如果调查学生对数学的印象，十有八九是”做不完的数学“。不仅做不完，还变态的难。网上有个特别应景的段子：”人被逼急了，什么都能做出来，除了数学题。“
因此，每次说到”题海战术“，大家脑中的第一个念头，基本上是数学。作为数学老师，我也不少被学生吐槽，好像题目都是我故意找出来折磨他们一样。
相信没有一个数学老师，希望自己成为扼杀学生兴趣的刽子手，但是离开了练习，数学还真是学不好。丹尼尔·T威林厄姆在其著作《为什么学生不喜欢上学?》中，提出了一个认知原理：没有充分的练习，你不可能精通任何脑力活。
数学恰恰是脑力活。
为什么需要练习？
首先，练习能帮助获得能力。比如小孩子通过不断练习学会系鞋带。
其次，练习能帮助提高能力。比如足球高手已经熟练射门的基础动作，但还是反复练习，以提高球的速度和射门的精度。
以上两个原因显而易见，还有一个不太明显的原因。我们有时已经掌握了一项技能，而且再练习似乎也不会有所提高，但还是要不断练习，那是因为这样的练习有三个好处：
- 让思考更省力
- 让记忆更持久
- 让迁移更容易
1、练习让思考更省力
为了了解这一点，我们先回顾思考过程的两个要点。
上图展示了大脑思考的一个简易模型。
思考的第一个要点，是工作记忆是思考的空间。
思考的本质，是把环境和长期记忆中的信息，放入工作记忆中重新组合的过程。比如你想回答“苹果和荔枝有什么相似点”，就需要理解它们的特征，然后把这些特征放入到工作记忆中进行对比。
思考的第二个要点，是工作记忆的空间有限。
思考在工作记忆中发生，而工作记忆的大小是认知系统的基础瓶颈，一旦同时放入工作记忆的东西太多，思考就会受阻。
比如心算"3×14"不难，心算"153886×34725"几乎不可能。尽管使用的方法都一样，但是大脑中没有足够的工作记忆存放后者的中间步骤。
工作记忆容量大的人比容量小的人更有思考上的优势。羡慕的同时，我们得面对一个现实，目前还没发现什么有效的办法，能够帮助扩大工作记忆的容量。工作记忆就像是遗传的新手大礼包。
那么，如何解决工作记忆有限的问题呢？有两种办法。
第一种是把事实合并，使其占用的工作记忆空间变小。这点需要长期记忆中的事实，让压缩信息成为可能，即把几个独立的事物合并成一个单位。比如阅读字母p-i-z-z-a，至少要在工作记忆中占五个单位，但是如果你能把它们看成“pizza”，那么它只需要占用一个单位，这就达到释放工作记忆的效果。关键是，你得认出“pizza”这个词，也就是说，你的长期记忆中要有这个单词。
第二种是让思考过程自动化，提高工作记忆中信息的处理效率。一个选择是压缩我们把信息带入工作记忆的过程。比如计算“7×9”，学生可能把7个9相加，或者把9个7相加；如果记得乘法口诀，学生只要一句“七九六十三”就得出结果了。或者信息进入工作记忆的时候更有效率地处理它。显然，牢记乘法口诀的学生比不了解的学生能够更好地解决乘法问题。
另一个选择是在信息到达工作记忆后巧妙地处理它 。比如拼音打字，一开始你很努力地想出每个字的拼音，确保打出正确的字，很难思考所打文字的含义。随着练习的增加，你逐步可以把注意力集中在含义上。到最后，你可以用微信和别人愉快地聊天，丝毫没意识到手指是怎么打字的。
不管是合并事实，还是把思考过程自动化，你需要付出的代价是什么？没错，就是练习，反复不断地练习。
2、练习让记忆更久
如果和高中时代的自己比知识渊博，我感觉会被秒杀。尽管在读书时代，我们的老师花费了大量的时间和精力，但是我们学过的大部分知识还是还给了他们。
研究学生记忆的学者得出一个结论，我们很快就会忘记大多数学到的东西。
有的人觉得这是因为读书不够努力。那么，努力可以防止遗忘吗？不能。
