功夫120

你的理解有誤，無理數他不是一個變化的數，他是一個固定的數，只是目前沒有找到它的邊界。極限瞭解一下！

商道之道

在代數上，π＝3.1415926... 是一個無限不循環小數，直覺告訴我們它一直在變動的數。在幾何上，直徑等於1的圓周長度是π，生活常識告訴我們圓周是長度固定不變的曲線。但是，不管是代數還是幾何都是同一個π，於是截然相反的直覺和常識中只有一個是對的，那就是常識，即：π是固定不變的。

那麼，為什麼我們在代數上的直覺錯誤呢？這和稱作極限的數學概念有關。

極限最早是和一些悖論聯繫在一起的，其中最有名的莫屬古希臘時期芝諾提出的追龜問題：

古希臘跑的最快的英雄阿基里斯追趕一隻爬在前方的烏龜。阿基里斯對準烏龜的當前位置跑過去，當他跑到該位置時，烏龜已經向前爬了一段，於是阿基里斯又對準烏龜的新當前位置跑過去，當他跑到該位置時，烏龜又向前爬了一段，於是...。

這個循環會進行下去，我們的直覺告訴我們 阿基里斯 永遠 追不上 烏龜。可是這又違反我們的生活常識：跑的快的人總可以追上跑的慢的人。同一個事物只能有一種可能，這裡，常識是對的，直覺又是錯的。

我們可通過具體分析找出問題之所在，設，阿基里斯 和 烏龜的 速度分別是 w 和 v，顯然 w > v > 0，最初阿基里斯距離烏龜的距離是 l，則：

最初阿基里斯距離烏龜 l，阿基里斯跑完 l 用時 t₀＝l/w；

在 t₀ 時間裡烏龜爬了 l₁＝vt₁＝v(l/v)＝l(v/w)，阿基里斯跑完 l₁ 用時 t₁＝l₁/w＝l/w(v/w)；

在 t₁ 時間裡烏龜爬了 l₂＝vt₂ ＝l(v/w)²，阿基里斯跑完 l₂ 用時 t₂＝l₂/w＝l/w(v/w)²；

...

在 tᵢ₋₁ 時間裡烏龜爬了 lᵢ＝vtᵢ₋₁ ＝l(v/w)ⁱ ，阿基里斯跑完 lᵢ 用時 tᵢ=lᵢ /w=1/w(v/w)ⁱ；

...

令，q = v/w ，則阿基里斯追趕距離呈現如下序列：

l, l q, l q², ..., l qⁱ, ...

第 i 輪追趕結束時，追趕總距離是：

Lᵢ = l + l q +l q² + ... + l qⁱ

等式兩邊同乘以 q，有：

q Lᵢ = l q + l q² + ... + l qⁱ + l qⁱ⁺¹ = (l + l q + l q² + ... + l qⁱ ) + l qⁱ⁺¹ - l = Lᵢ + l qⁱ⁺¹ - l

最終得到：

Lᵢ = l(1 - qⁱ⁺¹) / (1 -q)

阿基里斯對烏龜的追趕會一直進行下去，當 i → ∞ 時，由於 w > v > 0，故 0 < q < 1，所以 qⁱ⁺¹ → 0，進而 Lᵢ → l / (1 - q)。令 L = l / (1 - q)，L 就是阿基里斯剛好追上烏龜所跑的距離。

類似地，阿基里斯追趕所用的時間呈現如下序列：

l/w, l/w q, l/w q², ..., l/w qⁱ, ...

第 i 輪追趕結束時，追趕總用時是：

Tᵢ = l/w + l/w q +l/w q² + ... + l/w qⁱ

用上面的方法，可以算出：

Tᵢ = l (1 - qⁱ⁺¹) / (w - qw)

同理，當 i → ∞ 時， qⁱ⁺¹ → 0，進而 Tᵢ → l / (w - qw)。令 T = l / (w - qw)，T 就是阿基里斯剛好追上烏龜所用去的時間。

綜上，阿基里斯追趕烏龜看似是無限循環下去的，但是隨著循環次數的增加，追趕的距離和所花費的時間越來越小，以至於將他們加起來得到的總距離和時間都是固定有限的值，這剛好符合上面的常識。實際上，追趕問題僅僅是小學數學應用題，可以直接由聯立方程：

