當我們認識自然數之後，我們就會從1開始數數，1、2、3、4……，於是我們發現，
這麼數下去永遠數不到頭啊，無窮無盡，因而誕生了一個叫做“無窮”的概念，那無窮是什麼？01、無窮的初步試探
其實古人也早就提出過關於無窮的思考，莊子曾經說過：一尺之木，日取其半，萬世不竭。
一尺長的木頭，每天砍一半，那麼將取之不盡用之不竭，永遠都用不完，聽起來好像是這麼回事，我每天只取一半，雖然會越來越小，卻始終會有。
就在差不多同時代的西方，古希臘數學家芝諾也提出過類似這個問題的悖論，以其名字命名故而稱為“芝諾悖論”，芝諾一生提出過40多個悖論，其中也有一些涉及到無窮的概念，舉兩例。
1、二分法
在一個移動的物體在到達終點之前，必須得到達這段路程的中點，接著以中點為新的起點，在到達終點之前必須達到新的中點，以此類推，這個物體只能不斷地到達中點卻永遠也到達不了終點。
按照這麼個理論，我永遠出不了我家大門，地鐵永遠到不了下一站，甚至降雨永遠落不到地上，那這個世界不亂套了嘛，顯然這並非是事實，所以才叫悖論。不用驚慌，真實的世界好著呢。
2、阿基里斯與烏龜
阿基里斯是古希臘的英雄，以長跑著稱，芝諾表示，兄弟不是我磕磣你，你連一隻烏龜都追不上，他解釋到，假如烏龜在阿基里斯前方，兩者同時開始賽跑，如果阿基里斯想追上烏龜，就必須先到烏龜的位置，而這段時間烏龜必然會向前跑一段距離，如果阿基里斯又跑到那個位置，烏龜又會往前挪一點點。
以此類推，雖然說兩者之間的距離不斷縮小，但是阿基里斯永遠追不上烏龜。
兩者的共同之處在於，需要在有限的時間內完成無數個運動的過程，雖然芝諾也知道這個說法肯定不對，但他並不明白為什麼可以這樣，於是索性讓大家也一塊不明白。
02、解密芝諾悖論
我們先從第二個問題著手，假設烏龜 領先阿基里斯1米，阿基里斯速度為2米每秒，烏龜速度為1米每秒，為了方便計算所以如是設計數據，
第一個運動過程需要½秒（阿基里斯到達龜神的起點，烏龜前進½米），
第二個運動過程需要¼秒（阿基里斯到達龜神運動一的地點，烏龜前進¼米）
第三個運動過程需要⅛秒（阿基里斯到達龜神運動二的地點，烏龜前進⅛米）
以此類推，
阿基里斯需要多久才能追上烏龜呢？
先把這些時間加起來：
½+¼+⅛+……
這麼一直加下去會等於多少呢？會是無窮大還是會等於一個數值？這是芝諾無法解決的問題，也是他提出這個悖論的依據，那麼這個結果到底會是什麼樣呢？
先考慮
的結果，根據等比數列的求和公式，可知結果為
秒，那麼一直加下去結果會等於多少呢？
其實距離正確答案已經非常接近了，但差的這點卻等到好久之後才真正解決——極限思想的出現。
當n趨近於無窮大的時候，我們會認為
等於0，所以
等於1。
運用極限的思想，我們可以將有限求和
拓展到無限相加
<strong>所以無窮相加的結果並非也是無窮，可以是個確定的數！！
然而這放在芝諾的時代，由於這方面的理論基本為零，因此他才能以此來忽悠大眾，因為理論的缺失使得無法給他正面一擊。
當然，也不是所有人都束手無策，最早作出這方面探索的應屬阿基米德。
03、阿基米德有話要說
兩個世紀後，阿基米德在求證拋物線面積的時候，得出：拋物線圍成的面積正好等於內接三角形面積的<strong>三分之四倍。
阿基米德說道，三角形面積會近似等於拋物線圍成的面積，通過不斷取中點的方式不斷逼近拋物線圍成的面積，而每次增加的面積都是前一次的四分之一<strong>（紅色部分面積為綠色部分面積的四分之一），所以，假設△ABC的面積為1，那整個面積便是：
在論述最後結果的時候，同樣因為沒有極限的理論 ，面對質疑，阿基米德解釋道，你無法說明
也無法證明
所以結果只能是
雖然並沒有解釋明白，但阿基米德肯定了這個計算的結果，在正確的方向邁出了堅實的一步。
04、幾何級數
還是藉助圖形來解釋問題吧，這樣看圖就行了，如下，作邊長為1的正方形，隨後不斷對其進行切割，
於是便有了：
同樣阿基米德的問題也可以作去下設計，
作一個面積為三分之四的正方形，如下：
第一塊麵積佔整體的¾，
所以第一塊麵積為：
第二塊面積為：
第三塊面積為
以此類推，再把每塊面積相加，
我們可以推出：
為紀念這一和式的
幾何圖形解讀，我們也將其稱為幾何級數，一般式：
有限可以相加，無限同樣也可以，芝諾悖論給我們展示了最早對於無窮的思考，雖然其結果看似荒謬，也正因如此，才激勵著後代不斷地投身其中。2000後，希爾伯特、康托爾等一批數學家再次將無窮擺在世人眼前，連續統假說也位列20世紀待解決的23大數學問題之首。
而悖論，其本身可能並沒有多大的意義，但總能催促著我們思考。
世上沒有絕對的真理。
不知道這句話，是不是絕對的真理？
謝謝閱讀，以上都是瞎編的。
#疫情期間一起學#
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