線段型最值問題是歷年中考命題的熱點，常在壓軸題中出現，由於此類問題都是變化過程中，圖形大小或形狀是隨動點的運動而變化的，學生很難把握變化圖形的形狀及其大小，故大多數學生遇到最值是"談虎色變"不敢下手或無從下手，本文擬通過實例分析，一起探討線段型最值問題的三種解題策略。
利器一：化斜線為垂線，利用垂線段最短求解
1．（2019秋•南丹縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分線交BC於點D，E，F分別是線段AD和AB上的動點，則BE+EF的最小值是_____．
【解析】：方法一：如圖1所示，在AC邊上截取AB′＝AB，作B′F⊥AB於點F，交AD於點E，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠B′AE，AE＝AE，∴△ABE≌△AB′E（SAS）．
∴BE＝B′E，∴B′F＝B′E+EF＝BE+EF，
∵垂線段最短，∴此時BE+EF最短．
∵AB＝AB′＝6，∠BAC＝30°，∴B′F＝1/2AB′＝3．故答案為3．
方法二：如圖2所示,在AC邊上截取AG＝AF，連接BG交AD於點E，作BH⊥AC於點H，
同方法一：得△AEG≌△AFG（SAS）,∴EG＝EF，∴BG＝BE+EG＝BE+EF，
當BG垂直於AC時最短，即BH的長最短，
∵AB＝6，∠BAC＝30°，∴BH＝3．故答案為3．
2．（2020•新撫區二模）如圖，邊長為5的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個動點，連接MB，將線段BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接HN．則在點M運動過程中，線段HN長度的最小值是_______．
【解析】取CB的中點G，連接MG，根據等邊三角形的性質可得BD＝BG，再求出∠HBN＝∠MBG，根據旋轉的性質可得MB＝NB，然後利用"邊角邊"證明∴△MBG≌△NBH，再根據全等三角形對應邊相等可得HN＝MG，然後根據垂線段最短，MG⊥CH時，MG最短，即HN最短，
此時∵∠BCH＝1/2×60°＝30°，CG＝1/2AB＝1/2×5＝2.5，
∴MG＝1/2CM＝1/2×2.5＝1.25，∴HN＝1.25，故答案為：1.25．
3．（2020•新撫區二模）在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝5，AC＝2√2，D是BC邊上的動點，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到線段AE，連接EC．
（1）如圖a，求證：CE⊥BC；
（2）連接ED，M為AC的中點，N為ED的中點，連接MN，如圖b．
①寫出DE、AC，MN三條線段的數量關係，並說明理由；
②在點D運動的過程中，當BD的長為何值時，M，E兩點之間的距離最小？最小值是_____，請直接寫出結果．
【解析】（1）如圖a，過點A作AH⊥AC交BC於H，由"SAS"可證△HAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠AHD＝45°，可得結論；
（2）①如圖b，連接AN，CN，由直角三角形的性質和等腰三角形的性質可得AN＝CN＝DN＝EN＝1/2DE，MN⊥AC，AM＝CM＝1/2AC，由勾股定理可得結論, MN²+1/4AC²＝1/4DE²;
②根據垂線段最短即可解決問題．如圖c中，
由（1）可知∠ECB＝90°，∴CE⊥BC，
∴當ME⊥EC時，ME的值最小，
在Rt△ABC中，∵AH＝AC＝2√2，∴HC＝4，
∵AM＝MC＝√2，
在Rt△CME中，∵∠ECM＝∠CME＝45°，
∴EC＝EM＝1，由（1）可知：△HAD≌△CAE，∴HD＝EC＝1，
∴CD＝4﹣1＝3，
∴BD＝5﹣3＝2，∴當BD＝2時，EM的值最小，最小值為1。
方法歸納：
1、由上述例題可以發現"斜大於直"問題考察題型較為廣泛，可以是單一線段最值，也可以是多條線段最值，還能是含係數的線段和的最值問題，無論是哪一種題型，都可以利用轉化思想對問題進行巧妙處理。
1）單線段的最值常見於直線型的點到直線的距離，利用"隱點"和"隱線"加大題目難度
2）多線段和的最值始終遵循"同化異，折化直"的解題思路，如遇線段係數，通過三角函數進行轉化
2、始終抓住"斜大於直"進行解題
利器二：利用將軍飲馬模型，化折線為直線
4．（2019秋•恩施市期末）如圖，△ABC中，AB＝16，BC＝10，AM平分∠BAC，∠BAM＝15°，點D、E分別為AM、AB的動點，則BD+DE的最小值是______．
【解析】：作BF⊥AC於點F，如圖所示，
