关于微积分的基本概念——微分（牛顿的和莱布尼茨的）——的本质，长时间处于争论中。
牛顿认为，弧、弦和切线任何两个互相的最终比都是等量的比，导数（或者流数）表示变化率，积分(或流量)是导数的逆运算；莱布尼茨认为，微分就是无穷小的差数，是定性的0，微商是微分之比，而积分（面积）是微分的和；欧拉（L.Euler，1707-1783）认为，微分是不同阶的0；泊松（S.Poisson，1781-1840)认为无穷小是“小于任何同类性质的给定量”，这些量是真实存在的，而不仅仅是“几何学家想象得一种研究方法”，微分学的目标就是求无穷小之比。
柯西继承了牛顿的比的极限说法：当属于一个变量的相继的值无限地趋近某个固定值时，如果最终同固定值之差可以随意地小，那么这个固定值就称为所有这些值的极限。
柯西基于“接近”的思想避免了一些早期尝试中的缺陷。特别是，他既没有对达到这个极限说什么，也没有对超过这个极限说什么。柯西的所谓“回避极限”的定义不提及无论怎样达到极限，仅仅是接近并保持接近它。对他来说，这里没有消逝的量，于是贝克莱主教所谓消逝的量的鬼魂也就不复存在了。
图一 柯西
法国数学家庞加莱（Poincare，1854－1912）说：“我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西”。他把集合论当作一个有趣的“病理学的情形”来谈，并且预测说：“后一代将把（Cantor）集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了”。
数理逻辑学家阿伯拉罕?罗宾逊（Abraham Robinson,1918~1974），1962年去美国在普林斯顿大学的一次报告中指出：现代数理逻辑的概念和方法能为“无穷小”和“无穷大”作为“数”进入微积分提供合适的框架，罗宾逊写了《非标准分析》一书，Robinson的非标准分析，本书证明了莱布尼茨的思想能够全面维护。
哥德尔：“我们有理由相信，不论从哪方面看，非标准分析将会成为未来的数学分析。……在未来世纪中，将要思量数学史中的一件大事，就是为什么在发明微积分学后300年，第一个严格的无限小理论才发展起来。”
图二 哥德尔
一种方法，它能够放之四海皆准，绝不会是无缘无故的。以Newton和Leibniz思想为内容而以Leibniz表达方式为形式的微积分能够放之四海皆准，这背后一定隐藏着规律。揭示隐藏在事物背后的规律，才能建立科学的微积分原理。科学实践证明， 以“直”代“曲”的推演和计算是精确的（而非近似的）；积分是微分的直接累加（根本不须再求极限）。在Cauchy看来，Leibniz的“定性的0”的思想，Euler的“不同阶0”的思想，以及Poisson的“小于任何同类性质的给定量”的思想，都不是离成功只差半步的光芒四射的思想，而是他另起炉灶的依据。Newton说：“严格地说，消失量的最终比不是最终量之比，而是这些无限减少的量的比的极限。”这样的话被Cauchy继承，而Newton光辉夺目的非自遣论断：“弧、弦和切线任何两个互相的最终比都是等量的比。” 这样的充满真知灼见的思想却被抛到九霄云外。从而微积分的演化历史进入了近两百年的历史大迂回时期。
人类对微积分的要求不应满足并停留于历史的大迂回之中。
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