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1
xn-1在Z上的因式分解
注意到：
x2-1=(x-1)(x+1)
x3-1=(x-1)(x2+x+1)
x4-1=(x-1)(x+1)(x2+1)
x5-1=(x-1)(x4+x3+x2+x+1)
...
x12-1=(x-1)(x+1)(x2+1)(x2-x+1)(x2 +x+1)(x4-x2+1)
...
x36-1=(x-1)(x+1)(x2+1)(x2-x+1)(x2+x+1)(x4-x2+1)(x6-x3+1)(x6+x3+1)(x12-x6+1)
...
似乎有这种可能,对于所有的正整数n，xn-1在Z上的因式分解成不可约多项式的乘积后各项系数都为1或者-1，不难验证对n在1-20之间都是正确的。
据说有人曾经算到了x100-1，均没有发现反例，终于放心大胆地猜想：
对于所有的正整数n，xn-1在Z上因式分解后各项系数都为1或者-1！
反例:
在 n = 105 时，x105-1的分解式为
出现了两个-2
注:
在数学中，n次分圆多项式是指唯一的n次整系数不可约多项式Φn(x)，使得其为xn-1的因子，不为xk-1的因子，k为任意比n小的正整数。可以证明：
然后对xn-1有因式分解：
也就是最后因式分解得到的因子均为分圆多项式。
为什么会出现n=105的反例呢？
来看一些分圆多项式
他们的系数都是-1，1，这种情况一直持续到n=104。
而n=105时：
所以我们分解x105-1时,因子中的Φ105(x)导致了反例。
关于怎么计算n次分圆多项式的中xk系数,目前还没有一目了然的公式，但是有定理：
若n的质因数分解中奇素数个数不超过2,那么
Φn(x)的系数只能为1或-1(或0),从而
xn-1在Z上因式分解后各项系数都为1或者-1(或0),猜想成立
举个例子，由于2016只有素因子2，3，7，x2016-1在上因式分解后各项系数都为1或者-1。可以验证小于105的所有数定理条件均满足。但是对于105=3×5×7，不好意思，定理条件失效了。（105有三个奇素数因子，我们在n=105有了反例）
2
Pólya conjecture
这是一个常用的经典超大数产生的反例。
考虑对自然数列的质因数分解
2 = 2
3 = 3
4 = 2 × 2
5 = 5
6 = 2 × 3
7 = 7
8 = 2 × 2 × 2
9 = 3 × 3
10 = 2 × 5
11=11
12=2 x 2 x 3
13=13
14=2x7
15=3x5
16=2x2x2x2
17=17
……
在写出的数种可以看到，4、6、9、10、14、16 这6个数
包含偶数个质因子，其余11个数都含奇数个质因子。(不区分相同的质因子)可以感觉到包含偶数个质因子的数要明显小一些。也就是对每一个给定不小于2的正整数2,3,……,n这n-1个数中含偶数个质因数的数的个数小于一半。
严格来说，n有质因数分解
，令
，f(n)取0或1
Pólya猜想:
对每一个给定不小于2的正整数2,3,……,n这n-1个数中含偶数个质因数的数的个数小于一半
即
这个猜想对1亿之内的数都成立！
反例：
不幸的是……
来自Matrix67博客的一段话（加了补充）：
Pólya 猜想看上去非常合理——每个有偶数个质因子的数，必然都已经提前经历过了“有奇数个质因子”这一步。不过，这个猜想却一直未能得到一个严格的数学证明。
到了 1958 年，英国数学家 C. B. Haselgrove 发现， Pólya 猜想竟然是错误的。他证明了 Pólya 猜想存在反例，从而推翻了这个猜想。
不过，Haselgrove 仅仅是证明了反例的存在性，并没有算出这个反例的具体值。
Haselgrove 估计，这个反例至少也是一个 361 位数（1.848×10361）。
1960 年，R. Sherman Lehman 给出了一个确凿的反例：n = 906 180 359。而 Pólya 猜想的最小反例则是到了 1980 年才发现的：n = 906 150 257。
注：
这个反例充分说明，不能随便假定某个猜想是正确的，哪怕它对于很小的数再怎么正确。
3
数列递推公式
数列 a(1) = 8，a(2) = 55，并且 a(n) 定义为最小的使得
的正整数
来求一求a(n)：
8, 55, 379, 2612, 18002, 124071, 855106, 5893451, 40618081, 279942687, 1929384798, 13297456486, 91647010581, 631637678776, 4353291555505, 30003193292641, 206784130187015, 1425170850320396, 9822378297435246,……
定义数列
bn=6kn-1+7bn-2-5bn-3-6bn-4
b1=8, b2=55, b3=379, b4=2612
猜想：
