▲高斯数论手稿
高斯很出名，还很能趁早。朋友你呢🙏？
超人故事：著名作家苏童，至今都颇为追味感念《九岁的病榻》，超人高斯九岁那年，却用很短时间珠心算出小学老师留的算学任务：
求1～100自然数和。
他的秒杀满分宝是：
∵1+2+3+……100
=1+100+2+99+3+98+……+49+52+50+51.
=50(50+51)
∴1+2+3+……100=5050.
由上式不难看出，他用了数学建模法，把1～100补形对折，成为一个标准偶合数模型，即把1～100拆分成50个均值数对组，每组2个自然数，并俩俩结合求和，就可以一目了然地直观看出：50个和为101的对偶数和为5050.这就是蝴蝶模型。
▲数学之子高斯
高斯一生，都在为人类历史财富忙碌，即终生为科学事业而奋斗。他特别喜欢把自己的灵感和科学总结，随手记录在随身笔记本上，最后成为了厚重一本。在他死后，好不容易才被从他亲戚后人那里发掘出来，普通笔记本，在今人眼里却被视为科学超人日记，奉为圭臬。
BC245年，赫农王令阿基米德（Archimedes）鉴定皇冠。赫农王怀疑金匠克扣了定制皇冠的纯金。虽然做好的皇冠和国王送去的纯金同重，国王还是怀疑金匠掺假了。阿基米德替无辜金匠愁坏了，但苦于无法用自己博大的科学知识说服国王，于是浑浑噩噩的走进浴室，打算舒舒服服洗个澡，清理清理思路，果然，他静躺在浴池里的时候，突然就发现了浮力定律的等量关系原理，于是兴奋得从浴缸一跃而起，奔上大街狂奔狂呼：“EYPHKA!EYPHKA!(ερηκα，尤里卡！尤里卡～！)”
▲Archimedes发现浮力原理
享誉古今中外的旷世奇才，数学之子，高斯，从此“找到了”费马定理——数论最难部分的证明：
高斯科学日记，披露轰动整个科学界。人们也才知道，许多重大科学成果，高斯早就证得，公开发表特晚，或生前根本未发表。
▲阿基米德几何数³/₂：任何圆柱和内切球表面积体积比
椭圆函数双周期性，就是写在这本高斯科学日记里。这么重大的成果，竟在此日记里，整整沉睡了百年。
1797年3月19日，日记清楚记录高斯已得出此成果。
后来又一条日记，证明他还得出椭圆轨迹在一般情况下具备的双周期性。经过五十年间的雅柯比（1804～1851）和阿贝尔独立研究发展，其才成19世纪函数论核心。凡此种种，不一而足。
数学家们大为震惊。此日记中任何一项成果，当时都是世界第一流。这些如果及时发表，高斯就会享有空前荣誉，人类数学家们就可以在许多重要领域旁征博引顺手拈来，不必自己苦苦摸索停滞不得，人类数学史就会提早改写空前盛况辉煌史。数学家们的估计是会比现今人类数学史先进五十年。
▲数形合一。浮力原理，费马定理
1799年高斯发表博士论文，证明了重要代数定理：
任何多项式都有虚（复数）根。即“代数学基本定理”——Fundamental Theorem of Algebra.对此，高斯之前数学家们已给出非严密证明，他是把前人证明缺陷都指了出来，自己一生作了四个充要证明。
1801年24岁高斯出版《算学研究》(Disquesitiones
Arithmeticae)。最大遗憾是，这本手写八章的拉丁文数学专著，只印成七章，经费不够。
此天书前六章都是高斯数论，末章介绍代数基本定理。是人类事实上的第一部系统数论专著。
高斯首次介绍同余概念(Congruent)、二次互逆定理。
高斯曾描绘数论是“一座仓库，贮藏着取之不尽的，能引起人们兴趣的真理”。
《算学研究》出版，标志着费马“问题式” 数论时代结束，—种全新纯理论数论研究方式正式开启。它把数论研究提升到更高级别的境界。因此数学史一般以1801年为现代数论诞生年。
高斯24就放弃了纯数学研究，开始了为期几年的短暂天文学研究。
中世纪、文艺复兴和宗教改革浪潮洗礼后的新欧洲时代，世界天文学界面对火星木星间庞大间隙，竟一筹莫展。穷尽人力物力，也仅能得出：此中间地带，应有未知行星。
1801年意大利天文学家Piazzi发现火星木星间有颗新星，便命名谷神星(Cere)。
