼是混沌。
提到“混沌”，就不得不說一段有趣的歷史。這是奧斯卡二世的畫像，他同時也是當時瑞典和挪威的皇帝。
奧斯卡二世是一個很有意思的人，他非常喜歡藝術、科學，讀的數學書也很多，經常請一些科學家去為他講座。
在他七十大壽的前兩年，有個叫Mitag-Lefler的數學家建議他成立一個科學大獎，這個大獎將在兩年後皇帝七十大壽的宴會上頒發。這個獎就是為誰能解決三體問題而設置的。當然，我們現在知道三體不可解，所以這個獎其實是白設的。
很多人疑惑為什麼諾貝爾獎不設立數學獎，據說是因為Mitag-lefler把諾貝爾的夫人搶走了。當然，這也是一個傳說。
奧斯卡二世特別喜歡科學，某一天他請巴黎大學的一個數學家去宮廷講數學，這個數學家叫潘勒維 。潘勒維是法國第84屆和第92屆總理，同時，他還是一個數學家。
在為奧斯卡二世做講座的時候，他提出了潘勒維猜測（在幾個星體通過萬有引力相互作用的情況下，其中某個星體可能在有限時間內，被其他星體甩到無限遠的地方去）。潘勒維猜測提出近100年後，到最後是我在我的博士論文裡終於把這個問題給解決了。
為什麼我能解決呢？其實是因為我們現在對三體或者多體的系統有了更進一步的認識，我們知道了一種叫“混沌”的結構，我就是用混沌的機理去解決潘勒維猜測的。
回到剛才說的奧斯卡二世設置的大獎。跟潘勒維一起參與奪獎的還有另一位數學家龐加萊。龐加萊對數學的影響也非常大。
當時，龐加萊寫了一篇文章，宣稱自己解決了三體問題，於是評獎委員會將奧斯卡二世大獎頒給了他。但我們知道，三體問題不可解。
事實上，龐加萊的一個學生很快就發現他的文章裡有一個致命的錯誤。這就麻煩了。大獎居然頒給了發表錯誤文章的龐加萊。龐加萊開始意識到三體問題的複雜性，所以他重新寫了一篇文章，裡面首次提到了混沌現象。
最後，評委會主席Weierstrass認為，儘管龐加萊沒有解決三體問題，但因為重寫的新文章非常重要，所以仍然決定把大獎頒給他。
有趣的是，大獎金額約是龐加萊兩個月的工資，但因為他寫錯了一篇文章，自己必須重新寫、重新印刷，重新發行印有文章的那期雜誌，結果花了他四個月的工資，算下來，他還虧了兩個月的工資呢。
混沌與不穩定性
什麼叫混沌？我們從這幅簡單的漫畫說起。這幅漫畫所講述的故事可能有人聽說過。
畫中跪在地上的是一位印度數學家，他手上抓著一個國際象棋的棋盤，畫中坐著的是印度皇帝。這位數學家發明了國際象棋，皇帝決定給他一個獎賞。
數學家說很簡單，我要的獎賞是：你在棋盤的第一個格子上放1顆麥子，在第二個格子上放2顆麥子，在第三個格子上放4顆麥子，在第四個格子上放8顆麥子……以此類推，你只要把這個棋盤的格子都放滿了就行了。
皇帝一聽，心想這很簡單，不過是幾顆麥子而已。
但我們來看一看，如果要滿足要求，到底需要多少顆麥子呢？棋盤上一共有64個格子，那就需要264-1顆麥子！我們換算一下，看看一共需要多少升麥子。是140萬億升麥子！
從人類種麥子到現在，全球生產的麥子也沒有這麼多。按照現在的產量，估計要2000年以後才能把這麼多麥子生產出來。
這個例子說明，經過一次一次的加倍，加到63次倍以後，這個數字將變成一個天文數字。所以，任何數據都不能一次一次地加倍。
比如，想要GDP每7年就加倍一次，如果真按這個速度算下去，那將是一個天文數字。所以，幾何級數的增長速度特別快。
這跟我們的物理系統有什麼聯繫呢？舉個例子。假如我在一個盒子裡放幾個空氣分子，我先測量這些分子的初始位置和初始速度，並且有很小的誤差。
通過觀察這些分子的運動情況，你會發現，因為分子運動是非常不穩定的，所以不到一秒鐘，誤差就會加倍。再隔一秒鐘，誤差又會加倍。我說一秒鐘，其實不到一秒鐘誤差就會加倍。
也就是說，60秒鐘以後，原來的誤差值就可能變成剛才你們看到的那個天文數字了。
