如果調查學生對數學的印象，十有八九是”做不完的數學“。不僅做不完，還變態的難。網上有個特別應景的段子：”人被逼急了，什麼都能做出來，除了數學題。“
因此，每次說到”題海戰術“，大家腦中的第一個念頭，基本上是數學。作為數學老師，我也不少被學生吐槽，好像題目都是我故意找出來折磨他們一樣。
相信沒有一個數學老師，希望自己成為扼殺學生興趣的劊子手，但是離開了練習，數學還真是學不好。丹尼爾·T威林厄姆在其著作《為什麼學生不喜歡上學?》中，提出了一個認知原理：沒有充分的練習，你不可能精通任何腦力活。
數學恰恰是腦力活。
為什麼需要練習？
首先，練習能幫助獲得能力。比如小孩子通過不斷練習學會繫鞋帶。
其次，練習能幫助提高能力。比如足球高手已經熟練射門的基礎動作，但還是反覆練習，以提高球的速度和射門的精度。
以上兩個原因顯而易見，還有一個不太明顯的原因。我們有時已經掌握了一項技能，而且再練習似乎也不會有所提高，但還是要不斷練習，那是因為這樣的練習有三個好處：
- 讓思考更省力
- 讓記憶更持久
- 讓遷移更容易
1、練習讓思考更省力
為了瞭解這一點，我們先回顧思考過程的兩個要點。
上圖展示了大腦思考的一個簡易模型。
思考的第一個要點，是工作記憶是思考的空間。
思考的本質，是把環境和長期記憶中的信息，放入工作記憶中重新組合的過程。比如你想回答“蘋果和荔枝有什麼相似點”，就需要理解它們的特徵，然後把這些特徵放入到工作記憶中進行對比。
思考的第二個要點，是工作記憶的空間有限。
思考在工作記憶中發生，而工作記憶的大小是認知系統的基礎瓶頸，一旦同時放入工作記憶的東西太多，思考就會受阻。
比如心算"3×14"不難，心算"153886×34725"幾乎不可能。儘管使用的方法都一樣，但是大腦中沒有足夠的工作記憶存放後者的中間步驟。
工作記憶容量大的人比容量小的人更有思考上的優勢。羨慕的同時，我們得面對一個現實，目前還沒發現什麼有效的辦法，能夠幫助擴大工作記憶的容量。工作記憶就像是遺傳的新手大禮包。
那麼，如何解決工作記憶有限的問題呢？有兩種辦法。
第一種是把事實合併，使其佔用的工作記憶空間變小。這點需要長期記憶中的事實，讓壓縮信息成為可能，即把幾個獨立的事物合併成一個單位。比如閱讀字母p-i-z-z-a，至少要在工作記憶中佔五個單位，但是如果你能把它們看成“pizza”，那麼它只需要佔用一個單位，這就達到釋放工作記憶的效果。關鍵是，你得認出“pizza”這個詞，也就是說，你的長期記憶中要有這個單詞。
第二種是讓思考過程自動化，提高工作記憶中信息的處理效率。一個選擇是壓縮我們把信息帶入工作記憶的過程。比如計算“7×9”，學生可能把7個9相加，或者把9個7相加；如果記得乘法口訣，學生只要一句“七九六十三”就得出結果了。或者信息進入工作記憶的時候更有效率地處理它。顯然，牢記乘法口訣的學生比不了解的學生能夠更好地解決乘法問題。
另一個選擇是在信息到達工作記憶後巧妙地處理它 。比如拼音打字，一開始你很努力地想出每個字的拼音，確保打出正確的字，很難思考所打文字的含義。隨著練習的增加，你逐步可以把注意力集中在含義上。到最後，你可以用微信和別人愉快地聊天，絲毫沒意識到手指是怎麼打字的。
不管是合併事實，還是把思考過程自動化，你需要付出的代價是什麼？沒錯，就是練習，反覆不斷地練習。
2、練習讓記憶更久
如果和高中時代的自己比知識淵博，我感覺會被秒殺。儘管在讀書時代，我們的老師花費了大量的時間和精力，但是我們學過的大部分知識還是還給了他們。
研究學生記憶的學者得出一個結論，我們很快就會忘記大多數學到的東西。
有的人覺得這是因為讀書不夠努力。那麼，努力可以防止遺忘嗎？不能。
