我居然跑不贏
一隻龜
看文章前，我們先來討論一個問題：“假設有一筆錢，先花它一半，再花它剩下的一半，這麼花下去，是不是永遠花不完？”。
看起來這個問題無懈可擊，找不到bug，但是實際上要是能實現的話，我相信應該也沒窮人了吧，畢竟大家都花不完的錢了。
悖論引發的烏龜問題
這個其實也是著名的“芝諾悖論”——“兩分法”。
一個人從A點走到B點，要先走完路程的1/2，再走完剩下總路程的1/2，再走完剩下的1/2，”如此循環下去，永遠不能到終點。當時芝諾為了讓大家理解這個觀點，還創造出物理學第一神獸芝諾的烏龜。
他讓古希臘神話中善跑的英雄阿喀琉斯和烏龜一起賽跑。 在他和烏龜的競賽中，他的速度為烏龜十倍，烏龜在前面100米跑，他在後面追，但他永遠追上烏龜。因為在競賽中，追者首先必須到達被追者的出發點，所以當阿喀琉斯追到100米時，烏龜已經又向前爬了10米，於是，一個新的起點產生了；阿喀琉斯必須繼續追，而當他追到烏龜爬的這10米時，烏龜又已經向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那個1米。就這樣，烏龜會製造出無窮個起點，它總能在起點與自己之間製造出一個距離，不管這個距離有多小，但只要烏龜不停地奮力向前爬，阿喀琉斯就永遠也追不上烏龜！也就是說，阿克琉斯永遠也追不上烏龜！這隻龜就不一般啊，因為它的的出現困擾了數學家一千多年。
就當大家為這隻烏龜想禿了頭時，微積分出現了！大家彷彿看到了希望的曙光。
因為微積分的極限思想和芝諾悖論有著同樣的本質，意味著只要解決微積分裡的極限問題，也就順帶著可以解決了這隻烏龜。
微積分裡的愛恨情仇
說到微積分，不得不說提到牛頓和萊布尼茨這兩大巨頭，畢竟他們倆為了爭奪“微積分”的版權互掐了半輩子，以至於兩個人的個人問題都沒解決（都單身）。
1665年夏天，因為英國爆發鼠疫，學校關閉，本來要去劍橋大學任教的牛頓只好去母親的農場裡呆了一年。
牛頓畢竟是牛頓，在農場幫老媽管理的日子他還順便搞起了研究。
三大運動定律、萬有引力定律和光學的研究也都是開始於這個時期。在研究這些問題過程中，他發現了他稱為“流數術”的微積分。
在1666年，他雖然寫幾篇關於流數術的文章，但他並沒有公開發表，只是在一些英國科學家中流傳。
同樣的，來自德國的萊布尼茨在1675年也發現了微積分，但是發現歸發現，跟牛頓一樣，低調的他，也沒有具體的發表這方面的文章。
直到1684年，萊布尼茨才正式發表他對微分的發現。
兩年後，他又發表了有關積分的研究，在瑞士人伯努利兄弟的大力推動下，然後很快傳遍了歐洲。到1696年時，已有微積分的教科書出版。
起初沒有人來爭奪微積分的版權。但是1699年，一名移居英國的瑞士人為了討好英國人，指責萊布尼茨的微積分是剽竊自牛頓的流數術，但此人並無威望，遭到萊布尼茨的駁斥後，這件事也不了了之。
據傳那個瑞士人與萊布尼茨也有點私人恩怨，可能也是想搞搞萊布尼茨。
微積分教科書的出版後，牛頓坐不住了，畢竟自己早就發現了這個成果，只是低調沒有發表，想不到被你這個萊布尼茨搶了先。
於是在1704年，牛頓在其光學著作的附錄中，首次完整地發表了其流數術。
但是當年出現了一篇匿名評論，反過來指責牛頓的流數術是剽竊自萊布尼茨的微積分。
於是究竟是誰首先發現了微積分，就成了一個需要解決的問題了。
1711年，英國王家學會會員約翰·凱爾在致王家學會書記的信中，指責萊布尼茨剽竊了牛頓的成果，只不過用不同的符號表示法改頭換面。
身為王家學會會員的萊布尼茨也不是吃素的，要求王家學會禁止凱爾的誹謗。
可是又有什麼用呢，要知道，此時牛頓可是王家學會的會長。
而且牛頓還裝得一手好路人。雖然在公開的場合，他假裝與這個事件無關，但是這篇調查報告其實是牛頓本人起草的。他還匿名寫了一篇攻擊萊布尼茨的長篇文章。
於是王家學會調查此事後，認定牛頓首先發現了微積分，並譴責萊布尼茨有意隱瞞他知道牛頓的研究工作。所以牛頓勝出！
但後人通過研究萊布尼茨的手稿發現，萊布尼茨和牛頓是從不同的思路創建微積分的：
牛頓是為解決運動問題，先有導數概念，後有積分概念；萊布尼茨則反過來，受其哲學思想的影響，先有積分概念，後有導數概念。
牛頓僅僅是把微積分當做物理研究的數學工具，而萊布尼茨則從幾何問題出發，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則，所以其數學的嚴密性與系統性是牛頓所不及的。
所以現在一般也把牛頓和萊布尼茨共同列為微積分的創建者。
第二次數學危機的前世今生
微積分的版權問題雖然解決了，但是又有一個新的問題出現了。
微積分裡面，
有一個量叫做“無窮小”，那這個無窮小會不會是零？在當時起了極大的爭論，有個叫貝克萊的小夥子就坐不住了。
在1734年，他寫了一本書。在書裡，貝克萊對牛頓的理論來了個致命一擊，指出在求x的平方的導數時，會出現以下矛盾。
他認為這在無窮小量在實際應用中，它必須既是0，又不是0，
關於這個貝克萊，那他就不是“一般人”，他有一句名言：“存在就是被感知”。
據說有一次，貝克萊突發奇想，他想知道上吊是什麼感覺，行動派的他說幹就幹！
如果不是有朋友及時趕到，他早就死翹翹了。
被這麼個“猛子”盯上，牛頓慌了，心想當初還不如版權給萊布尼茨還沒這麼多事呢。
雖然在力學和幾何學的應用證明了這些公式是正確的，但它的數學推導過程卻在邏輯上自相矛盾。
本來就有點發虛的牛頓被貝克萊咄咄逼人的氣勢嚇的，一會兒說無窮小是零，一會又說不是零。
因此，貝克萊嘲笑無窮小量是：“已死掉的幽靈”。
於是繼龜龜問題後，有關無窮小是不是0的問題又成了第二個讓數學家們頭痛的問題。第二次數學危機正式爆發。
好在到了19世紀，以柯西與康托爾為代表的，一大批頂尖數學家經歷了半個多世紀，終於建立起了嚴謹的極限理論和實數理論。
柯西認為把無窮小量作為確定的量，即使是零，都說不過去，它會與極限的定義發生矛盾。
無窮小量應該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質上它是變量，而且是以零為極限的量， 至此柯西澄清了前人的無窮小的概念，而且把無窮小量從形而上學的束縛中解放出來，第二次數學危機基本解決。
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