数学的生命在于不断变换，凭借变换群充分发掘数学各部分的内在联系并获得应用实效.变换不但是解答难题的锐利武器，而且在现代数学理论中也发挥着巨大作用.
某些平面几何问题，由于图形中的几何性质比较隐晦，条件分散，题设与结论间的某些元素的相互关系在所给的图形中不易发现，使之难以思考而感到束手无策.如果我们能对图形作各种恰当的变换，把原图形或原图形中的一部分从原来的位置变换到另一个位置，或作某种变化，往往能使图形的几何性质明白显现，分散的条件得到汇聚，就能使题设和结论中的元素由分散变为集中，相互间的关系变得清楚明了，从而能将求解问题灵活转化，变难为易.我们把这种恰当地进行图形变换来求解平面几何问题的方法称为几何变换法.
将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换.平面几何中的几何变换主要有合同变换、相似变换、等积变换以及反演变换.
在一个几何变换下，如果任意两点之间的距离等于变化后的两点之间的距离，则称之为合同变换.合同变换只改变图形的相对位置，不改变其形状和大小.合同变换有三种基本类型：平移变换，轴反射变换，旋转变换.而尤为突出的是围绕着旋转变换产生的最值问题，是考试考查的重难点．不少同学对于此类问题，很畏惧感觉束手无策，没有有效的解题思路和方法．
典型考题
1.平面直角坐标系中，C（0，4），K（2，0），A为x轴上一动点，连接AC，将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，当点A在x轴上运动，BK取最小值时，点B的坐标为______．
先来具体分析条件，并产生“合理想象”：
①旋转可得等腰三角形，旋转90°可得等腰直角三角形，本题如果从B引X轴的垂线，就可以得到“一线三等角”全等；
②关注题中的数据，有很多直角三角形，计算考虑使用勾股定理；
③几何最值，常常需要考虑“垂线段最短”等几何依据；
④如果数量关系是一元二次形式，考虑配方法求最值；
⑤几何最值，几何处理常常要有“轨迹”意识，哪些点是“主动点”哪些是“从动点”，进一步升格到“种瓜得瓜种豆得豆”的“因果处理”……
方法1：设A（a,0），BD⊥x轴，“一线三等角”染色三角形全等，AD=OC=4,继而可以表示AK=2-a;而KD=AD-AK=2+a.在直角三角形△BDK中，勾股定理表示出BK=BD+DK,配方法可以得到当a=-1时，BK取最小值。再作出a=-1时的图形，求出B点坐标即可。
方法2：处理几何最值问题，大多是动点涉及轨迹，就是一定要有“轨迹思维”！明白图形“因何而动”，“谁主动”“谁被动”！
①显然本题，由于A点在X轴动来动去，从而带动AC动，AC旋转得AB从而引发AB“被动”，
②继而最终引发BK的“动”，且BK有最小值。
③而K是不动死点，所以最终我们要关注B点是怎样“动”的。
④而这一切都源于始作俑者A点的“动”，所以A点和B点是“父子关系”——种瓜得瓜种豆得豆！
⑤A点在X轴动，A点的轨迹是“直线”，所以“父子影随关系”可知B点轨迹也应该是“直线”！这就是“瓜豆原理”，“轨迹遗传”！
⑥根据上述分析，结合上图，可以确定B点的轨迹是直线。需要明确，如何求出这条直线的解析式呢？我们知道“两点确定一条直线”，只需要算出两个“特殊点”的坐标即可：
⑦万事俱备，利用“垂线段最短”，当KB⊥轨迹线时候，KB最短。
⑧由此，B点“定位”处理到位了，剩下的就是“定量”计算求B点坐标了，根据轨迹直线y=x-4,它的“斜率为1”与轴夹角45°，很容易计算B点坐标为（3，-1）.
详细规范解法如下：
【解】：如图，作BH⊥x轴于H．
∵C（0，4），K（2，0），∴OC＝4，OK＝2，
∵AC＝AB，∵AOC＝∠CAB＝∠AHB＝90°，
∴∠CAO+∠OCA＝90°，∠BAH+∠CAO＝90°，∴∠ACO＝∠BAH，
∴△ACO≌△BAH（AAS），∴BH＝OA＝m，AH＝OC＝4，
∴B（m+4，m），令x＝m+4，y＝m，∴y＝x﹣4，
∴点B在直线y＝x﹣4上运动，设直线y＝x﹣4交x轴于E，交y轴于F，
作KM⊥EF于M，则直线KM的解析式为y＝﹣x+2，
由y=-x+2, y=x-4，联立方程组解得x=3,y=-1.，∴M（3，﹣1），
根据垂线段最短可知，当点B与点M重合时，BK的值最小，此时B（3，﹣1），故答案为：（3，﹣1）
方法点睛：通过构造旋转型全等，实现了"从哪儿来，回哪儿去"的目的，使问题得到转化，思路变得清晰。
变式．（2019春•江都区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B为x轴上一动点，以AB为边在AB的右侧作等腰Rt△ABD，∠ABD＝90°，连接OD，则OD+AD的最小值是_____．
【解析】如图，作DH⊥x于H，利用全等三角形的判定与性质证明点D在直线y＝x﹣3上运动，O关于直线y＝x﹣3的对称点E′，连接AE′，求出AE′的长即可解决问题．
∵∠AOB＝∠ABD＝∠BHD＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠ABO+∠DBH＝90°，∴∠BAO＝∠DBH，
∵AB＝DB，∴△ABO≌△BDH（AAS），∴OA＝BH＝3，OB＝DH，
∴HD＝OH﹣3，∴点D在直线y＝x﹣3上运动，
作O关于直线y＝x﹣3的对称点E′，连接AE′交直线y＝x﹣3于D′，此时OD+AD最小，最小值为AE′，
∵O（0，0），O关于直线y＝x﹣3的对称点为E′，∴E′（3，﹣3），
∵A（0，3），∴AE′＝3√5，∴OD+AD的最小值是3√5，故答案为：3√5．
2．（2019秋•潜江期末）如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A．12 B．6 C．3 D．1
【解析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH＝BG，再求出∠HBN＝∠MBG，根据旋转的性质可得MB＝NB，然后利用"边角边"证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN＝MG，然后根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，此时∠BCH＝1/2×60°＝30°，CG＝1/2AB＝1/2×24＝12，∴MG＝1/2CG＝1/2×12＝6，
∴HN＝6，故选：B．
3．（2019秋•乐清市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是_______.