在一個研究中，學者跟蹤對比了一群學生，這些學生在過去的三年到十六年中，上過一學期制的發展心理學課程。學者對這些學生做了一個和課程內容有關的測試。下圖現實了測試結果，兩條曲線分別代表該門課得A和得B及以下成績的學生。
測試表明，即使得A的學生更加努力，他們也和其他人一樣會遺忘，而且遺忘的速度相同。因此，努力學習不能防止遺忘。
努力學習並不能防止遺忘，但是有一件事情可以：持續地學習。
另一個研究說明了這件事情。在這個研究中，學者給不同年齡的被試者做基礎代數的測試，一千多人參加，他們的背景非常多元化，更重要的是，他們的數學水平不同。
下圖顯示了這一測驗的成績。
為了試驗的準確性，所有人在同一時間接受測試。被試者按照在高中和大學學過的數學課程數量被分成4組。先看最下面的那條曲線，這是上過一門代數課的人的成績。最左邊的點對應的是剛剛上過代數課的人，最右邊的點對應的是五十五年前上過代數課的人。和預期一樣，越早上代數課的人成績越低。
四條曲線中，唯一不同的是最高的曲線，這是上過比微積分更高課程的人的成績。這條線有趣的地方時：它是平的！也就是說，五十五年前上過最後一門數學課的人，和五年前上過最後一門數學課的人成績是一樣的！
這是什麼原因呢？
這個結果不是因為學更多數學的人更聰明或者更加偏愛數學，因為他們以往的速度和其他人是相同的。不同的地方，是他們學完代數課程以後的課程，還能讓確保他們能夠持續地用到基礎代數知識。
換句話說，一個第一堂代數課得C的學生，如果選擇繼續上數學課，他將會記得代數；相反地，一個第一門代數課得A的學生，如果從此不再學數學，他也會忘記代數。
持續地練習，是記憶持久的秘籍所在！
學者還研究瞭如何安排學習計劃的重要性。持續練習可以分為兩種，一種是單次大量的集中練習，另一種是多次少量的分散練習。比如學習三角形勾股定理需要兩個小時，你會如何分配這兩個小時？是不間斷地學兩個小時，還是分散兩天，每天學一個小時，還是分散更多？
集中練習的一個典型例子，就是“臨時抱佛腳”，即在考試前集中學習一門課程。通過臨時抱佛腳，你可以短時間內“學到”很多內容，儘管考完試後就什麼都不記得了，但是從應試的角度看，這個策略的確有點用。研究結果也印證了這點。不過，從學習的效益來看，分散學習要比“臨時抱佛腳”更有助於持久記憶。
分散學習有兩個好處。一個是可以減少每次練習的時間；另一個是從時間上分開，練習會變得有趣些，因為練習本身並不好玩，即使它能帶來認知的提升。
3、練習讓遷移更容易
之前寫過的一篇文章，《你覺得簡單的概念，為什麼學生就是難以理解？》，裡面提到過知識遷移的兩個關鍵，一個是識別問題的深層結構，另一個是問題與深層結構之間的對應關係。練習可以幫助學生解決這兩個問題。
重複做很多某一類型的題目使你更容易識別一個新問題的深層結構，即使你以前沒有見過新問題。
比如，當你看到下面這道題：
你計劃去香港旅行，並且聽說如果隨身攜帶人民幣，到達香港後再換成港元來支付酒店費用的話，可以節省一大筆手續費。你計劃在酒店住三晚，每晚的費用是100港元。請問你還需要什麼信息才能計算需要攜帶多少人民幣？怎樣計算？
如果你做過很多關於除法的問題，你就更容易看出這道題的深層結構。
有的學生確實知道除法，但還是不能看出這道題的深層結構。他們搞不懂的是，為什麼這道題可以用除法？
學生搞不懂的原因，是不理解旅遊、酒店費用、港元和人民幣之間的聯繫，所以無法找到問題與除法這個深層結構的對應關係。
當我們閱讀的時候，大腦會自動調取合適的已有知識，幫助我們理解閱讀內容的含義，以及閱讀內容中不同事物的聯繫。
比如我告訴你這樣一個故事：
小明一家三口在一個小島度假，那裡有一個奇怪的規定：如果兩個以上的人在天黑之後到戶外的話，每個人必須帶一支筆。但是小明當天晚去吃飯的時候，還是忘記帶筆了。
