最初的问题是：…让我感到困惑的抽象概念，比如“巴拿—塔斯基悖论”，以及其他已被证明的纯数学和理论物理概念。但这些理论在现实或物理世界中，是否只有“假设检验”一种证明方式？如果真的是这样，那任何事情不是都可以轻而易举的被证明出来？
物理学家：检验假设是科学探究的主力，用于确定随机变量是否真实。我们通过设定既定的发生概率（即概率分布），以检验结果是否为真。一件事情发生的概率越低（即小概率事件），那么一旦发生，其真实性越高。例如，虽然希格斯玻色子还没有被找到，但从欧洲核子研究中心的数据来看，可能的概率为99.99994%。这其实是一个假设检验的结果。即使这样，如果一项有效的工作跟预期一致，那么你就有理由相信他是真实存在的。
这种证明所说的绝对真实，就如同我们可以肯定一定会有人在象棋比赛中获胜一样。在宇宙结构中，没有任何东西可以决定棋子在棋盘上的移动方式（即运动是随机的，物理移动方式除外），也没有什么东西可以决定谁最终会赢得比赛，然而我们确信最终必然有人赢得胜利。数学，尽管被称为最纯碎的科学，如同国际象棋一样，规则虽然简单（即最基本的数学概念，像加减乘除等），但我们最终可以得到远超我们一般理解能力的结果。
一旦规则建立起来，你可以基于这些规则证明一些事情和逻辑（从技术上来讲，逻辑就是更多的规则）。例如，基于一个简单明了的数学规则，你可以首先定义素数是什么，然后再证明素数有无穷多个。
数学中的规则称为“公理”和基于这些规则的结果是“定理”。例如，“一个点不能一分为二”是一个公理，“素数有无穷个”是定理。当你第一次学到数字和算数时，你是在学习皮亚诺公理和许多定义以及基于他们的结论。就像象棋中的规则，公理只是建立数学中你能或者不能做的事情，人们可以自由的他们想要或不想要的事。数学未必与现实有关联，它只是恰好包含了最有效的理解现实的工具。
事实上，我们可以创造出与现实毫无关联的新数学（如非欧几何），这听上去很奇怪，但是事实却证明很有用。例如，通过从三角形、三维空间、甚至距离的概念中推广几何定律，数学家为爱因斯坦的广义相对论铺平了道路(广义相对论用扭曲的时空来描述引力的性质)。他基本上只是将他关于时空的新想法嵌入到已经存在的数学中。
巴拿赫-塔斯基悖论是集合论中一个世纪前的成果，它是说一个三维实心球，必定存在一种办法分成有限部分，然后仅仅通过旋转和平移，就可以组成两个和原来完全相同的球（半径相同，密度相同……所有性质都相同）。需要注意的是，这在现实中当然是完全不可能的。对于巴纳赫和塔斯基来说，数学并不会受到现实的严格限制。
图解：XKCD：有趣，因为它是真的。
巴拿赫-塔斯基悖论是基于集合论中的包含选择公理的策梅洛集合论（ZFC）。激烈的争论似乎并不适用于数学领域；数学家通常会采用长篇大论的方式，以便可以换位思考。公理的选择之于数学，如同象棋技巧。虽然你不知道，但你会在不经意间使用它，比如国际象棋比赛中的“顺手”（指跟对方走同侧棋子，如双方同走当头炮）。
图解：在抽象系统中，包含的规则由偏好而非物理现实决定。为了对一个以上的人有用，大多数规则都是一致同意的，但有些则不是。（左）国际象棋中的顺从和（右）集合论中的选择公理。
在抽象系统中，所包含的规则是通过偏好确定的，而不是物理现实。大多数的规则是约定俗成的，不过有些则不是。
选择公理表明，可以从无穷多个集合中选择各单项无限集的集合。如果集合数量有限（采用穷举法）或者设定有效规则（选择当前最小集），但在实际中你会发现，通常你面对的是无穷个或者没有一个子集符合最小、最高或中间。如果你打算从这些集合中选择唯一项，选择公理可以让你“因为可以，所以选择”。这是一个重新构建规则的声明，它无关真或假的问题，这是与其他数学家保持一致性。
尽管物理学是科学的女王，是我们人类努力理解现实本质的手段，但这并不意味着她比数学更有优势。在物理学中，你只能基于物理定律在证明事物的真假。例如，牛顿万有引力定律认为，两个质量分别为M和m的物体之间的引力为F=G×（M×m）/R^²，这样的数学表达式使我们可以准确的描述/预测事物的物理行为，而非仅仅陈述事实。根据这个定律，我们可以证明行星轨道是椭圆形的。不过请注意，这里的准确（accurate）并非现实（true）如此。
如果这些规则是假的，那么基于他们的证明都不能够称为证明。这就是为什么物理学家很关心建立并且非常详细的证明他们的理论。他们会花费（看上去是浪费时间）几十年来对他们100%确定的对的事情进行测试，因为任何基本法则中的缺陷都会引起基于他们证明的事情。
每一个现在的一些规则或者假设在数学或物理中都可能会被推倒。在数学中，这全都基于逻辑，但是物理会有些棘手。我们不能凭逻辑来判断宇宙的规则。如果你只是一个空虚的心灵，宇宙自然都会是一种震撼。无论你多聪明，你都需要一些实验和观察来学习新的事情。
可以很容易的写下一些基本的物理规则，看上去可以描述我们知道的宇宙但是证明是错的。没有十分精确的数据和数学去理解，不可能知道你所知道的，这些仅仅是你所认为的。牛顿定律是非常有用的，但是却被最终误导了。他们完美的描述了宇宙，根据我们所拥有的数据；当一些精确的数据产生更真实的物理理论，我们会认识到牛顿物理只是一个很好的近似。
在爱因斯坦之前，我们认为时间和空间是完全独立的。它出现了一些严重的晦涩现象（例如，光速不变型和任何一个水星轨道上的微小误差）说明时间和空间是有些许关联的，他们是相同事情的不同方面。几乎更为可怕的是，在贝尔之前，我们认为每个事情都存在一个明确的状态，我们是否知道这个状态是什么。这在现实主义中是完全合理的。
我们所想象我们居住的宇宙和我们显然生活的宇宙的不同是难以置信的深奥，几乎无法觉察到他的影响（例如，一件事情的随机性就像放射性衰变和不可能的纠缠粒子的统计学）。用很多聪明的实验（详细的检查，阐述，多次验证）和数学得到这个结论：不可能，一个非常基础的假设，我们称之为现实主义或者现实假设实际上是错误的。量子物理学家需要理解这种属性称之为“反事实确定性”。这不值得一提，但是如果你读到他，你就是存在的。你好。
在数学中，你可以证明事情，但是你最终只是在一个板上移动碎片。逻辑世界还有很多需要学习并且发现的，但是数学，就像每一个抽象的人类努力，但在我们的脑海中。
在物理中，你可以证明事情都是遵循物理规则的。然而，这些物理规则只是至今为止是对的，因为他们总是得到很好的效果（只要我们可以测量和验证）。
1.WJ百科全书
2.天文学名词
3. askamathematician-李Nn
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