座標系概念是由法國數學家、哲學家雷內·笛卡爾(ReneDeartes,1596—1650)正式提出的.笛卡爾提出了一種代數和幾何相結合的數學方法,在該方法中方程可代表曲線,根據方程可以在座標紙上一點一點地畫出曲線來。
例如,從直線開始,在直線某處取一點作為原點記作“0”離開原點單位距離另外選點,記作“1”.建立了這個基礎,任何的正數和負數—“座標”都可與直線上的點一一對應非常相像地,一個數字地址表示了在直街跑的馬的位置,任何一個數表示了給定直線上的某一個點,假定直線可以延伸至無窮。
在一個平坦的幾何曲面,即平面上,我們可以用歐幾里德角尺畫兩條成直角的直線,兩直線的交點作為座標系的原點,在兩條直線上各取一個單位長度就像可以用兩條直街相交處城鎮的位置,我們可以用一個有序的數對來確定無限平面上的一的位置.因此兩個數表示一個二維的點,x和y的座標可以用於在紙上確定點的位置。
為了把座標系擴展到三維空間,我們可以在平面上畫三條兩兩相成直角的直線.在此情形下,取含有3個數的有序數組作為3個座標,去確定空間點的位置.畫一個立方體,我們要給定8個點的座標。以此類推可構造高維座標系,按照邏輯順序,4個數組成的數組將表示四維空間中的點。
顯然,對於四維超立方體我們可以很快寫出它16個頂點中每一個頂點的座標,所以用代數語言為計算機提供超立方體的完全精確的描述並不困難,計算機可以操作或畫出4個座標(數和指出四維圖形中每個座標點的位置,問題的困難在於要在一個二維畫板不論它是一張紙、一塊油畫布,或是計算機屏幕上可視化地表示出來.事實上,觀察者能夠看到僅僅是二維的投影或物體的截面投影和截面是揭示幾何體不同形狀信息的兩個集合.“我們學習去觀察幾何體不同的圖形信息,在腦子某種聯結網絡裡把它們聯繫起來,形成一定的形狀”班切夫說,“依靠這樣的探索過程,你可以瞭解四維圖形.”
考察三維空間中一張椅子的投影,雖然其投影已經改變了長度,角也變了形,有些面藏在邊裡面,但它仍保持著椅子腳、椅子靠背和坐墊之間的位置關係.同樣地,純真的數學投影(運算),也是類似於上面的投影,雖然破壞了原來的形狀,但保持了圖形的連續性。
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