这是一道什么样的数学题，为何激发了剑桥学子的研究兴趣？

1936年，剑桥大学三一学院的4名学生，分别是布鲁克斯（Boks）、史密斯（Smith）、斯通（Stone）和塔特（Tute）发现了一个有趣的问题，他们凑在一块积极思考：一个矩形能否分割成两两不等的几个正方形？

通过多次实验，四位优秀的学子终于找到了一个这样的矩形，即长33、宽32的矩形，可以作这种正方分割，分割法就像下面的图1一样。

图1

后来，斯通又找到了另一个可正方分割的矩形，即长17、宽176的矩形，可以分割成边长分别为99、78、77、57、43、25、21、34、41、16、9的11个正方形。

其实，这个时候，四名优秀学子已经在研究一个世界上最有意思的数学难题，如何寻求一个矩形的正方分割的一般方法？

深入思考，带来更多的问题。

他们开始在原来思考的基础之上，通力合作，继续思考。

他们先做了一个矩形分割成正方形的草图，用未知数标出每个正方形的边长，写出这些边长应满足的关系式以使得这些正方形合成一个矩形，然后解所得关系式组成的方程组。于是，一个矩形能否正方分割的问题便转化为方程组有无正数解的问题，因为边长为负无意义。

图2

如图2的样子，为尽可能减少未知数的个数，我们在用未知数字母表示各正方形边长时就充分考虑到它们能拼成一个矩形的条件。这样，我们可以先设内层较小的相邻三个正方形的边长分别为x、y、z，其余正方形的边长便很容易用x、y、z表示它们的边长，依次是x+y、2x+y、y-2zy、y-3z、y-5z。利用“矩形水平边相等”可得到：

（2x+y）+（x+y）=（2y-5z）+（y-2z）+（y-z）

即3x-2y+8z=0 ①

利用“矩形竖直边相等”，可得到（2y-5z）+(2x+y)=(y-z)+y+（x+y）

即x-4z=0 ②

由①②得：:x=4z，y=10z ③

显然，由①②组成的方程组有无穷多组解，③式即表示这无穷组解的通式，假如让z=1，则x=4，y=10，于是，矩形长为2x+3y-52=8+30-5=33，宽为4y-8=40-8=32。

这便是图所示的矩形，可以设想，若设z取其他正值，所得到的形以及分割成的诸小正方形，都是彼此相似的。

再进一步考虑，未知数的个数还能减少吗？

比如说，设两个未知数x、y，这样是否可行？这四位学生说，当然可行！这样就有了图3。

图3

设最小的两个正方形边长分别为x、y，其余正方形边长分别为：x+y、2x+y、3x+y、x+2y、x+3y、3x-3y、6x-2y、9x-5y、2x+5y，再根据矩形两条水平边相等，两条竖直边相等，这样又可以得到：

9x-5y+6x-2y=2x+5y+x+2y+x+y+2x+y ④

9x-5y+2x+5y=6x-2y+3x+y+2x+y ⑤

④式化为：15x-7y=6x+9y，9x=16y ⑥

⑤式化为恒等式11x=11x；

⑥式表示无穷多组解y=9/10x。

当x=16，y=9时，矩形的长为177，宽为176。这便是学生之一斯通找到的可正方分割的矩形。

四位学生通力合作提出的难题，最终为促使其他数学家创造了新的世界纪录。

后来，斯通、塔特和他的朋友们反复考虑，能否将一个正方形分割成两两不等的几个正方形呢？

剑桥大学教学楼

他们把这样的正方形称为“可完全剖分”的正方形，简称“完全正方形”。经多次实验都没有找出一个具体的“完全正方形”，于是，他们企图证明：完全正方形是不存在的，然而，他们始终没能证明这一点。

1939年，柏林的R·施帕拉格（Sprague）终于找到了一个完全正方形。接着，又有许多完全正方形被相继发现。“完全矩形家族”兴旺不久，“完全正方形家族”也开始兴旺起来。

对完全矩形即非正方形而言，它们的长宽之比例可以千变万化，而“完全正方形”则不然。所以，对完全正方形的研究兴趣自然落在“试图寻找一个分割正方形个数最少的即称为最低阶的完全正方形”方面。

北京大学

直到目前为止，英国业余数学家T·H·威尔科克斯（Willcocks）发现的24阶完全正方形，是世界最佳纪录。随后，有人发现，有些正方形剖分，使分割后的小正方形在原正方形内部构成矩形。如果把这种情形加以限制和排除，即分割所得众多正方形的安排，并不在原来图形内部构成任何小矩形。那么，这种剖分称为“简单的”，否则称为复合的。T·H·威尔科克斯（Willcocks）发现的24阶世界纪录是对“复合剖分”的，而“简单剖分的”世界纪录一度为37，这个纪录的创造者也是威尔科克斯。但是，1964年，铁卢大学J·威尔逊（Wilson）博士——塔特的一个学生打破了这个世界纪录。他用借助计算机，终于找到了一个25阶简单完全正方形，创造了新的世界纪录。