对n为正整数，a(n)=b(n)，这个对n<1000可以验证均成立
反例：
当你在OEIS上搜索8, 55, 379, 2612, 18002, 124071, 855106, 5893451, 40618081时，
会蹦出两个结果：
在n不超过11056时，a(n)=b(n)
但n=11057时，a(n)!=b(n)
注：
本来想给出两个数列的值,但是发现太大了…
不过可以证明
只要注意到a(n)定义中的最小性即可，另外b(n)的递推公式可由特征方程给出。
之所以会出现不等是因为k太大时，a(k)太大，造成了
中分母过大。
4
Perrin素数
尝试寻找到一个简单而高效的素数生成公式一直是人们的理想之一，而素数之类的公式如果要能用简单的数列定义该多好啊。
来看Perrin发现的一个数列
an=an-2+an-3， n>2
a0=3, a1=0, a2=2
我们来借助OEIS看一下它的值
好像对于素数p，均有a(p)是p的倍数，这件事已经被成功证明了。
反过来,是否有n能整除 Perrin 数列的第 n 项 a(n)，n必须是一个素数。
由上图知道对于不超过30的n其都是成立的
猜想：
a(n) 是n的倍数，当且仅当 n 是一个素数。
事实上，对于n<100000，猜想均成立。
1899 年 Perrin 本人曾经做过试验，随后 Malo 在 1900 年， Escot 在 1901 年，以及 Jarden 在 1966 年都做过搜索，均未发现任何反例。（我觉得大多是因为计算机技术当时不发达…）
反例：
直到 1982 年， Adams 和 Shanks 才发现第一个反例 n = 271 441 ，它等于 521 × 521 ，却也能整除 f(271 441) 。
事实上，我们有一堆不是素数的n使得a(n) 是n的倍数，如
求导不难知其有一个实根ρ,两个共轭复根α、β，可以用二分法来查找零点，估计出1
韦达定理给出
α+β+ρ=1
αβ+αρ+βρ=0
αβρ=1
结合关于ρ的估计我们知道共轭复根α，β模均小于1。
设
A,B,C待定代入n=0,1,2，结合韦达定理有
当n充分大时,由于α，β模均小于1
这个公式可以让我们估算大的an。事实上，由三次方程求根公式有
ρ≈1.324718
这是一个著名的常数，称为Plastic number
于是a2015大概为
再注：
难道我们就没有数列能生成素数么？
不不不，考虑an=an-1+gcd(n, an-1), a1 =7, gcd表示最大公约数。
定义dn=an+1-an
那么dn每一项均为素数。
5
Perrin素数
Fermat 大定理：
当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
1995年已被怀尔斯证明成立，在这之前有无数关于费马大定理的推广猜想：
如Euler 曾经猜想：
对于k为不小于2的正整数，当 n > k 时，方程
都没有正整数解。
k=2，即为费马大定理，命题成立
对k=3，也搜索过没有某个Xi <10000的正整数解
看起来命题可能成立，好像我们只需要找到更有力的数学工具像费马大定理一样去证明它就可以了。
反例：
1.当k=3时，就有反例
如n=4>3时
方程
就有一个正整数解。
如
1986 年由Noam Elkies 给出。（并且他非常厉害的给出了构造无限个这个方程的正整数解的方法）
2.另外最早的且最易接受的反例来自
k=4，n=5时
方程 
就有一个正整数解。
如
1966年由Lander 与 Parkin通过计算机(型号为CDC 6600，如下图)给出：
（不得不说他们运气也很不错，能够发现一组较小的反例解，如果反例太大当时的计算机肯定无法完成循环搜索）
注：
这些反例难道是别人随意就想出来的麽？
数学上，寻找反例并不是仅仅的碰运气，很多时候需要结合很多技巧，考虑如果反例出现，研究其需要满足的必要条件，再去寻找到反例。
对于这个问题，擅长计算的Euler本身自己也做了研究
他发现了恒等式
但是这个不符合方程结构，给不出反例；
他也发现了
可惜这个是n=3，k=3的情况。
我们始终明白这么一个事实，人的计算能力是有限的，所以Euler虽然能够心算到千位数加减乘除，但是这个反例还是太大了，超过了手工计算的极限。
举个例子，关于方程，如果一个个尝试x,y,z,w，就算每一组数据平均只需要的10秒计算，要测试x,y,z,w上界到达100万的情况，就至少需要10亿亿秒,也就是年!
如果1986年的计算机想要跑数据，也并不能够做这么大的四次循
环。
那么Noam Elkies 是怎么给出构造无穷多个反例的方法呢？
用到了代数曲线上的有理点，模函数等知识，做了一些分类讨论，化归成了简单一些的情况
所以这个反例说明了即使寻找反例也要借助较好的数学知识来分析,而不是瞎猜一通。
再注：
还有一些类似的美妙的恒等式可以用来给出某些类似的方程的解（来自wiki）：
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