這說明一個物理系統，如果微觀狀態下小的誤差一直在加倍，那這個誤差就會對這個系統產生非常大的影響。
當然，數值雖然很大，但盒子的大小限制了分子的運動，分子運動到盒子邊緣後會被反彈回來，所以從整體來講，它的誤差不會達到那個天文數字。但是從局部、從微觀來講，它的誤差可以讓原來那個系統和預測的系統完全不一樣，這就是為什麼我要舉這個例子的原因。
我想說明，一個混沌的動力系統，小的偏移或者偏差可以導致誤差以指數級形式增長，但是整體誤差還在盒子的限制範圍內。
所以，什麼叫混沌？混沌就是在小範圍、在微觀狀態上，誤差呈指數形式增長。 在數學上，這叫正的Lyapunov指數，這是一個數學詞彙，也是今天唯一的一個數學詞彙。
混沌說明什麼？說明將來不可預測。
為什麼將來不可預測？因為最開始測試的精度精確到多少都沒有用，一分鐘以後的那個系統已經完全跟原來的系統都什麼沒關係了。這就是一個混沌的動力系統將來不可預測的原理。
混沌系統的應用
什麼樣的系統是混沌系統呢？比如，氣象系統。大家可能聽說過“蝴蝶效應”。原本天氣預報說北京今天有暴風雨，但實際並沒下雨，為什麼呢？
原來，兩個星期以前，在地球另一邊的芝加哥，有一隻蝴蝶突然抖了一下它的翅膀，對空氣產生了擾動。
就是這麼一個小的波動，一秒鐘後可能就變成兩倍大小的波動，再等一秒鐘，就變成四倍大小的波動……兩個星期以後，“蝴蝶效應”影響到了北京，所以今天北京是晴空萬里，沒有下雨。
如此說來，想要準確預告天氣，就必須知道芝加哥每一隻蝴蝶兩個星期前都幹了什麼。但是，還有很多比蝴蝶大得多的物體，比如飛機、火車，這些都非常大。
另外，要準確預告兩個星期以後的天氣，還必須把芝加哥所有東西的運動都弄清楚。當然不僅芝加哥，紐約也一樣。所以，不要指望看了天氣預報，你就可以淡定地安排週末去爬山，沒準兒週末突然下大雨了。
但你不要怪氣象局，這跟氣象局關係不大，要怪就怪混沌的動力系統吧，氣象系統就是一個混沌的系統。
有很多混沌的系統，三體問題現在就被證明是一個混沌系統，這也是為什麼三體是一個非常複雜的運動。氣象系統、湍流力學系統都是混沌的系統。
另外我剛才說了，為什麼我能證明潘勒維猜測？就是因為我證明了天體運動裡有一套特殊的混沌動力系統。
因為時間關係，我沒法給大家解釋我證明的到底是什麼，如果大家感興趣，可以去看一本名叫《天遇》的書。那是一本英文科普書，書中介紹了我的相關工作，現在有中文譯本。
最後我要講一個混沌系統應用的例子。1991年4月，日本發射了一個名叫Hiten的月球探測器，但探測器上天后，科研人員卻發現燃料不夠，無法到達月球軌道。
於是，日本向美國宇航局求救，美國宇航局派了一位名叫Belbruno的數學家來幫助日本人。
Belbruno重新設計了軌道，最後終於把這個探測器重新送回到了月球軌道上。Belbruno就是利用了有限燃料把探測器送到一個混沌區域。
混沌區域不是不可預測嗎，那麼，稍微花一點燃料推動一下探測器，就會對探測器的運動產生特別大的影響。
所以，只要把探測器放到一個合適的地方就有利；如果這個地方不合適，那稍微讓它抖動一下。
有一天，Belbruno突然給我打了一個電話。他說我寫的一篇文章從理論上證明了哪個區域最容易產生混沌效應。
他說，當時自己花了一個月的時間去設計新的軌道，假如那時就知道我的那篇文章，可能只要花幾天時間就可以重新設計出軌道，就可以把月球探測器給救下來了。
過了幾年，美國休斯公司發射一顆衛星後遇到了同樣的問題：衛星上天后燃料不夠，無法達到預定軌道。
這時，Belbruno輕車熟路，重新設計了軌道，成功地把那顆衛星送到了預定的軌道上。所以，這是一個非常有趣的關於混沌系統的應用例子。
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