L/w = T，l + Tv = L

解得：

L = l / (1 - v/w)，T = l / (w - v)

這和上面折騰了半天的結果完全相同。

追龜問題告訴我們：被分割為無限輪循環的動作序列，並不一定是會永不停歇的進行下去，因為每輪循環所佔有的空間和所花費的時間可能會越來越小趨近於零。

到這裡即便是事實擺在面前，肯定還有人像我一樣，依然覺得追龜會一直進行下去，我是這樣說服自己的：

• 直覺：一個無線的序列加起來怎麼可能有限？可以，極端的例子 就是 可列個 0 加起來等於 0；
  

• 直覺：總覺得序列相加需要花費時間？
• ◆ 在數學上，運算只有算了才花費時間，上面的追龜問題，利用巧妙的方法，避免了無限次相加的運算，所以所花時間固定。
  
• ◆ 在現實中，事物相加需要時間，但是花費時間可以越來越小趨近於 0，上面的追龜問題就是例子。
  

其實，在追龜問題求解過程中， L₀, L₁, L₂, ..., Lᵢ ... 也是一個序列，記為 { Lᵢ }，L 稱為序列{ Lᵢ } 的極限，同樣，T 稱為序列 { Tᵢ } 的極限。並不是所有序列都有極限的，比如：

一尺之棰日取其半萬世不竭。

每1天取一次，所以每次用時構成序列：

1, 1, 1, ...

第 i 次，總用時為：

Tᵢ = 1 i = i

當 i → ∞， Tᵢ → ∞，故 序列 {Tᵢ } 沒有極限，即，所謂的：萬世不竭。

回到 π 的問題。令 q = 1/10, 則 π 的 十進制小數 (3.1415926...) 的所有位數構成一個序列：

3, 1q, 4q², 1q³, ..., kᵢ qⁱ , ...

其中，kᵢ 是自然數 並且 0 ≤ kᵢ ≤ 9，數列部分和如下：

πᵢ = 3 + 1q + 4q² + 1q³ + ... + kᵢ qⁱ

構成另外一個序列 { πᵢ } = π₀, π₁, π₂, ..., πᵢ , ... ，接下來就是判斷 i → ∞ 時，πᵢ 是否有極限了。由於 kᵢ 不確定，所以我們不能使用追龜問題的方法將 πᵢ 具體求出來，再進行判斷。不過好在數學家研究了實數空間，發現它是完備的，即，所有 柯西列 的極限都存在。 於是我們只要證明 { πᵢ } 是柯西列就可以了：

根據柯西列定義，如果序列 {aᵢ} 對於任意小的 ε > 0 都能找到 自然數 N 使得對於任意自然數 u, v > N，都有 | aᵤ - aᵥ | < ε，則稱 {aᵢ} 是柯西列。

對於任意的 ε > 0，一定存在 N 使得 qᴺ < ε，對於任意 u, v > N，不妨設 u > v，則有：

| πᵤ - πᵥ | = πᵤ - πᵥ = kᵥ₊₁ qᵛ⁺¹ + ... + kᵤ qᵘ ≤ 9 qᵛ⁺¹ + ... + 9 qᵘ = 9 qᵛ⁺¹ (1 - qᵘ₋ᵛ) / (1 - q)

將 q = 1/10 帶入，有：

| πᵤ - πᵥ | ≤ 9 (1/10)ᵛ⁺¹ (1 - (1/10)ᵘ₋ᵛ) / (1 - 1/10) = (1/10)ᵛ - (1/10)ᵘ = qᵛ - qᵘ

因為 qᵘ > 0，所以：

| πᵤ - πᵥ | < qᵛ

又因為 v > N, 所以 qᵛ < qᴺ ，於是最終有：

| πᵤ - πᵥ | < qᴺ < ε

這就證明了 { πᵢ } 是柯西列，故，當 i → ∞ 時，πᵢ 的極限存在，它就是 π。

這個證明過程並沒有，將序列中的每一項計算出來，因此在時間和空間上，這個證明 也是有限的，也就是說“π是固定的”可以在有限的空間和時間中確定，所以“π是固定的”是事實。這和我們的幾何常識 相符。

