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愛好數學的小朋友也許聽到過這樣一種說法：全體自然數的和是-1/12，也就是說：
類似這種結論的式子還有好多，例如：
看起來，這似乎顯然是錯的，因為等號左邊應該是無窮大，而等號右邊是個確定的數字，兩邊不應該相等。那麼為什麼會有這樣的等式出現呢？
歐拉級數
為了理解這個等式，我們還是需要從數學家歐拉說起。歐拉曾經研究過這樣一個級數求和的問題：
這裡的ξ讀作“可塞”，是一個希臘字母，而Σ讀作“西格瑪”，也是一個希臘字母，表示求和的意思。這個級數是指：把全體自然數的s次冪取倒數，再把它們求和。
這個級數有什麼奇妙的性質呢？
我們首先來看s=1的情況：
這個級數稱為調和級數，調和級數有無窮多項，但是越往後越小。如果最後無窮多項加起來是一個有限的數，就稱為級數收斂；如果最後加起來是無窮大，就稱為級數發散。大家知道這個級數是收斂還是發散的嗎？
在中世紀的時候，人們已經證明了這個級數是發散的，方法很簡單：放縮。我們可以把1/3變小為1/4， 把1/5、1/6、1/7、1/8變小為1/8，再把1/9、…、1/16都變小為1/16，以此類推，這樣整個級數就縮小了。縮小後的級數有兩個1/4，加起來是1/2；有4個1/8，加起來是1/2，有8個1/16，加起來是1/2….這樣一來，新的級數一定會增長到無窮大，而調和級數比縮小後的級數大，調和級數自然是發散的。
我們再來看s>1的情況。例如s=2，這時級數變為
即全體自然數平方的倒數和。它的提出是在1644年，而最終在1735年由歐拉解決，當時歐拉只有28歲。為了紀念歐拉，人們把這個問題稱為巴塞爾問題，巴塞爾是瑞士第三大城市，歐拉的故鄉。
歐拉指出：這個級數的和是一個很奇怪的數字，與圓周率有關。
不僅如此，歐拉以及後來的數學家證明了：只要s>1，級數ξ(s)總是收斂的，也就是雖然項數有無窮多項，但是越往後數字越小，最後加起來是一個確定的數。
如果s<1，情況又是如何呢？有讀者可能已經感覺到了：s<1的時候級數ξ(s)會比調和級數更大，調和級數都發散，那麼s<1的時候自然更加的發散了！這是一個合乎情理的推理，但是常人不能理解的歐拉居然算出了s=-1,-2和-3時的級數和。
我們以s=-1為例。此時級數變為
為了計算這個和，歐拉首先計算了一個函數的冪級數展開式：
這個展開式的計算並不難，類似於等比數列求和的方法，我們後面會給大家介紹。從這個式子出發，歐拉把x=-1代入其中，得到
這個式子已經非常奇怪了，因為按照我們理解，等號右邊應該如果兩項兩項的看，應該一直在增大才對，怎麼會變為-1/4呢。
歐拉繼續對這個內容進行操作：他把右邊所有負的項放在一起，又進行了填補：
這樣一來，就得到了全體自然數的和：
歐拉用類似的辦法計算了全體自然數的平方和為零，全體自然數的立方和為1/120。
解析延拓
一邊是越來越大的發散級數，一邊是一個確定的數字，看似非常不合理。問題出在哪裡呢？其實，歐拉的問題在於沒有考慮收斂性的問題，也就是他將一個不在定義域範圍內的數字代入了表達式。
為了能夠理解這個問題，我們必須首先弄清楚一個概念：解析延拓。
如果有一個函數f(x), 它的定義域是A1，另外一個函數g(x)，定義域是A2，A1完全包含於A2，並且在A1的範圍內，f(x)與g(x)完全相同，那麼我們可以說g(x)是f(x)的延拓。我們用一個圖表示出來：
有一個函數f(x)，它只在x取0.5到1之間的值時候有意義，超過了這個範圍就沒有意義了。另一個函數g(x)在x屬於全體實數的時候都有意義，並且在0.5到1之間，兩個函數完全重合，那麼我們就稱g(x)是f(x)的延拓。
