1755年，19歲的拉格朗日用一種非常的方式解決了困擾2000多年的等周問題，並且將老師歐拉開創的變分法進行了大幅度擴展。這個神級的貢獻讓歐洲數學界一下子認識到了這位少年天才，於是，拉格朗日從青年數學家一躍成為歐洲第一流的數學家了。
拉格朗日
1756年，經過歐拉大師的推薦，拉格朗日當選普魯士科學院通信院士，開啟職業數學生涯。這一期間，拉格朗日開始把變分法的理論用在力學分析中，從此力學分析進入到一個嶄新的研究階段。
腓特烈大帝
達朗貝爾
終於在1766年的3月份，達朗貝爾寫信告訴拉格朗日，歐拉已經準備離開柏林前往聖彼得堡，歐拉也非常願意拉格朗日來接替他的職位。至此，拉格朗日欣然前往柏林。在柏林的20多年間，拉格朗日做出最重要的成就，在柏林，拉格朗日到達了自己的職業巔峰期。
前面的十年時間裡，拉格朗日研究了一個讓前人困惑不已的問題，就是方程論。
在很久遠的年代人們就知道有一種數學概念叫作方程，方程中有已知係數，和未知量。根據實際問題來建立一個可以解答的方程，往往解出那個未知量，實際問題就解決了。關於方程問題，中國古代的很多數學典籍都有記載，也是很好的數學啟蒙問題。《孫子算經》中記載了雞兔同籠問題就是一個利用列方程式很快就可以解答的典型。
《孫子算經》是我們古代重要的數學著作
很多困難的問題，可能要列出複雜的方程，求解也變得不是那麼簡單了。再後來，方程從實際問題中剝離開來，並逐漸成為一個純粹的數學研究領域了。
1608年，德國數學家羅特提出一個猜想：
任意複數系的一元n次方程有且僅有n個復根。
高斯第一個證明了代數基本定理
上面的這句話，我們現在叫代數基本定理，這也是方程論的中心定理，沒有這個定理的加持，方程研究虛無縹緲。這個定理的證明卻很不是一帆風順，歷史上許許多多的人給出相當的證明，但是很少有完整的。第一個給出一般性證明的人是高斯在1799年的博士論文中給出的，高斯當然並非常人，後來，他又在幾十年的數學生涯中先後給出了6種不同的證明。
塔爾塔利亞
現在我們來研究解方程，在16世紀，塔爾塔利亞和卡爾丹諾因為三次四次方程的公式解法掀起一場曠日持久的發明權大戰。不論結果怎樣，在17世紀，人們在任何數學手冊上就可以找到三次，四次方程的根式解法了，哪怕當時記錄的解法異常複雜。
卡爾達諾
可是人們再繼續推進多次方程根式解法時，卻遭遇到了難以想象的困難。人們把之前所有的探索方式都在五次方程解法上用了個遍，無一例外都失敗了。
但是卻沒有人知道為什麼會失敗，也沒有人敢下結論到底有沒有五次方程的根式解法。拉格朗日曾經花了10年時間來研究這個問題。
首先對於一般的一元三次方程：
X^3+ax^2+bx+c=0
我們先把這個一般的三次方程消去二次項，於是：
需要對x做變換即可消除二次項
最先得到上面沒有二次項的三次方程解法的人是意大利數學家費羅，而上面那個解法也是那場持久爭鬥的開端。現在，我們不關心這些，我們來注重考慮不含二次項的三次方程根式解法是如何進行的。對於方程x^3+mx+n=0,我們需要最為關鍵的一次變換才能讓工作進行下去。
再做一次關鍵變換就可以得到求根公式
這裡的2式是一個關鍵，因為經過這個變換之後，原方程就將變成y^3的二次方程，解出來，再進行代入，就可以得到三次方程的全部根式解了。事實上，歷史上曾經有那麼多人探索三次方程的根式解法不成功，就是因為沒有找到這個代換。如果找到這個代換之後，那麼就可以像二次方程用配方法求出最後的根式解了。繼續進行。
這一步已經很接近最終答案了
4式的方法，我們現在叫作預解方程，事實上這也是拉格朗日起的名字。我們要去解5式，這是一個簡易三次方程，那麼就一定有3個根。於是
最終的解
拉格朗日發現，不考慮x1,x2,x3的先後順序的話，事實上每個y都可以寫成下列的形式。