但是，由於我們並沒有具體計算出來每個 {πᵢ}，所以我們依然不知道 π 的具體 值。想知道 π 的值只能老老實實 計算，每次計算所花時間基本相等，所以 “計算 π 值”這件事件是永遠不會結束的。

注意：知道一個數是固定的 和 知道它的確切值 是兩回事情，後者蘊涵前者，前者不蘊涵後者。

無限不循環小數，3.1415926... 就是 { πᵢ } 的極限 π，是固定的數字。只是我們不能在有限的時間內確定它的所有小數位。

我們也可以這樣理解：阿基里斯追趕一個前方變速爬行的烏龜，阿基里斯的速度是 w，烏龜速度每輪都不一樣，

起初，阿基里斯距離烏龜 l₀ = 3 ， 阿基里斯追趕 l₀ 用時 t₀ = l₀ / w = 3/w；

在 t₀ 時間裡烏龜爬了 l₁ = 1q，阿基里斯追趕 l₁ 用時 t₁ = l₁ / w = 1/wq；

在 t₁ 時間裡烏龜爬了 l₂＝4q²，阿基里斯追趕 l₂ 用時 t₂＝l₂/w＝4/wq²；

...

在 tᵢ₋₁ 時間裡烏龜爬了 lᵢ＝kᵢqⁱ ，阿基里斯追趕 lᵢ 用時 tᵢ=lᵢ /w=kᵢ/wqⁱ；

...

第 i 輪追趕結束時，追趕總距離和總時間是：

Lᵢ = 3 + 1q + 4q² + 1q³ + ... + kᵢ qⁱ

Tᵢ = (3 + 1q + 4q² + 1q³ + ... + kᵢ qⁱ )/w

隨著，追趕輪次的增加，烏龜爬行距離越來越短，阿基里斯追趕時間也越來越短，最終 當 i → ∞ 時，Lᵢ → π，Tᵢ → π/w。所以，阿基里斯和烏龜證明了 追趕 π 這麼長距離 這件事，在有限的時間和空間是可以完成的，故 π 一定是固定不變的。

最後，大家有沒有發現 {πᵢ} 中的每一項 都是有理數，而 {πᵢ} 的極限 π 卻是 無理數？

其實，數學家證明了，有理集在實數軸上稠密。所謂稠密就是指：實數軸上任何一個點（包括無理數），都可以找到一個有理數序列，使得後者的極限是前者。

這和 {πᵢ} 的極限是 π 相符合。

極限是 π 的有理數序列並不唯一，比如：

• 圓的內接正 i 邊形周長 Cᵢ ；

• Sᵢ = 4 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + ...；

都是極限趨近於 π 的有理數序列。

思考思考的動物

直接上圖（不好意思關於這方面可能也就是大眾水平，簡要談一下自己看法）

無理數，無限不循環小數，但不等於他不是固定的，恰恰相反，它是固定的。

初中數學知識：任何一個實數都能夠在數軸上找到位置！而且，數軸上任意一點，它是無理數的概率比有理數要大得多。（比買張彩票中頭獎概率還要低，如果是任意的，基本上你是不可能碰到有理數的）那麼根據數軸上原點到該點距離就是其本身，至少來說，這個可視的距離是固定！

就像上圖中根號2，根號10一樣，長度是固定的！

你拿米尺測量，可能根號2大概1.4，拿20cm直尺去測，可能1.41多一點，用軟件去測，取決於你所選取的小數位數，可能是1.414之類不等！

補充幾點:

1.能不能固定相對面就是會不會變化，π是一個確定的值，所以圓周是固定的。為什麼給人錯覺圓周是不確定的，因為π是一個無窮無盡不循環小數，總有人認為取π前三位小數位計算和π四位位計算得到結果不一樣。例如，直徑10000的一個圓，算出來是31410和31415，這些都是近似值，精確值應該表述為10000π。近似值隨著精讀會變化，但是準確的只有一個。面積同理。

