文｜冷絲
欄目｜絲說數學題
四位優秀的劍橋大學學子研究過一道極富挑戰性的數學題，不懈努力之下，不僅找到了答案，還促使其他數學家創造了新的世界紀錄。
劍橋大學的“數學橋”
冷絲今天和你一起分享一下這道數學題，也給你提出一個挑戰請求：你快來試試看，你能否達到劍橋學子當年的水平？
這是一道什麼樣的數學題，為何激發了劍橋學子的研究興趣？
1936年，劍橋大學三一學院的4名學生，分別是布魯克斯（Boks）、史密斯（Smith）、斯通（Stone）和塔特（Tute）發現了一個有趣的問題，他們湊在一塊積極思考：一個矩形能否分割成兩兩不等的幾個正方形？
通過多次實驗，四位優秀的學子終於找到了一個這樣的矩形，即長33、寬32的矩形，可以作這種正方分割，分割法就像下面的圖1一樣。
圖1
後來，斯通又找到了另一個可正方分割的矩形，即長17、寬176的矩形，可以分割成邊長分別為99、78、77、57、43、25、21、34、41、16、9的11個正方形。
其實，這個時候，四名優秀學子已經在研究一個世界上最有意思的數學難題，如何尋求一個矩形的正方分割的一般方法？
深入思考，帶來更多的問題。
他們開始在原來思考的基礎之上，通力合作，繼續思考。
他們先做了一個矩形分割成正方形的草圖，用未知數標出每個正方形的邊長，寫出這些邊長應滿足的關係式以使得這些正方形合成一個矩形，然後解所得關係式組成的方程組。於是，一個矩形能否正方分割的問題便轉化為方程組有無正數解的問題，因為邊長為負無意義。
圖2
如圖2的樣子，為儘可能減少未知數的個數，我們在用未知數字母表示各正方形邊長時就充分考慮到它們能拼成一個矩形的條件。這樣，我們可以先設內層較小的相鄰三個正方形的邊長分別為x、y、z，其餘正方形的邊長便很容易用x、y、z表示它們的邊長，依次是x+y、2x+y、y-2zy、y-3z、y-5z。利用“矩形水平邊相等”可得到：
（2x+y）+（x+y）=（2y-5z）+（y-2z）+（y-z）
即3x-2y+8z=0 ①
利用“矩形豎直邊相等”，可得到（2y-5z）+(2x+y)=(y-z)+y+（x+y）
即x-4z=0 ②
由①②得：:x=4z，y=10z ③
顯然，由①②組成的方程組有無窮多組解，③式即表示這無窮組解的通式，假如讓z=1，則x=4，y=10，於是，矩形長為2x+3y-52=8+30-5=33，寬為4y-8=40-8=32。
這便是圖所示的矩形，可以設想，若設z取其他正值，所得到的形以及分割成的諸小正方形，都是彼此相似的。
再進一步考慮，未知數的個數還能減少嗎？
比如說，設兩個未知數x、y，這樣是否可行？這四位學生說，當然可行！這樣就有了圖3。
圖3
設最小的兩個正方形邊長分別為x、y，其餘正方形邊長分別為：x+y、2x+y、3x+y、x+2y、x+3y、3x-3y、6x-2y、9x-5y、2x+5y，再根據矩形兩條水平邊相等，兩條豎直邊相等，這樣又可以得到：
9x-5y+6x-2y=2x+5y+x+2y+x+y+2x+y ④
9x-5y+2x+5y=6x-2y+3x+y+2x+y ⑤
④式化為：15x-7y=6x+9y，9x=16y ⑥
⑤式化為恆等式11x=11x；
⑥式表示無窮多組解y=9/10x。
當x=16，y=9時，矩形的長為177，寬為176。這便是學生之一斯通找到的可正方分割的矩形。
四位學生通力合作提出的難題，最終為促使其他數學家創造了新的世界紀錄。
後來，斯通、塔特和他的朋友們反覆考慮，能否將一個正方形分割成兩兩不等的幾個正方形呢？
劍橋大學教學樓
他們把這樣的正方形稱為“可完全剖分”的正方形，簡稱“完全正方形”。經多次實驗都沒有找出一個具體的“完全正方形”，於是，他們企圖證明：完全正方形是不存在的，然而，他們始終沒能證明這一點。
1939年，柏林的R·施帕拉格（Sprague）終於找到了一個完全正方形。接著，又有許多完全正方形被相繼發現。“完全矩形家族”興旺不久，“完全正方形家族”也開始興旺起來。
對完全矩形即非正方形而言，它們的長寬之比例可以千變萬化，而“完全正方形”則不然。所以，對完全正方形的研究興趣自然落在“試圖尋找一個分割正方形個數最少的即稱為最低階的完全正方形”方面。
北京大學
直到目前為止，英國業餘數學家T·H·威爾科克斯（Willcocks）發現的24階完全正方形，是世界最佳紀錄。隨後，有人發現，有些正方形剖分，使分割後的小正方形在原正方形內部構成矩形。如果把這種情形加以限制和排除，即分割所得眾多正方形的安排，並不在原來圖形內部構成任何小矩形。那麼，這種剖分稱為“簡單的”，否則稱為複合的。T·H·威爾科克斯（Willcocks）發現的24階世界紀錄是對“複合剖分”的，而“簡單剖分的”世界紀錄一度為37，這個紀錄的創造者也是威爾科克斯。但是，1964年，鐵盧大學J·威爾遜（Wilson）博士——塔特的一個學生打破了這個世界紀錄。他用藉助計算機，終於找到了一個25階簡單完全正方形，創造了新的世界紀錄。
復旦大學
如今是計算機科學時代，應用計算機證明了沒有低於20階的簡單完全正方形。因而，對於由四位劍橋學子引發的心得紀錄已沒有多少改進的餘地。當然，由25階改進到24、23……20階，那將更為引人矚目。冷絲也期待這一結果的到來！
閱讀更多 冷絲說人文教育 的文章