在一个研究中，学者跟踪对比了一群学生，这些学生在过去的三年到十六年中，上过一学期制的发展心理学课程。学者对这些学生做了一个和课程内容有关的测试。下图现实了测试结果，两条曲线分别代表该门课得A和得B及以下成绩的学生。
测试表明，即使得A的学生更加努力，他们也和其他人一样会遗忘，而且遗忘的速度相同。因此，努力学习不能防止遗忘。
努力学习并不能防止遗忘，但是有一件事情可以：持续地学习。
另一个研究说明了这件事情。在这个研究中，学者给不同年龄的被试者做基础代数的测试，一千多人参加，他们的背景非常多元化，更重要的是，他们的数学水平不同。
下图显示了这一测验的成绩。
为了试验的准确性，所有人在同一时间接受测试。被试者按照在高中和大学学过的数学课程数量被分成4组。先看最下面的那条曲线，这是上过一门代数课的人的成绩。最左边的点对应的是刚刚上过代数课的人，最右边的点对应的是五十五年前上过代数课的人。和预期一样，越早上代数课的人成绩越低。
四条曲线中，唯一不同的是最高的曲线，这是上过比微积分更高课程的人的成绩。这条线有趣的地方时：它是平的！也就是说，五十五年前上过最后一门数学课的人，和五年前上过最后一门数学课的人成绩是一样的！
这是什么原因呢？
这个结果不是因为学更多数学的人更聪明或者更加偏爱数学，因为他们以往的速度和其他人是相同的。不同的地方，是他们学完代数课程以后的课程，还能让确保他们能够持续地用到基础代数知识。
换句话说，一个第一堂代数课得C的学生，如果选择继续上数学课，他将会记得代数；相反地，一个第一门代数课得A的学生，如果从此不再学数学，他也会忘记代数。
持续地练习，是记忆持久的秘籍所在！
学者还研究了如何安排学习计划的重要性。持续练习可以分为两种，一种是单次大量的集中练习，另一种是多次少量的分散练习。比如学习三角形勾股定理需要两个小时，你会如何分配这两个小时？是不间断地学两个小时，还是分散两天，每天学一个小时，还是分散更多？
集中练习的一个典型例子，就是“临时抱佛脚”，即在考试前集中学习一门课程。通过临时抱佛脚，你可以短时间内“学到”很多内容，尽管考完试后就什么都不记得了，但是从应试的角度看，这个策略的确有点用。研究结果也印证了这点。不过，从学习的效益来看，分散学习要比“临时抱佛脚”更有助于持久记忆。
分散学习有两个好处。一个是可以减少每次练习的时间；另一个是从时间上分开，练习会变得有趣些，因为练习本身并不好玩，即使它能带来认知的提升。
3、练习让迁移更容易
之前写过的一篇文章，《你觉得简单的概念，为什么学生就是难以理解？》，里面提到过知识迁移的两个关键，一个是识别问题的深层结构，另一个是问题与深层结构之间的对应关系。练习可以帮助学生解决这两个问题。
重复做很多某一类型的题目使你更容易识别一个新问题的深层结构，即使你以前没有见过新问题。
比如，当你看到下面这道题：
你计划去香港旅行，并且听说如果随身携带人民币，到达香港后再换成港元来支付酒店费用的话，可以节省一大笔手续费。你计划在酒店住三晚，每晚的费用是100港元。请问你还需要什么信息才能计算需要携带多少人民币？怎样计算？
如果你做过很多关于除法的问题，你就更容易看出这道题的深层结构。
有的学生确实知道除法，但还是不能看出这道题的深层结构。他们搞不懂的是，为什么这道题可以用除法？
学生搞不懂的原因，是不理解旅游、酒店费用、港元和人民币之间的联系，所以无法找到问题与除法这个深层结构的对应关系。
当我们阅读的时候，大脑会自动调取合适的已有知识，帮助我们理解阅读内容的含义，以及阅读内容中不同事物的联系。
比如我告诉你这样一个故事：
小明一家三口在一个小岛度假，那里有一个奇怪的规定：如果两个以上的人在天黑之后到户外的话，每个人必须带一支笔。但是小明当天晚去吃饭的时候，还是忘记带笔了。