2.到底有沒有完美的圓。我們接觸的客觀世界是沒有完美圓的（正圓），但是數學或者學科模型上是存在的（理想化情況，忽略線寬，佔位等）回到圓的定義:平面上到某一個點長度等於一個固定值點集合。在客觀世界，由於線寬（宏觀），分子體積（微觀）是不可能做到絕對平滑的，也就是說，放大到極致比如幾千上萬倍，你看到的就是不平滑邊緣。（球同理，球是一個空間模型）

假裝一條第一次補充和第二次補充的分割線

3.十進制確實無限不循環，如果認為規定一個π進制，那麼π就是這種進制下的一個最小“兩位正整數”，不過那時，客觀世界將亂成一鍋粥了吧！畫面不敢想象。不過這時候，仍然是無理數。

感謝評論區指出的不周之處

當半徑是以π或者π的有理數倍數為分母的時候，確實圓周是一個有理數，和我文中提到有出入。這一點確實是沒想到的地方，謝謝讀者指出。以上建立在直徑（半徑）為有理數的條件下做出的論斷。

樹木也要樹人

數學在現實裡就是個笑話。3個蘋果，3是整數，對吧！但是如果精確一些，3個蘋果無論形狀，口感，重量，色澤，都有不同差異，'這麼大的差異，憑什麼出現3這個整數呢？還不是方便我們統計。也許你很不服氣，但是你要知道，一英寸的由來有多可笑，一英寸是三粒小麥的長度，至於為什麼，因為下定義的那哥們是國王，就這麼簡單粗暴。同理，有一天哪個大神高興，把3.14這個無限不循環小數定義為1，這個整數，那也沒有任何影響，只不過對應的現在所謂的整數全都成了無限不循環小數，但是會對應的誕生另外一批整數。話說，無限不循環小數對應的整數後位數上寫上.000000000,在你想停的'位置上寫0001，那麼這個帶無限0的整數，在現實對你來說，有什麼不同。我只不過拿了一個不一樣的蘋果，我才不會在乎它和另一個蘋果裡的分子數量有什麼不同。（我感覺我寫的太亂了，自己都看不懂）

犬足

我不太懂你說的，不過呢，，這幾天我經歷的事給了我一個啟發！

這幾天看到一個叫“曲昭偉”的所謂“教授”，成天“質疑”別人，公式理論一大堆，雖然我看不懂，但是總感覺不對勁也說不上來哪裡不對勁！我就想啊！突然想起以前好像在哪兒聽過“物理的基礎是數學”這句話，不知道怎麼，一想到數學我就想起1+1這個公式，我記得似乎有1+1≠2的說法，如果這樣的話，那麼有些物理的理論是不是就可以用1+1≠2來計算呢？於是我就搜了搜關於1+1≠2的文章，還別說，真有！

於是我就關注了那個“曲昭偉”，質問他是在偷換概念，用1+1=2去質疑適用於1+1≠2的物理理論，又用1+1≠2去質疑1+1=2的物理理論，結果這個“曲昭偉”真的就“做賊心虛”了，居然不敢讓我評論他了，有圖為證！

我估計你說的情況，是不是也跟1+1≠2類似，是不是我們的計算方式不對？

東北純爺們10183505

大家好，我是江右老王，專注教育領域有一段時間了。偶爾也會調皮跨行業說幾句牢騷話！

Л是一個無理數，那麼圓的周長也應該是無理數，但圓的周長是固定的啊，怎麼解釋？

在談之前，先普及一下π的知識點。

π是圓周率，我們國家在12世紀之前就已經有過研究。比較粗糙，認為它是為3.

無理數的認識

我們通俗的認識就是無限不循環小數。

認知錯誤就是在一個是π是周長與直徑的比值，還有一個就是無理數不能寫作兩整數之比。

這裡我們要理解的是三分之π，它不是分數，它是個無理數。有理數乘以或者除以無理數它的結果必然是無理數，有理數加上或減去無理數它的結果還是一個無理數。

而我們的π，也就是圓周率它是周長與直徑的比值。只要周長當中任意一個是一個無理數，它的結果毫無疑問是無理數。

圓的周長是固定的，當然直徑也是固定的。但是這裡面也許圓的周長的數值是一個有理數，但你能保證它的直徑的長度的數值也是一個有理數嗎？這裡面就牽扯到真值與測量值之間的關係。測量值與真值之間的關係只能是無限接近，不能達到完全相等。不管多精密的儀器測出來的值它總是有誤差的。我們根據這個關係基本可以確定，我們在學習計算中的周長和直徑的值當中必然有一個都是估計值。而且它的真值必是一個無理數。