∵在△ABC中，AB＝16，BC＝10，AM平分∠BAC，∠BAM＝15°，∠BFA＝90°，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BF，∴BF＝8，
∵AM平分∠BAC，點D、E分別為AM、AB的動點，F
∴BD+DE的最小值是BF，∴BD+DE＝8，故答案為：8．
5．（2019秋•平谷區期末）如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝2，AD是BC邊上的高，E是AC的中點，P是AD上的一個動點，則PE+PC的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．√3 D．2√3
【解析】根據等邊三角形的三線合一的性質，連接BE交AD於點P，此時PB＝PC，即可得到PE+PC的最小值即為BE的長．如圖，連接BE交AD於點P′，
∵，△ABC是等邊三角形，AB＝2，AD是BC邊上的高，E是AC的中點，
∴AD、BE分別是等邊三角形ABC邊BC、AC的垂直平分線，
∴P′B＝P′C，P′E+P′C＝P′E+P′B＝BE，根據兩點之間線段最短，點P在點P′時，PE+PC有最小值，最小值即為BE的長．利用勾股定理可求得BE＝√3，所以P′E+P′C的最小值為√3．故選：C．
6．（2019秋•碑林區校級月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝AD．連接AC，若AC＝5√2，則CD+CB的最小值為_____．
【解析】根據旋轉的性質將三角形ADC繞點A旋轉90度到三角形ABE，使DC和BC在一條直線上，根據等腰直角三角形的性質即可求解．如圖
易得△ABE≌△ADC，∴AE＝AC＝5√2，BE＝DC，∠EAB＝∠CAD，
∴∠EAC＝∠BAD＝90°，∴利用勾股定理可求得EC＝10，∴CD+CB＝CB+BE＝EC＝10．
7．（2018秋•碑林區期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC，∠DAC＝30°，AC＝2，設Q，R分別是AB、AD上的動點，則△CQR的周長最小值是______．
【解析】：如圖所示：
分別作點C關於AB、AD的對稱點E、F，連接EF與AB、AD交於點Q、R，
此時△CQR的周長最小．根據對稱性得：CR＝ER，CQ＝FQ，∴CR+CQ+QR＝ER+FQ+QR＝EF，∴△CQR的周長即為EF的長．
在Rt△ADC中，∵∠DAC＝30°，AC＝2，∴CD＝1，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∴BC＝AC•sin45°＝√2,
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴A、B、C、D四點共圓，∴∠CDB＝∠CAB＝45°，
∠CBD＝∠CAD＝30°，在△CBD中，作CH⊥DB於H，
8．（2019秋•黃石港區校級期中）如圖，∠AOB＝20°，點M，N分別是邊OA，OB上的定點，點P，Q分別是邊OB、OA上的動點，記∠MPQ＝α，∠PQN＝β，當MP+PQ+QN最小時，則β﹣α的值為______．
【解析】：如圖，作M關於OB的對稱點M′，N關於OA的對稱點N′，連接M′N′交OA於Q，交OB於P，則MP+PQ+QN最小，
∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，
∴∠QPN＝1/2（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝20°+1/2（180°﹣β），
∴180°﹣α＝40°+（180°﹣β），∴β﹣α＝40°．
方法歸納：求有關折線最小問題，通常情況下都是將折線問題化為直線，利用"兩點之間線段最短"進行求解。
利器三：藉助方程或函數知識，化幾何為代數
方法歸納：將斜線轉化成直線，或將折線轉化成直線，通常要用幾何變換，需要學生有比較敏銳的眼光，一般學生很難想到，這時不妨將幾何問題代數化，將其轉化成函數的最值問題或一元二次方程根的存在性問題。
在解決有關線段和的最小值和最大值的問題的時候，我們採用的數學思想方法是“化折為直”，有時需要通過對稱變換作轉化，然後根據“兩點之間線段最短”這個知識來解決問題，這是將軍飲馬類問題的解題思想，將軍飲馬類問題根據定點個數和動點個數可以分為以下幾類：一動點兩定點（將軍飲馬原型），一定點兩動點，兩定點兩動點，其中包括兩動點之間距離不變的問題，我們稱之為沿河飲馬問題，統統這些問題的解題策略都是：作軸對稱變換，然後化折為直，利用兩點之間線段最短來解決問題。
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