05.05 基本圖形分析法專題——平行線型相似三角形（一）

長期以來，幾何是一門教師感到難教，學生感到難學的學科。學生在學習幾何的過程中，最迫切地想要知道的就是幾何問題思考方法、分析方法的規律性，最迫切地想要知道的就是幾何問題中添加的每一條輔助線是怎樣想出來的。由於傳統的幾何教學無法對學生的這些期待給出直接的、明確的、準確的、科學的回答，所以籠罩在學生幾何學習過程中的畏懼心理難以得到根本上的消除，這也就是幾何難教、難學之根本所在。

幾何問題最大的困難就在於添輔助線，任何一種成功的幾何分析方法都必須對添輔助線的問題作出正確的、科學的回答，都必須正確地揭示、並使學生能夠掌握添輔助線的規律性。應用基本圖形分析法將問題從原來著眼的“線”聚焦到“圖形”上，就是因為找到的基本圖形在原有的圖形中不完整，從而無法應用基本圖形的性質，所以在應用性質之前必須將不完整的基本圖形補完整，也就是添輔助線實質上是將不完整的基本圖形補完整的結果，因此，只要找到基本圖形，輔助線也就必然正確地添出來了。所以學生學習了基本圖形分析法，就能在很短的時間裡進入“一看就明白，一想就出來”的境界，從而可以從根本上消除學生對幾何學習的畏懼心理。

基本圖形分析法就是：將一個幾何問題的圖形，分解、剖析成一個或若干個基本圖形，當基本圖形不完整時，通過添加輔助線將不完整的基本圖形補完整，然後應用基本圖形的性質，使問題得到解決的幾何分析方法。

下面介紹基本圖形分析法中關於平行線型相似三角形的內容：

（1）由三角形內一條邊的平行線得到的平行線型相似三角形

△ABC中，D是AB上的一點，E是AC上的一點，DE∥BC => △ADE∽△ABC，AD/AB=DE/BC=AE/AC

上述比例關係可以分別寫成三個比例式，對這三個比例式進行描圖，可以發現至少有一組相比線段是重迭在以直線上，所以相比兩線段重迭在一直線上是平行線型相似三角形最重要的位置特徵。

平行線型相似三角形應用的第一種情況是出現了三角形內一條邊的平行線段，這時可直接應用平行線型相似三角形的基本圖形的性質進行證明，如果這條平行線段還沒有和三角形的邊相交，那就延長到相交。

平行線型相似三角形應用的第二種情況是出現了相比兩線段重迭在一直線上，這時就可添加平行線型相似三角形進行證明，添加的方法是過端點和內分點作平行線。

平行線型相似三角形應用的第三種情況是出現了兩組相比兩線段都重迭在一直線上，且兩兩連結四個端點的線段的延長線相交，這時就可添加平行線型相似三角形進行證明，添加的方法是將端點和端點、內分點和內分點分別連結，這兩條連線一定平行，並組成平行線型相似三角形。

平行線型相似三角形應用的第四種情況是出現了相比兩線段是平行線段，這時就可添加平行線型相似三角形進行證明，添加的方法是兩條平行線段的四個端點兩兩連結，並延長到相交，組成平行線型相似三角形。

例1，已知：△ABC中，延長BA到D，延長BC到E，連結DE，BA/BD=AC/DE，AC、DE的延長線相交於F，求證：FC=FE

分析1：本題的條件中給出的BA/BD=AC/DE，是線段之間的比例關係，所以首先應進行描圖，搞清楚比例線段的位置關係，

經過描圖可以發現BA和BD這兩條相比線段現在重迭在一直線上，所以可應用或添加平行線型相似三角形進行證明，

添加的方法是過端點和內分點作平行線，所以首先要選擇過端點或內分點的線段為平行方向線段，現在重迭的相比線段的兩個端點是B、D，內分點是A，圖形中過B、D、A的線段分別是BC、AC、DE，所以選取平行方向線段就出現了三種可能性，

如取BC為平行方向線段，則平行線可過內分點A作，也可以過另一個端點D作，

若首先選取過內分點A作平行線，則過A作AG∥BC交DE於G，

就可得BA/BD=EG/ED，而已知BA/BD=AC/DE，從而可推得AC=GE，

而在作出AG∥BC後，又出現了CE是△FAG內一條邊AG的平行線段，所以又可應用由三角形內一條邊的平行線段得到的平行線型相似三角形的基本圖形的性質進行證明，從而又可得FC/AC=FE/GE，所以FC=FE就可以證明。

分析2：若平行線選取過另一個端點D作，那就要作到與過內分點A的直線相交，這時就構成由三角形外一條邊的平行線段得到的平行線型相似三角形，於是過D作DG∥CB交CA的延長線於G，就可得△ABC和△ADG相似，

也就可推得BA/BD=CA/CG，而已知BA/BD=AC/DE，從而可推得DE=GC，

而在作出DG∥CB後，又出現了CE是△FGD內一條邊GD的平行線段，所以又可應用由三角形內一條邊的平行線段得到的平行線型相似三角形的基本圖形的性質進行證明，從而又可得FC/CG=FE/ED，所以FC=FE就可以證明。

分析3：如選取過內分點A的線段AC為平行方向線段，那麼平行線就可以過端點D作，也就是過D作DG∥AC交BE的延長線於G，就可得△ABC和△DBG相似，

所以BA/BD=AC/DG，而已知BA/BD=AC/DE，從而可推得DE=DG，

而在作出DG∥CB後，又出現了DG是△FCE外一條邊CF的平行線段，所以又可應用由三角形外一條邊的平行線段得到的平行線型相似三角形的基本圖形的性質進行證明，從而又可得△FCE和△DGE相似，

由於DE=DG，所以FC=FE就可以證明。

分析4：如選取過端點D的線段DE為平行方向線段，那麼平行線就可以過內分點A作，也就是過A作AG∥DE交BC於G，就可得△ABG和△DBE是一對由三角形內一條邊的平行線得到的平行線型相似三角形，

所以，BA/BD=AG/DE，而已知BA/BD=AC/DE，從而可推得AC=AG，

而在作出AG∥DE後，又出現了AG是△FCE外一條邊EF的平行線段，

所以又可應用由三角形外一條邊的平行線段得到的平行線型相似三角形的基本圖形的性質進行證明，從而又可得△FCE和△ACG相似，

由於AC=AG，所以FC=FE就可以證明。