所以我們不能說周長是固定的它與直徑的比值就是有理數。要知道π它是個固定值，但它也是一個無理數哦~

江右老王

其實這個問題的回答，不用那麼專業的數學知識。其實有點偷換概念。某一個圓的周長應該是“確定的” ，它的精確值就是一個無理數，用測量工具去測，由於精確度所限，所以測不出來。用了“固定”，就有點偷換概念了。兩者沒有矛盾。

舉個例子，一條線段，它到底多長？

用普通的尺測量，5釐米。然後換一把精度高的，測量，5.01裡面，換一把更高的，可能5.00097釐米……。我想說的是，不要拿生活上的直覺去想這個問題。

再換個角度來像這個問題:其實就是數的進制轉換。我們用十進制，那圓周長似乎就是無線不循環的一個值。但是如果把以“派”為單位1，那線段的長就是“整的”了吧。其實還是“思維定式”。

我來問個問題，點是沒有長度的，但是由無數個點構成的線段，為什麼有長度😁。這個才是題目背後的問題。這個與測度有關。

自在1717110

這個問題，可不一定。如果你是工程師，讓你設計一個周長為1米的水泥柱子，你說因為圓周率是無理數，我設計不上整數週長的柱子，那你還想不想幹了？

要知道，幾個無理數的積可以等於整數。像√2×√2=2.

周長c=1，直徑d=c/π=1/π.

很明顯，當週長為整數時，圓的直徑就應該是無理數。

創新數

這是對有理數無理數的誤解或者不理解，不管是有理數還是無理數，都是一個數，而且都是固定的數，有理和無理只是人為定義的概念，都是實數，是真實存在的固定的數！

說白了，不管是有理數還是無理數，與固定不固定沒有任何關係，這種思維是標準的偷換概念。

舉個例子，√2也是一個無理數，在線段上我們很容易畫出√2釐米的線段，這說明√2釐米長的線段肯定是固定的，同樣我們也能畫出π釐米長的線段，你說π（或者π釐米）不是固定的嗎？

√2釐米的線段是固定的，不能因為√2是無理數就說它是不固定的，不固定是完全另外一個概念，比如說√2約等於1.4142，如果√2約等於1.4152那才叫不固定的！

有人可能會說，我們永遠無法準確表達√2到底是多少，這還是一種思維的侷限性，因為我們已經準確表達了，√2就是√2，這很準確了，你非要用所謂的小數去表達√2，那是你自己的問題，自討苦吃，數學路僅僅包含有理數，無理數和有理數是平等的，都是對數學的表達，幹嘛非要用有理數表達出來的才是準確的？

另外去思考一點，極限的問題，點沒有長度，為啥由無數個點組成的線段就有長度了呢？

宇宙探索

山巔一寺一壺酒，爾樂苦煞吾，把酒吃，酒殺爾，殺不死，樂爾樂。

這首耳熟能詳的圓周率順口溜，從小到大我們還能背誦。

圓周率丌是無理數，也就是無限不循環小數，我們說幹口水也不可能說完的。

最初發現無理數時引起了人們的恐慌，因為它是不可公度量，那時的人們無法表達它。

題主認為無理數不是固定的，也許是誤入了早期發現無理數時人們的固定思維中。

無理數是固定的，在實數軸上甚至比有理數多得多。它也是現實中存在的可以度量的，後來數學家發現分數可以表示成有限小數+無限不循環小數。

無理數甚至引發了數學革命，它促使人們由依靠直覺、經驗，轉向依靠證明，推動了數學極大發展。

舉個例子，邊長為1的正方形對角線長是根號2，這就是一個無理數，這確鑿無疑是固定的。

另外丌是無理數，但圓周長卻不一定是無理數，因為圓周長=2丌R，R如果等於1/丌時，圓周長就是有理數了。

綜上所述，圓周長可能是有理數，即使是無理數也是固定的。

關鍵字: 周長 固定 無理數