听到这里，你不用费劲就能想到：小明违反规定了。虽然你从来没有听过这个规定，但是你对这个故事里的每个元素之间的联系都有足够多的了解。这个故事其实围绕“规则”展开，而我们对规则并不陌生。比如，过马路时，遇到红灯需要停下来等待。
我们不仅了解“规则”，还知道违反规则通常会面临一个后果。因此当我告诉你这个故事时，你很可能会猜测接下来发生什么事情，比如好奇地问：“后来小明被抓到了吗？”
大脑储存概念的方式，与储存概念之间联系的方式是一样的。学生不仅需要通过练习来获得概念，还需要通过练习来积累概念之间的联系，从而更容易识别能够解决问题的深层结构。
了解了练习的价值，我们在教学中如何正确地开展练习呢？
1、练习什么？
不是每件事情都值得练习，我们也没有这么多时间给学生练习。学生上学的核心任务是学习，学习的效益取决于学生的学习效率，学习效率的高低依赖于学生的思考过程，而工作记忆的有限空间是思考的瓶颈所在，因此，
要判断一个知识点是否有练习的价值，在于它能否有助于合并信息，或者促进思考的自动化，从而使工作记忆能得到更充分的利用。从这个角度看，数学这一科，有三类知识值得反复练习：
一类是基本概念，比如有理数、分式、三角形、三角函数、轴对称......
一类是基本技能，比如化简求值、证明三角形全等、尺规作图、求概率......
还有一类是数学思维，比如整体思想、数形结合、化归思想、分类讨论......
2、怎样练习？
教学中，我发现一个“有趣”的现象：在刚教完学生一个或几个相关的知识点后，我习惯安排一节相应的习题课，学生做得很爽，练习的完成质量也很满意；可是一到考试，有的学生就好像突然不会做似的，这里错那里错。
上文说过，练习分为集中练习和分散练习。在学生掌握知识点之前，安排一段时间集中练习是必要的；但是学生掌握以后，分散练习比集中练习更有助于记忆的持久。
分散练习有两种办法。
一种是分散练习的时间。持续不断地练习同一个知识点是很无聊的事，少量多次的练习可以带来变化，让练习的任务变得有趣些。比如，比起一次做10到解方程，学生更容易接受每天解一个方程。
另一种是分散练习的题目，有两种方式：横向分散和纵向分散。
横向分散就是在同一组练习中设置不同深层结构的题目。这样做可以促进学生花更多的时间思考如何应用学到的知识。
如果所有的练习都集中在一起，学生会猜想遇到的每一个问题都会和练习的主旨有关。比如，你给学生5道勾股定理的题目，尽管每道题不一样，但是学生会主动把每道题的思路往勾股定理靠拢。如果你给学生5道题，分别是勾股定理、化简求值、三角形相似、方程应用题和函数关系式，那么学生在做每一道题的时候，都要好好想想该用哪个知识点。记忆是思考的痕迹，分散练习通过促进学生思考，让记忆更加持久。
纵向分散就是在同一个知识点的练习中设置不同类型的题目。题目可以分为三类。
第一类是基本题，主要考查基本概念的理解和基本技能的掌握。比如下图的题目，就属于一元二次方程的基本题。
第二类是应用题，主要考查知识在生活情境中的应用。比如下图的题目，就属于一元二次方程的生活应用题。
还有一类是综合题，主要考查多个知识点的组合运用。比如下图的题目，涉及一元二次方程的应用、三角形的面积、时间与路程的关系等知识的综合。
我是总结
1、我们为什么需要练习？
（1）显性的价值：获得能力，提高能力。
（2）隐形的价值：让思考更省力，让记忆更持久，让迁移更容易。
2、怎样正确地练习？
（1）筛选值得练习的内容：促进合并信息，促进思考的自动化。
（2）选择练习的方式：集中练习，分散练习（分散时间和题目）。
《为什么学生不喜欢上学?》作者：(美) 威廉厄姆Willingham.D.T.) 出版社: 江苏教育出版社 2010年
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