花瓣兒魚
第一次數學危機指古希臘數學家畢達哥拉斯的學生希帕索斯，在質疑根號二是否是有理數時引發的危機，直到定義出無理數，第一次數學危機得以解決。
公元前400年左右，以畢達哥拉斯為代表的畢達哥拉斯學派獲得了豐碩的數學成果。例如他們提出了畢達哥拉斯定理（中國稱勾股定理）。這個定理告訴我們：一個直角三角形兩個直角邊的平方和等於斜邊的平方。
同時，畢達哥拉斯學派認為萬物皆數，而且都是有理數。所謂有理數，就是指可以表示成兩個互質的整數的比（分數）的形式的數。有理數可以分成三類：
1. 整數。例如3（可以表示成3/1）
2. 有限小數。例如2.5（可以表示成5/2）
3. 無限循環小數。例如0.333...(可以表示成1/3）0.806806806...（可以表示成806/999）
畢達哥拉斯學派認為：數軸上的點與有理數一一對應，任意一個線段長度都可以表示成兩個整數的比。
在畢達哥拉斯學派為自己的成就沾沾自喜時，學派內部一個年輕學者希帕索斯提出了一點疑問。請問如果一個直角三角形兩個直角邊都是1，那麼斜邊的長度如何表示成兩個整數的比呢？
顯而易見，這個長度是根號2。現在我們知道，根號二不是有理數，因此不能表示成兩個互質的整數的比。但是這樣就動搖了畢達哥拉斯學派信仰的基礎：萬物皆是整數（或整數的比）。
這個問題因為無法得到合理的解答，最終可憐的希帕索斯被畢達哥拉斯扔進了愛琴海里。希帕索斯也成為歷史上為探究真理而獻身的人。
現在我們知道，數軸上的點與實數一一對應，而實數包含有理數與無理數兩類。所謂無理數，就是無限不循環小數，無法表示成整數的比。例如圓周率pi=3.1415926...、自然對數的底e=2.71828...、根號二等，都是無理數。
李永樂老師
瞭解危機之前我們先了解一下當時的背景：興旺於公元前500年左右於古希臘在畢達哥拉
畢達哥拉斯
斯學派，他們認為＂萬物皆數（整數）＂數學的知識是可靠的、準確的，而且可以應用於現實的世界，數學的知識由於純粹的思維而獲得，不需要觀察、直覺和日常經驗。一切數均可表成整數或整數之比”則是這一學派的數學信仰．
危機的產生
然而有一天，本學派的希帕索斯發現：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？
無理數的發現
他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用一個新數來表示。希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數√２的誕生。小小√２的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發現不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊，對於當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的衝擊。這一結論的悖論性表現在它與常識的衝突上：任何量，在任何精確度的範圍內都可以表示成有理數。這不但在希臘當時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術已經高度發展時，這個斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的√２的存在而推翻了！這應該是多麼違反常識，多麼荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當時直接導致了人們認識上的危機，從而導致了西方數學史上一場大的風波，史稱“第一次數學危機”。
學派叛徒
希帕索斯正是因為這一數學發現，而被畢達哥拉斯學派的人投進了大海，處以“淹死”的懲罰．
危機的解決
約在公元前370年，柏拉圖的學生攸多克薩斯解決了關於無理數的問題。他純粹用公理化方法創立了新的比例理論，微妙地處理了可公度和不可公度。他處理不可公度的辦法，被歐幾里得《幾何原本》第二卷（比例論）收錄。並且和狄德金於1872年繪出的無理數的現代解釋基本一致。21世紀後的中國中學幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微炒之處。
深遠影響
第一次數學危機表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示。反之，數卻可以由幾何量表示出來。整數的尊崇地位受到挑戰，古希臘的數學觀點受到極大的衝擊。於是，幾何學開始在希臘數學中佔有特殊地位。同時也反映出，直覺和經驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始從“自明的”公理出發，經過演繹推理，並由此建立幾何學體系。這是數學思想上的一次革命，是第一次數學危機的自然產物。
回顧在此以前的各種數學，無非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希臘，數學也是從實際出發，應用到實際問題中去的。例如，泰勒斯預測日食、利用影子計算金字塔高度、測量船隻離岸距離等等，都是屬於計算技術範圍的。至於埃及、巴比倫、中國、印度等國的數學，並沒有經歷過這樣的危機和革命，也就繼續走著以算為主，以用為主的道路。而由於第一次數學危機的發生和解決，希臘數學則走上完全不同的發展道路，形成了歐幾里得《原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系，為世界數學作出了另一種傑出的貢獻。據史籍記載,古代的希臘和中國,很早就發現了無理數。然而東西方卻通過不同的途徑來認識和發展無理數的理論:希臘人著眼於幾何量的長度關係,從線段不可公度的幾何角度入手,用邏輯方法進行探討;中國人著重滿足實際應用的數的運算,從開方不盡的計算過程入手,通過計算方式來認識並建立其法則。
每一次危機都是進步，數學如此，人類如此！
學霸數學
現在人們都知道，像是根號二、圓周率、自然對數的底e這樣的數，是不能用整數及其比值來表示的，這些數被稱為無理數。現在這些都是常識。然而人們認識無理數的過程，並不是一帆風順的，這就是本文中所講的第一次數學危機。提到第一次數學危機，就不能離開畢達哥拉斯學派。
古希臘的畢達哥拉斯學派，他們崇尚一個信條，數是萬物。注重用數的關係和比例來表示宇宙萬物的秩序與規律，這是該學派的一個哲學思想，因為那時數學家往往也是哲學家。
畢達哥拉斯學派有個重大發現，那就是畢達哥拉斯定理，也就是勾股定理。該學派的一名學生叫做希伯索斯發現了一個秘密，那就是在一個直角三角形中，兩個斜邊的長度均為1，斜邊是無法用整數的比值來表示的。
說起來也挺矛盾的。現在任何一個初中生都知道，根號二是無理數。但在當時，畢達哥拉斯學派既發現了勾股定理，但又不承認無理數。承認也好不承認也好，畢達哥拉斯學派的比例理論變得不那麼完備了。
為了解決第一次數學危機，古希臘的數學家歐多克斯創造了新的比例論。在歐幾里得的幾何原本中，就有比例及相似形的章相關章節。這些內容相當於現在初中教材中的比例線段以及相似形的內容，但他的比例論並沒有徹底解決第一次數學危機。
1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的 數學史上的第一次大危機。
第一次數學危機，使人們認識到了無理數，有理數和無理數統稱實數，換句話說就是所有實數構成了數軸，實數具有連續性。人類歷史上產生了三次數學危機，每次數學危機的產生都極大的促進了數學的發展。由於本人水平有限，只能簡單的講到這些，歡迎大家批評指正。