现在我们都知道，它是小行星带中一粒——小行星一号。当时天文学界却争论不休，行星说和彗星说狂怼。所以必须连续持久观测，才能精准判决，Piazzi也只能观测到其9度轨道，不小心一晃，又隐身太阳背后去了，无法知测轨道，就无法判定其是否行星或彗星。
每当世界需要大阶高能突破进击时，高斯总会应时而出。他决定总结这个神秘星体的轨迹。于是独创出三次观测定位星球轨道——高斯天体预测法：最小平方法。此法预测行星轨道和运行位置极为准确。
高斯不出，谁与争锋。果不其然，高斯天体预测法，将谷神星准确无误锁定在预定位置。对，一如既往，他当时也未公布此最小平方法 (Method of Least Square)，而且似乎从未泄露有关机密。
1802年，他又同理预测定准小行星二号智神星(Pallas)天道位置。这让他声名远播，荣誉滚滚。
▲二号小行星：智神星
沙皇俄国圣彼得堡科学院荣选他为会员；发现Pallas的天文学家Olbers也请他主任哥廷根天文台，他没立刻答应。1807年才就任。
1809年他创成《天体运动理论》两册。第一册包纳微分方程、圆椎截痕和椭圆轨道，第二册他终于展示了如何高妙估算行星天体轨道的最小平方法。
1817年，是高斯的天文学大爆炸年。但是天文学是需要旷日持久的不间断观测，才能获得天体一手数据的，所以直到七十岁那年，他都未停止用自创最小平方法进行天文观测。
在这几十年间的高斯大神，除了天文台工作，还抽空做其余研究。比如创用无穷级数收敛，积分解天体运动微分力程。1812年，高斯研发超几何级数(Hypergeometric Series)专题成果论文，作为呈给哥廷根皇家科学院的履职项目成果。
1820～1830年，高斯开始学做测绘工作，还发明了日观测仪(Heliotrope)，测绘完成了住居地汗诺华(Hanover)公国地图，专著了测绘测地学书籍。为了研究地球表面，他对曲面几何性质作了重要研究。
1827年，高斯就发表《曲面（共性）研究》 (Disquisitiones generales circa superficies curva)，涵盖当下部分大学微分几何。
1830～1840年，高斯和小廿九岁的物理学新秀——韦伯(Withelm Weber)合作研究磁。他们的偶然合作，真是人类之福。只在理想世界听说过：小天才徒弟韦伯做实验，大BOSS高斯研发理论。韦伯负责诱发高斯的物理兴趣，高斯用数学尺规引导韦伯处理物理问题的思考工作方法。
1833年，高斯从自家哥廷根天文台办公室，用伏特电池作电源拉了条八千尺电线，跨（越数百户居民头顶）连到韦伯实验办公室，创新发明出世界第一个电磁发报机。
1835年，高斯在自家哥廷根天文台里，又创设磁观测站，主持磁协会发表研究成果，引发世界广大地区研测地磁。从此，高斯便获得了准确地磁理论。但需要实验数据证明。
1839年，高斯才出《地磁（普遍〈共〉性）理论》专著。
1840年，高斯和韦伯合作，用数形画出了世界第一张物理学地球磁场图，测定了地磁N和S极精准位置。
1841年，高斯地磁理论得到美国科学家实验证实。他们按高斯地磁理论找到了磁南极和磁北极的当地位置。
高斯工作态度科学，能够精益求精，非常严格要求，数据结论精准。
他曾说：“宁可少发表，但要发表成熟理论的研究成果。”
数学家们要求他别太计较验证过程，把结果写出来发表了就对人类数学发展帮助很大了。 比如非欧几何有关发展，就特别著名。
非欧几何是高斯、罗巴切乌斯基(Lobatchevsky,1793～1856)、波尔伊(Bolyai,1802～1860)三位大神创立。
高斯有位大学校友是Bolyai父，曾反对他看似毫无望地试想研究证明平行公理，小Bolyai却异常沉溺。最后终于研发出非欧几何，并在1832～1833年发表研究成果。老Bolyai把儿子心血寄给老同学高斯，高斯却冷却回信：
To praise it would mean to praise myself.我不便赞誉他，赞誉他如同我自夸。几十年前高斯就证得相同成果，担心时人无法接受没公布。