如果僅僅是這個條件，那麼延拓的方法有無窮多種，因為我們可以在f(x)的兩邊隨意畫出各種各樣的曲線。但是人們規定了一個更強的條件：如果延拓之前的函數處處可導，延拓之後的函數也是處處可導，那麼這種延拓稱為解析延拓。如果可導這個概念不好理解，我們大致可以理解成“非常光滑”，我們常見的函數如三角函數，指數函數，對數函數等，都滿足這個性質。雖然解析延拓的真正含義比這個複雜，但基本內涵就是這樣。人們在研究過程中發現了一個結論：如果給出了一個解析函數，那麼它的延拓方法是唯一的。
我們不妨來舉一個例子：
這是一個等比數列求和，只有在-1
再把這個數列與第一個數列做差，得到
這樣我們就得到了
我們可以令
顯然，如果單獨看g(x)，它的定義域範圍是x不等於1，比f(x)的定義域範圍大。而且在-1到1之間，兩個函數是完全重合的，這兩個函數都是解析函數，於是我們就可以說g(x)是f(x)的解析延拓。
如果我們把x=1/2代入，那麼無論代入f(x)還是代入g(x)，二者的結果都是相同的，因為1/2在兩個函數的定義域範圍裡。因此
如果我們把x=2代入，那麼f(x)就沒有意義了，g(x)還是有意義的，顯然此時二者不能相等。如果我們強硬的代入x=2並且還認為二者相等，就會得到：
這樣荒謬的結論。
我們打一個比方：很多年前人和猴子都是一樣的祖先，後來人進化了，猴子沒有進化，相當於人進行了解析延拓。人進入課堂學習數學，就可以成為一個數學家，這必然是沒有錯，那麼有人說猴子進入課堂也能成為數學家，這顯然是不對的。
歐拉當時就沒有搞清楚這個概念，所以得出了全體自然數的和等於-1/12這樣奇怪的結果。
黎曼ζ函數
歐拉在1740年研究的這個問題，在一百年以後由德國數學家黎曼解決了。
黎曼對歐拉研究的數列
進行了解析延拓。歐拉研究的這個函數只有在s是實數，並且s>1時才是收斂的，但是如果進行解析延拓，那麼它就可以在s是不等於1的全體複數的時候都有意義。實數對應數軸上的點，而複數對應複平面內的點。關於複數的含義和計算方法，請移步我的另一篇文章：最美公式——歐拉恆等式閱讀。
（傳送門：https://www.wukong.com/answer/6575143058856214787/?iid=44550281974&app=wenda）
黎曼函數有許多種形式，其中一種是：當s是一個複數且s不等於1時
由於s是一個複數，而函數的結果也是一個複數，它具有實部和虛部，所以我們要畫出這個函數圖像必須採用一種比較奇怪的方法：定義域著色。大概的意思是用不同的顏色表示一個複數的模和幅角。
這樣畫出的黎曼函數長這個樣子：
神奇的是，當s取-1時，黎曼函數的值ζ(-1)果然等於-1/12，當s取-2時，黎曼函數的值ζ(-2)果然等於0，當s取-3時，黎曼函數的值ζ(-3)果然等於1/120。也就是說，一百年前的歐拉雖然沒有搞清楚解析延拓的概念，但是卻得出了與解析延拓後完全相同的結果。只是這個結果並不能用自然數的和、平方和和立方和表示而已。歐拉果然就是歐拉。
說到這裡，大家是不是明白了？1+2+3+4+…=-1/12並不是合理的，只是左邊級數進行了解析延拓之後得到了右側，而左側級數此時已經沒有意義了。黎曼函數的意義不僅如此，它的應用非常廣泛，尤其在質數領域，黎曼函數具有非常重要的意義。著名的黎曼猜想就是關於黎曼函數的猜想。
李永樂老師
其實，驗證這個問題的答案的正確與否有一個十分簡單的辦法。就是，看他在證明過程中是否對等式的兩邊進行過乘法或者除法的運算！如果有，就看其有沒有可能用0或者∞的可能？就OK了。
我認為，在中學，就應當給孩子們講清楚，0乘以一個等式的兩邊，可以使任何本來不成立的等式變為成立。（∞概念難懂，可以先不講）讓孩子們早早就產生警惕心。