上述的x1,x2,x3總是可以互換位置，而互不影響，我們叫作變換，這有3!種變換，總計6種，也就是說7式的y可以有6種不同表達形式，那麼根據代數基本定理，顯然y就是一個六次方程的解！
我們再觀察一下y的6個含有ω的解有什麼特徵。
這是拉格朗日發現的最終目標
從9式我們發現，這裡的x1,x2,x3在6種情況變換下只能取2個值。於是我們再一次得到一個結論：
滿足y的方程一定是一個y^3的二次方程！拉格朗日用同樣的預解式來解決四次方程，發現這一套方法仍然有效。如果我們仍然繼續著三次方程的軌跡，就將得到x1,x2,x3,x4在4！中變換中只能取到3個不同的值。事實上，一般的四次方程假如仍然使用之前的代換，我們會得到一個輔助的3次方程，類似於三次方程的輔助方程會是y^3的二次方程一樣。
拉格朗日
拉格朗日兩次都取得了不錯的效果，他認為一般的n次方程在求解過程中，所有容許根的個數就是n！個，三次，四次符合，那麼五次也應該符合。並且按照正常套路五次方程的輔助方程會是一個四次方程，只要這樣依次遞降，總可以用根式的方式來表示這些方程最終的解，哪怕這個方程的根式解極度複雜，難以表示。
然而他在研究了五次方程預解函數之後，發現五次方程的輔助方程居然會變成六次，五次都沒解出來，居然還冒出個六次來，一點都不像三次，四次方程那樣逐級降次，很顯然這條路是走不通的。拉格朗日也始終沒有找到合適的五次方程的預解方程，也就是說他失敗了。
拉格朗日被迫承認了下面這個事實。
五次方程看起來是沒有根式解的。
雖然拉格朗日並沒有在五次方程根式解這個問題上更上一層，但是他創造的預解方程的思路確實正確的，從三次，四次推平穩推進到五次，卻完全不通，從側面上他也說明了為什麼四次以上方程會沒有根式解法，而在四次及四次以下都會有。
拉格朗日這樣的大神在五次方程根式解的探索上都如此挫敗，足以看出這個問題的難度有多大。不過，拉格朗日的思路卻著實影響了許多後來在這個問題上有過突出貢獻的數學家們，比如阿貝爾，魯菲尼，伽羅瓦等等。
拉格朗日預解式的繼任者 魯菲尼
1813年，魯菲尼用拉格朗日創立的預解函數的方法，證明了不存在一個預解函數使其能滿足一個次數低於5的方程。當然後來，人們還是發現了魯菲尼那篇500頁的論文中的漏洞，不過這都是後話了。後來阿貝爾第一次證明了五次方程不存在根式解，但是他仍然不能說明五次以上的方程是否有根式解。直到伽羅瓦的群論出現，人們才將這個問題徹底解決，人們用群論深刻地理解了群置換在方程求解方面的重大意義。
阿貝爾
事實上，從拉格朗日開始，就已經隱約有根置換的概念了，只不過那些都還在萌芽當中，他們被方程的根這個具體的數學問題纏繞得太久了，並沒有意識到置換會帶來怎麼樣的成果，但是隻有伽羅瓦第一次意識到置換的意義。於是乎，在五次方程是否有根式解這個問題的研究上，在伽羅瓦之前的所有數學家的成就都不及伽羅瓦一人，只有伽羅瓦看到了問題最根本的原因。
伽羅瓦
拉格朗日沒有在五次方程這個問題取得圓滿成就，但是他的其他領域研究是非常精彩不斷的。比如前面說的分析力學，他是分析力學的開創者，同時又是天體力學的奠基人。他找出過三體問題5個特解，天文學上還有拉格朗日點這個術語，星際探測器只要很少的燃料就可以在這個點附近長期逗留，這個點對於人類探測星空有很大意義。在數學上，他除了變分法和方程論，在函數論，微分方程論和數論上都有極大成就。
三體問題的5個特解 拉格朗日點
拉格朗日的事例深深地告訴了我們一個事實，即使你是天外飛仙的大神，也總會遇到一些你就是解不開的難題。比如萊布尼茨解不開巴塞爾猜想被歐拉解決了，歐拉解不開的四平方猜想被拉格朗日解決了，拉格朗日解不開的五次方程問題被伽羅瓦解決了。雖有力不能及，但是這些從來都不會影響他們的偉大。
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