美国著名数学家贝尔(E.T.Bell)的《数学工作者》(Men of Mathematics) 曾批评（怨怼）高斯：高斯死后，人们才知道他早就预见一些十九世纪的数学，而1800年前已期待它们早出现。如果他能把他所知道的一些东西泄漏，很可能现在数学早比目前还要先进半个世纪或更多的时间。阿贝尔(Abel)和雅柯比(Jacobi)可以从高斯所停留的地方开始工作，而不是把他们最好的努力花在发现高斯早在他们出生时就知道的东西。而那些非欧几何学的创造者，可以把他们的天才用到其他方面去。1855年，2月23日清晨，高斯，在神奇瑰怪的睡梦中，安详去世了。
▲二次互反律(二律悖反)·高斯《算学研究》
梳理完高斯恢宏生平，不得不探讨一番数论。数论初创，即都是研究正整数的正整数论。后在研究中升级，就叫数论。
1896年，鲍尔说：“这门学科本身是一个特别引人、特别雅致的学科，但它的结论没什么实际意义。”
按常分法，数学分纯粹数学与应用数学，数论则是数学中的最纯粹巅峰。这，迄今为止恐怕也是人类智慧正要逾越的最纯粹的无上巅峰之一。
数论江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。费马、欧拉、拉格朗日、勒让达、高斯……无一不是为了数论内在趣味及其特有至美而研究寻找。
应用数学带动了近代计算机科学大发展，数论，尤其是初等数论诸多研究成果，被广泛应用在计算方法、代数编码、组合论、大数据、人工智能等方面。精深数论研究成果，也在近似分析、差集合、快速变换、遥感成像、量子电脑、量子密钥、脑控互动等方面和领域，得到了非常成功的突破性应用及长足发展。
丢番图墓志铭如是说：请你告诉我，丢番图寿数几何？ 他的一生六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年之后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲一半的年龄。晚年丧子老人真可怜，悲痛之中渡过风烛残年。丢番图寿数几何？
⊙数论分类
1.初等数论。数论中不用其他数学学科，只依靠初等方法研究整数性质的分支。比如古中“中国剩余定理”，即初等数论最重要内容。
2.解析数论。用数学分析为工具解决数论问题的分支。数学分析研究函数、以极限概念基建起来的数学学科。欧拉奠基用数学分析解决数论问题，俄国数学家车比雪夫等也为其发展贡献过。它是解决数论艰深问题最强有力的应用工具。
3.代数数论。是推广整数概念到代数整数的一个分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。
4.几何数论。德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创奠基，以“空间格网”为基本研究对象的分支。
5.堆叠数论。数论研究将整数表示为某种整数之和的问题，如（强、弱）哥德巴赫猜想（是否每个大于2的偶数都可写成两个素数之和？）。
▲数论分支圆周率
⊙数论比较
Ⅰ.国际数论
①初等数论是用算术推导方法来论证数论命题的分支。 ②解析数论则是把算术问题化为分析问题及其成果与方法来处理、导出算术的结果。
Ⅱ.国内数论
在近代，也是发展最早的数学分支之一。
从二十世纪三十年代开始，在解析数论、丢番图方程、一致分布等方面都有过重要贡献，比如华罗庚、闵嗣鹤、柯召、陈景润、潘承洞等一流数论专家。
华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949数论研究得更大发展。陈景润、王元等在“筛法”和“(强)哥德巴赫猜想”(大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和即1+2)方面的研究，已取得世界领先的优秀成绩；周海中在著名数论难题，梅森素数分布研究中取得了世界领先的卓著成绩。
▲解析数论分支
⊙数论研究及其数学家
古希腊：毕达哥拉斯、欧几里得、丢番图
十七世纪：费马
十八世纪：欧拉、拉格朗日
