有關最大公因數和最小公倍數的各類應用題，只需一節課全部掌握。大家好我是小梁老師，這節課我們來學習這樣的一類應用題，有關最大公因數和最小公倍數。
用求最大公因數與最小公倍數方法求解的應用題，叫做公因數與公倍數問題。解題的關鍵是先求出幾個數的最大公因數或最小公倍數，然後按題意解答要求的問題。
例題1、有三根鐵絲，一根長18米，一根長24米，一根長30米現在要把它們截成同樣長的小段。每段最長可以有幾米?一共可截成多少段?
解題分析：截成的小段一定是18、24、30的最大公因數。先求這三個數的最大公因數，再求一共可以截多少段?
解：(18、24、30)＝6
(18÷6+24÷6+30÷6)＝3+4+5＝12(段)
答:每段最長可以有6米，一共可以截成12段。
例題2、一張長方形紙，長60釐米，寬36釐米，要把它截成同樣大小的正方形，並使它們的面積儘可能大。截完後又正好沒有剩餘，正方形的邊長最長可以是多少釐米?能截多少個正方形?
解題分析：要使截成的正方形面積儘可能大，也就是說，正方形的邊長要儘可能大，截完後又正好沒有剩餘，這樣正方形邊長一定是60和36的最大公因數。
解：(36、60)＝12
(60÷12)×(36÷12)＝5×3＝15(個)
答:正方形的邊長最長是12釐米，一共能
截正方形15個。
例題3、用96朵紅瑰花和72朵白政瑰花做花束。如每個花束裡的紅攻瑰花的朵數相同，白玫瑰花的朵數也相同，問最多可以做多少個花束?每個花束裡至少要有多少朵花?
解題分析：要把96朵紅花和72朵白花做成花束，每束花裡的紅花朵數一樣多，白花朵數也一樣多，那麼做成花束的個數一定是96和72的公因數，又要求花束的個數要最多，所以花東的個數應是96和72的最大公因數。
解：(1)最多可以做多少個花束?
(96、72)＝24(個)
(2)每個花束裡有幾朵紅瑰花?
96÷24＝4(朵)
(3)每個花束裡有幾朵白政瑰花?
72÷24＝3(朵)
(4)每個花束裡最少有幾朵花?
4+3＝7(朵)
答:最多可以做24個花束，每個花束裡最少有7朵花。
例題4、公共汽車站有三路汽車通往不同的地方。第一路車每5分發車一次，第二路車每隔10分發車一次，第三路車每隔6分發車一次。三路汽車在同一時間發車以後，最少過多少分再同時發車?
解題分析：這個所隔的時間一定同時是5的倍數、10的倍數、6的倍數，也就是說是5、10和6的公倍數。“最少過多少時間”，那麼，一定是5、10和6的最小公倍數。
解：(5、10、6)＝30(分）
答:最少過30分再同時發車。
例題5、某工廠加工ー種零件要經過三道工序。第一道工序每個工人每時可完成3個;第二道工序每個工人每時可完成12個;第三道工序每個工人每時可完成5個。要使流水線能正常生產，各道工序至少安排幾個工人最合理?
解題分析：安排每道工序人力時，應使每道工序在相同的時間內完成同樣多的零件個數。這個零件個數一定是每道工序每人每時完成零件個數的公倍數。至少安排的人數，一定是每道工序每人每時完成零件個數的最小公倍數除以相應的每道工序每人每時完成的零件個數。
解：(1)在相同的時間內，每道工序完成相等的零件個數至少是多少?
（3、12、5)＝60(個)
（2)第一道工序應安排多少人
60÷3＝20(人）
第二道工序應安排多少人
60÷12＝5(人）
(4)第三道工序應安排多少人?
60÷5＝12(人）
答:第一道工序至少安排20人，第二道工序至少安排5人，第三道工序至少安排12人。
例題6、有一批機器零件。每12個放一盒，多出11個;每18個放一盒，就少1個;每15個放一盒，就有7盒各多2個。這些零件個數在300至400之間。這批零件共有多少個?
解題分析：每12個放一盒，多出11個，就是說，這批零件的個數被12整除後餘11個；每18個放一盒，就少1個，就是說，這批零件的個數被18整除少1；每15個放一盒，就有7盒各多2個，多了2×7＝14(個)，也就是這批零件的個數被15除也少1個。也就是如果這批零件的個數增加1，恰好是12、18和15的公倍數。
解：(1)剛好能12個、18個或15個放一盒的零件最少是多少個?
(12、18、15)＝180個
(2)在300至400之間的180的倍數是多少?
180×2=360個
(3)這批零件共有多少個?
360一1＝359(個)
答:這批零件共有359個。
例題7、一個數除193餘4，除1089餘9。這個數最大是多少。
解:這個數除(193－4)沒有餘數，這個數除(1089－9)沒有餘數，這個數一定是(193－4)和(1089－9)的公因數。要求的這個數一定是這兩個數的最大公因數。
解：193-4=189
1089-9=1080
（189、1080)＝27
例題8、公路上有一排電線杆，共25根。每相鄰兩根電線杆距離原來都是45米，現在要改為60米，可以有幾根不需要移動？
解題分析：不需要移動的電線杆一定既是45的倍數，又是60的倍數。要先求45和60的最小公倍數，以及這條公路的全長，再計算有幾根電線杆不需要移動。
解：(1)從第一根起至少相隔多少米的一根電線杆不需移動?
(45、60)＝180米
(2)全路長多少米
45X(25一1)＝45×24＝1080(米)
(3)可以有幾根電線杆不需要移動?
1080÷180+1＝6+1＝7(根)
答:可以有7根電線杆不需要移動。
這節課學完後可有些收穫？你還有哪些這方面的應用題可以補充的？我是小梁老師，有什麼不會做的題目歡迎大家留言。下節課見！
閱讀更多 好未來小樑老師 的文章
