一道初中數學競賽題，很多人看完題後感覺簡單，但做對者寥寥無幾

例題：（初中數學競賽題）如圖，已知NS是⊙O的直徑，弦AB丄NS於M，P為弧ANB上異於N的任一點，PS交AB於R，PM的延長線交⊙O於Q．求證：RS＞MQ．

今天，數學世界給大家分析一道初中數學競賽題，很多人看了此題後，都感覺非常簡單，但是真正開始做了之後才知道，想證明出結論並不容易。這題確實有一定難度，如果不知道四點共圓的判定與性質，肯定是很難做出來的。解本題的關鍵是藉助“四點共圓”，根據已知條件和圖形特點，即可解決問題。下面，我們就一起來分析這道例題吧！

分析：此題要證明的結論其實可以很直觀的推出來，如果是選擇題就很容易了，但是這是解答題，必須要有嚴謹的推理過程。由於圖中有圓，所以輔助線是必不可少的。連接NR並延長交⊙O於Q′，連接NP，NQ，MQ′，SQ′。

根據∠NPS+∠NMB=180°，可證得N，M，R，P四點共圓，根據圓周角定理和等量代換，可證得∠SNQ′=∠SNQ，得出Q與Q′關於NS對稱，則MQ′=MQ。再證明M，S，Q′，R這四點共圓，由於RS為直徑，MQ′為非直徑的弦，則必有RS＞MQ′，於是結論得證。

證明：連接NR並延長交⊙O於Q′，連接NP，NQ，MQ′，SQ′，

∵NS是⊙O的直徑，弦AB丄NS於M，

∴∠NPS=∠NMB=90°，

∴∠NPS+∠NMB=180°，

∴N，M，R，P四點共圓，

根據圓周角定理和等量代換，

得∠SNQ′=∠MNR=∠MPR，∠MPR=∠SPQ=∠SNQ，

即∠SNQ′=∠SNQ，

根據圓的軸對稱性可知Q與Q′關於NS對稱，

∴MQ′=MQ．

同樣根據圓周角定理和對稱，

得∠NQ′R=∠MQN=∠MSR，

∴M，S，Q′，R四點共圓，

∵RS為直徑，MQ′為非直徑的弦，

∴RS＞MQ′，

∴RS＞MQ.

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