十九世纪：
①代数数论：高斯、库默尔
②解析数论：黎曼、阿达玛、瓦莱·普桑、塞尔伯格、爱尔特希
廿世纪：素数判定、哥德巴赫猜想、费马大定理、黎曼假设
廿世纪三十年代：华罗庚、闵嗣鹤、柯召
世界三大数学猜想：费马猜想、四色猜想、哥德巴赫猜想
世界最著名数学问题（悬赏百万美金至今未全获解）：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨·米尔斯理论、纳卫尔·斯托可方程、BSD猜想
▲三阶数论
⊙数论应用
费马大定理解。欧拉、勒让德、费雷、维尔斯等研究合解
哥德巴赫猜想未全解决。1973年陈景润发表(1+2)详细证明，公认是对哥德巴赫猜想研究的重大贡献
大素数分解问题。随着数论发展已与密码破译紧密联系成体
孪生素数问题。孪生素数就是差为2的素数对，例如11和13,是否存在无穷多的孪生素数
费波那拉契数列。其内是否存在无穷多的素数
解析数论。源于素数分布、哥德巴赫猜想、华林问题及格点问题研究
解析数论方法。主要有复变积分法、圆法、筛法、指数和方法、特征和方法、密率等
模形式论。与解析数论密切关联
▲数论模型效果图
高斯定理
高斯定理（Gauss' law），高斯通量理论（Gauss' flux theorem），或称散度定理、高斯散度定理、高斯-奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理、高-奥公式（通常高斯定理都指该定理，但也有其它同名定理）。
代数式:∮F·dS=∫(▽·F)dV
⊙高斯定理Ⅰ
即矢量穿过任意闭合曲面的通量，等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分。它给出了闭曲面积分和相应体积分的积分变换关系，是矢量分析中的重要恒等式，也是研究场的重要公式之一。(接錒銰公众号截图：
⊙高斯定理Ⅱ
代数学基本定理：凡有理整方程f(x)=0至少有一个根。推论：一元n次方程
有且只有n个根（包括虚根和重根）。
⊙高斯定理Ⅲ
高斯数论：正整数n可被表示为两整数平方和的充要条件，是n的一切形如(4k+3)形状的质因子，幂次均为偶数。
▲堆叠数论应用。答案0
看看高斯数论再造下的蝴蝶模型，十年寒窗的趁手满分宝吖，是多么简便顺手啊。
试想阿基米德当年，如下图那样豪言壮语：如果给我一个支点，我将翘起地球来！
即便是狂傲不羁最接近神的特拉斯妄语：只要我愿意，就能把地球撕作两半！恐怕也是极可能的大概率事件吧！
简介: 錒銰。原力科技·专注名著电影科技日常原创。
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錒銰
高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理。高理的数论研究 总结 在《算术研究》（1801）中，这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一。高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径。高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念发现了著名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。1828年高斯出版了《关于曲面的一般研究》，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学，并提出内蕴曲面理论。高斯的曲面理论后来由黎曼发展。 高斯一生共发表155篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来。其著作还有《地磁概念》和《论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律》等。