聽到這裡，你不用費勁就能想到：小明違反規定了。雖然你從來沒有聽過這個規定，但是你對這個故事裡的每個元素之間的聯繫都有足夠多的瞭解。這個故事其實圍繞“規則”展開，而我們對規則並不陌生。比如，過馬路時，遇到紅燈需要停下來等待。
我們不僅瞭解“規則”，還知道違反規則通常會面臨一個後果。因此當我告訴你這個故事時，你很可能會猜測接下來發生什麼事情，比如好奇地問：“後來小明被抓到了嗎？”
大腦儲存概念的方式，與儲存概念之間聯繫的方式是一樣的。學生不僅需要通過練習來獲得概念，還需要通過練習來積累概念之間的聯繫，從而更容易識別能夠解決問題的深層結構。
瞭解了練習的價值，我們在教學中如何正確地開展練習呢？
1、練習什麼？
不是每件事情都值得練習，我們也沒有這麼多時間給學生練習。學生上學的核心任務是學習，學習的效益取決於學生的學習效率，學習效率的高低依賴於學生的思考過程，而工作記憶的有限空間是思考的瓶頸所在，因此，
要判斷一個知識點是否有練習的價值，在於它能否有助於合併信息，或者促進思考的自動化，從而使工作記憶能得到更充分的利用。從這個角度看，數學這一科，有三類知識值得反覆練習：
一類是基本概念，比如有理數、分式、三角形、三角函數、軸對稱......
一類是基本技能，比如化簡求值、證明三角形全等、尺規作圖、求概率......
還有一類是數學思維，比如整體思想、數形結合、化歸思想、分類討論......
2、怎樣練習？
教學中，我發現一個“有趣”的現象：在剛教完學生一個或幾個相關的知識點後，我習慣安排一節相應的習題課，學生做得很爽，練習的完成質量也很滿意；可是一到考試，有的學生就好像突然不會做似的，這裡錯那裡錯。
上文說過，練習分為集中練習和分散練習。在學生掌握知識點之前，安排一段時間集中練習是必要的；但是學生掌握以後，分散練習比集中練習更有助於記憶的持久。
分散練習有兩種辦法。
一種是分散練習的時間。持續不斷地練習同一個知識點是很無聊的事，少量多次的練習可以帶來變化，讓練習的任務變得有趣些。比如，比起一次做10到解方程，學生更容易接受每天解一個方程。
另一種是分散練習的題目，有兩種方式：橫向分散和縱向分散。
橫向分散就是在同一組練習中設置不同深層結構的題目。這樣做可以促進學生花更多的時間思考如何應用學到的知識。
如果所有的練習都集中在一起，學生會猜想遇到的每一個問題都會和練習的主旨有關。比如，你給學生5道勾股定理的題目，儘管每道題不一樣，但是學生會主動把每道題的思路往勾股定理靠攏。如果你給學生5道題，分別是勾股定理、化簡求值、三角形相似、方程應用題和函數關係式，那麼學生在做每一道題的時候，都要好好想想該用哪個知識點。記憶是思考的痕跡，分散練習通過促進學生思考，讓記憶更加持久。
縱向分散就是在同一個知識點的練習中設置不同類型的題目。題目可以分為三類。
第一類是基本題，主要考查基本概念的理解和基本技能的掌握。比如下圖的題目，就屬於一元二次方程的基本題。
第二類是應用題，主要考查知識在生活情境中的應用。比如下圖的題目，就屬於一元二次方程的生活應用題。
還有一類是綜合題，主要考查多個知識點的組合運用。比如下圖的題目，涉及一元二次方程的應用、三角形的面積、時間與路程的關係等知識的綜合。
我是總結
1、我們為什麼需要練習？
（1）顯性的價值：獲得能力，提高能力。
（2）隱形的價值：讓思考更省力，讓記憶更持久，讓遷移更容易。
2、怎樣正確地練習？
（1）篩選值得練習的內容：促進合併信息，促進思考的自動化。
（2）選擇練習的方式：集中練習，分散練習（分散時間和題目）。
《為什麼學生不喜歡上學?》作者：(美) 威廉厄姆Willingham.D.T.) 出版社: 江蘇教育出版社 2010年
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