【解析】如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4，根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，
∴A′P＝PB′，∴PC＝1/2A′B′＝2，
∵CM＝BM＝1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故答案为：3．
4．（2019秋•崇川区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝4，∠C＝60°，M是线段BC的中点，将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD'）与AB交于点E，MC（即MC′）同时与AD交于点F时，点E、F和点A构成△AEF．在此过程中，△AEF的周长的最小值________.
【解析】过点D作DP⊥BC于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q，得到CP＝BQ＝1/2AB，CP+BQ＝1/2AB＝2，得出BC＝2CD，由点M是BC的中点，推出CM＝CD，由∠C＝60°，根据等边三角形的判定即可得到答案；△AEF的周长存在最小值，理由是连接AM，由ABMD是菱形，得出△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，推出∠BME＝∠AMF，证出△BME≌△AMF（ASA），得出BE＝AF，ME＝MF，推出△EMF是等边三角形，根据MF的最小值为点M到AD的距离2√3，即EF的最小值是2√3，即可求出△AEF的周长．
△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AB+EF，△AEF的周长的最小值为4+2√3，
故答案为：4+2√3．
5．（2019秋•汉阳区期中）如图，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE，AC＝BC，CD＝DE，AC＝2CD＝12，DH⊥AE，垂足为H，直线HD交BE于点O．将△CDE绕点C顺时针旋转，则OA的长的最大值是________．
【解析】：如图，延长ED到N，使得DN＝DE，连接CN，BN，延长BN交AE于M．取BC的中点F，连接AF，OF．
∵CD⊥EN，DN＝DE，∴CN＝CE，
∵DC＝DE，∠CDE＝90°，∴∠DCE＝∠DCN＝45°，
∴∠ACB＝∠NCE＝90°，∴∠BCN＝∠ACE，
∵CB＝CA，CN＝CE，∴△BCN≌△ACE（SAS），∴∠BNC＝∠AEC，
∵∠BNC+∠CNM＝180°，∴∠CNM+∠AEC＝180°，
∴∠ECN+∠NME＝180°，
∵∠ECN＝90°，∴∠NME＝90°，
∵DH⊥AE，∴∠NME＝∠DHE＝90°，∴OD∥BN，
∵DN＝DE，∴OB＝OE，
∵BF＝CF，∴OF＝1/2EC，
∵CD＝DE＝6，∠CDE＝90°，∴EC＝6√2，∴OF＝3√2，
在Rt△ACF中，∵AC＝12，CF＝6，
∴由勾股定理可求得AF＝6√5，
∵OA≤AF+OF，∴OA≤6√5+3√2，
∴OA的最大值为6√5+3√2．故答案为6√5+3√2．
6．（2019秋•郾城区期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D为AC中点，E为AB上的动点，将ED绕点D逆时针旋转90°得到FD，连CF，则线段CF的最小值为______．
【解析】：如图所示，过F作FH⊥AC于H，则∠A＝∠DHF＝90°，
∵AC＝8，D为AC中点，∴AD＝4，
由旋转可得，DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴∠ADE+∠FDH＝90°，∠FDH+∠DFH＝90°，
∴∠ADE＝∠DFH，且DE＝DF，∠A＝∠DHF＝90°，
∴△ADE≌△HFD（AAS），
∴HF＝AD＝4，∴当点H与点C重合，
此时CF＝HF＝4，∴线段CF的最小值为4，故答案为：4．
7．（2019秋•青山区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，D为边AB上一动点（不与B点重合），连接CD，将线段CD绕着点D逆时针旋转90°得到DE，连接BE，则S△BDE的最大值为________．
【解析】：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，∴∠EDN+∠DEN＝90°，
∵∠EDC＝90°，∴∠EDN+∠CDM＝90°，∴∠DEN＝∠CDM，
在△EDN和△DCM中，∠DEN＝∠CDM，∠END＝∠DMC＝90°，ED=DC.
∴△EDN≌△DCM（AAS），∴EN＝DM，
∵∠BAC＝120°，∴∠MAC＝60°，∴∠ACM＝30°，
方法总结
动点问题要求考生运用函数、数形结合、方程、转化、分类等数学思想方法，通过观察、猜想、推理、计算等过程，寻求解题思路.动态思想对这类问题的处理至关重要，对学生最核心的要求是结合动态中的静止状态进行分类处理，通过对动态的掌握，寻找不同变量彼此间的内在联系，在静态条件下对这些内在联系进行分析.
反思：旋转型全等的前提是，同一顶点发出四条线段，有两组相等线段且相等线段的夹角相等，此类问题一般给出的是一个等边或等腰直角三角形，也就是顶点处只有一组相等线段，所以只需要将顶点处的另一条线段按照同样的方式旋转。构造出一对旋转型全等，利用全等的性质，将已知和待求的线段进行转换，是问题得以解决。
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