對於我們這個系列來說， 在 Selberg 的工作中最重要的， 顯然是他在 Riemann 猜想研究上的成就。 如前所述， 他的這一研究是在二戰期間進行的。 出於對 Ramanujan 的興趣， Selberg 對劍橋大學的 “三劍客”——即 Ramanujan、 Hardy、 Littlewood——的工作進行了深入研究。 這其中 Hardy 與 Littlewood 所證明的有關 Riemann ζ 函數非平凡零點分佈的 Hardy-Littlewood 定理引起了他的極大興趣。
Hardy-Littlewood 定理是一個非常漂亮的定理， 但它的結果卻太弱， 因為——如我們在第二十四節中所介紹的——它所能確立的位於臨界線上的零點數目相對於非平凡零點的總數來說， 其漸近比例等於零。
Selberg 想要做的是改進這一結果。
Hardy 與 Littlewood 都是英國頂尖的數學家， 雖然他們的結果距離解決 Riemann 猜想還非常遙遠， 但他們這項工作思慮周詳、 推理嚴謹， 幾乎沒有留下任何空隙能讓別人去填補。 或者換句話說， 他們在這項工作中所採用的方法已經被推到了極致。 這一點 Hardy 與 Littlewood 自己也很清楚， 在論文中他們明確表示用這一方法已經難以取得進一步的結果了。
（Littlewood。圖片來自網絡）
因此， 要想改進 Hardy 與 Littlewood 的結果， 就必須突破他們所用的方法。 我們知道 (詳見第二十三、 二十四節)， 在 Hardy 與 Littlewood 所用的方法中一個很關鍵的部分， 就是對 2ξ(z)xz-1/z(z-1) 的積分進行研究。 Hardy 最初研究的是 2ξ(z)xz-1/z(z-1) 在無窮區間 (1/2-i∞, 1/2+i∞) 上的積分， 而在 Hardy 與 Littlewood 的合作研究中， 為了得到臨界線上零點分佈的細緻結果， 這一積分範圍被細化成了臨界線上的任意有限區間 (s-ik, s+ik)， 其中 Re(s)=1/2。 從選擇積分區間的角度講， 這一推廣已經達到了極致。
那麼想要突破 Hardy 與 Littlewood 的方法， 該從哪裡下手呢？ Selberg 把目光盯在了被積函數上。 Selberg 發現， 如果我們用一個適當的函數對 Hardy 與 Littlewood 所用的被積函數 2ξ(z)xz-1/z(z-1) 進行 “調製”， 就有可能使對其積分的研究變得更為精準。 為此他把自己的注意力放在一個更普遍的積分：
上。 這個積分與 Hardy 與 Littlewood 所用的積分相比多了一個被積因子 φ(z)φ*(z)， 這個因子就是 Selberg 引進的調製函數， 也是他在方法上的突破。
那麼什麼樣的調製函數比較有利於對這個積分進行研究呢？ Selberg 認為應該選一個能夠對 ξ(z) 在零點附近的行為進行某種控制的函數。 這種函數的一個比較容易想到的選擇是 φ(z)=[ζ(z)]-1/2。 由於 ζ(z) 與 ξ(z) 具有同樣的零點， 因此用這個調製函數可以完全消去 ξ(z) 的零點。 但這個選擇有一個不利之處， 那就是它在 z=1 處具有奇異性。
為了避免這一奇異性對 φ(z) 的解析延拓造成麻煩， Selberg 對 [ζ(z)]-1/2 的展開式 [ζ(z)]-1/2 = Σnαnn-z 進行了截斷處理， 他引進了一個新的級數 φ(z)=Σnβnn-z。 這個新級數的係數 βn 在 n≤N (N 為某個很大的正整數) 時取為 [1-ln(n)/ln(N)]αn， 而在 n>N 時則取為零。 這樣引進的 φ(z) 是一個至多隻有 N+1 項的有限級數， 從而對所有的 z 都解析。 另一方面， 在 N 很大時它是對 [ζ(z)]
-1/2 的近似， 因此通過對 N 進行調節， Selberg 可以對 ξ(z) 在零點附近的行為進行某種控制。
這一調製函數果然不負厚望， 通過它的輔助， Selberg 經過複雜的計算與推理， 終於證明了一個比 Hardy-Littlewood 定理強得多的結果。 這個結果被稱為臨界線定理 (critical line theorem)：
臨界線定理： 存在常數 K>0 及 T0 >0， 使得對所有 T>T0， Riemann ζ 函數在臨界線上 0≤Im(s)≤T 的區間內的非平凡零點數目不小於 KTln(T)。
Selberg 得到這一結果是在 1942 年， 當時歐洲的戰火仍在燃燒， 奧斯陸大學仍處於與世隔絕之中。 外界的數學家們固然大都不知道他的這一重大成果， Selberg 本人也不確定自己是否又會像當年改進 Hardy 與 Ramanujan 的工作那樣重複別人已經完成過的東西。
戰爭一結束， 當他聽說鄰近的 Trondheim 理工學院 (Institute of Technology in Trondheim) 已經收到了在戰爭期間無法送達的數學雜誌時， 就專程前往， 花了一星期的時間查閱文獻。 這一次他沒有失望， 二十一年來數學界對 Riemann ζ 函數非平凡零點分佈的解析研究基本上仍停留在 Hardy-Littlewood 定理的水平上， 孤獨的 Selberg 遠遠地走到了時代的前面。
那麼 Selberg 的這一臨界線定理究竟強到什麼程度呢， 讓我們再回憶一下在 第五節 中提到過， 並在後面章節中屢次被引述過的 Riemann 那三個命題中的第一個——也是唯一一個被證明了的——命題： 在 0 將這個結果與 Selberg 的臨界線定理相比較， 顯然可以看到 (請讀者們自行證明)： 臨界線定理表明 Riemann ζ 函數位於臨界線上的零點在全部非平凡零點中所佔漸近比例的下限大於零！ 就這樣， 從 Bohr、 Landau 到 Hardy、 Littlewood， 再到 Selberg， 經過一系列艱辛的解析研究， 數學家們所確定的位於臨界線上的零點數目終於破天荒地超過了 0%， 達到了一個 “看得見” 的比例， 這在 Riemann 猜想的研究中是一個重要的里程碑。 （摘自《黎曼猜想漫談：一場攀登數學高峰的天才盛宴》，作者：盧昌海）
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