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無窮的直覺
人們無法設想整數列的盡頭，只好試圖宣稱“數列是無窮的”。 數列似乎是無窮的，但這是一種潛無窮。我們能描述得更精確一些嗎？能否說出所有整數的數量，並計算它們？聖奧古斯丁認為，上帝且只有上帝才能做到：“神的智慧能夠處理所有的無窮，不用心算就可以清點無數的生命。”繼他之後經過了漫長的時期，人們“實現”了 這種潛無窮：19 世紀，康托爾關於集合的理論和著作終於給無窮下了一個定義，或者說，定義了什麼是“基數無窮”。
這時出現了另一個類似問題，與之前的問題略有不同。對於無論哪個數字，似乎總可以給出一個更大的整數，但人們想找到一個“比所有整數都大的數”。如果這個說法是有意義的，這個數只能是一個無窮數。這樣一種無窮可以稱為“序數無窮”，與上文提到的 “基數無窮”相對。
漫長的歷史將數學家們引向了“序數無窮大”與“基數無窮大”，但數學中的無窮還有其他表現形式。我們將在第 3 章講述無窮小和連續性的問題。在此之前，大家應當先認識到，一些有窮數字的運算需要藉助無窮的概念，比如“無理數”問題，也就是不能表示成兩個整數之比的數。
無理數
在公元前 6 世紀，受到畢達哥拉斯的影響，古希臘數學家們都認為，所有物理或幾何的量都是一個整數或是整數的比值，稱為“有理數”。很快，他們意識到自己需要用到一些不同於有理數的數。 比如，我們可以用一個數與其自身相乘，得到它的平方；相反的運算可以得到平方根。但是，沒有任何一個有理數是 2 的平方根；然而，邊長為 1 的正方形的對角線正是這個值，記作 √2。同樣，為了用柵欄圈起一塊 2 平方千米大的正方形場地，你要準確計算場地的周長，計算結果是 4√2 千米，這也是個無理數。一個直角邊為 1 米和 2 米的直角三角形的斜邊長為√5 米，這也是個無理數。( √5-1)/2 的值被用來定義最美的人體比例。傳統上，這是分割一段長度的最完美的比例，其定義方法是：較長部分與全長的比值等於較短部分與較長部分的比值——同樣是個無理數。事實上，所有無理數與某一有理數進行加減乘除運算後得到的仍是無理數。
無理數的發現導致了數學史上第一次危機。其實，在實際應用中，無理數和整數、有理數一樣必不可少。然而，無理數的定義、書寫表達與無窮的概念有關：沒有一個無理數能用有限的小數書寫。
要寫出一個無理數，需要將它的所有小數羅列出來。然而，這個數列的一個鮮明特點就是無窮性：如果數列是有窮的或是無限循環的， 就證明這個無理數可以被寫成兩個整數的比，那麼這就應當是一個有理數。無窮性的特點只體現在小數的書寫中，但是它說明了一個事實：這些數字的確是一個無窮過程的結果。假設我們想確認兩個無理數是否相等， 那就必須將兩個無理數的小數一位一位地比較——這將是一個無止境的工作。對無理數的所有運算得到的結果都是無理數。無理數既是有窮的也是無窮的，這取決於我們的思考角度：從長度角度來說，線段是有窮的；但從構成線段的點的數量角度來說，線段又是無窮的。
儘管無理數的定義涉及無窮，今天，我們對 √2 這樣的數字仍可以隨心所欲地進行運算。我們將這類數字定義為一列無窮的有理數極限，或者，如果我們願意的話，還能將其定義為一個擁有無窮小數的數。構造無理數的無窮性徹底被掩蓋，而對我們來說，這些數完全是有限的。
一些小數……
最簡單的數字是正整數，如 1、2、3……用 N 來表示正整數集合。對正整數進行減法（與加法相對）運算可以得到負整數 -1、-2、-3……同樣，除法（與乘法相對）運算可以得到分數或者有理數，用集合 Q 表示。所有有理數（也就是分數）可以寫成小數的形式。但是，這些小數要麼是有限的，比如 5/4 = 1.25， 要麼是無限循環的，比如 1/9 = 0.111111…是否可以設想一個無限但不循環的小數呢？答案是肯定的。它可以表示成分數嗎？答案是否定的。這就是無理數。
超越數
在無理數中，還有一些數具有更復雜的特點——“超越數”，它們不能滿足任一個
的整係數代數方程。
π 就是這樣的數，它表示了圓的周長與直徑之比；此外還有自然對數的底數 e = 2.71828…
萊布尼茨將微積分應用到解答物理學難題中，找到了超越曲線的解，也就是非代數方程的解。這些曲線就像超越數一樣是無窮的， 萊布尼茨說：“超越量的來源就是無窮。”從對超越曲線和無窮的研究來看，這些曲線作為某些物理計算的解，恰恰印證了一句話：“無窮在自然界中無處不在。”的確，數學中到處都有無窮的影子。否認無窮就得否認 π 和其他無理數：在圓中，在最短的一條線段中，在每個無理數中，都有無窮存在。
序列、級數與集合
序列主要存在於數學與物理學領域，也涉及無窮。以一個元素為基礎定義下一個元素的過程，得出了一個序列。如果說，序列最基本的原型是整數數列，我們也可以有偶數數列、質數數列、立方體序列等。這個推導過程是沒有終止的，所以序列是無窮的。序列的無窮特性帶來的侷限之一是，我們不能解決其中所有元素的所有問題。
我們能否將一個無窮序列視為一個完整的對象？至少某些確實可以。比如，我們已經看到每一個無理數都可以定義為某種有理數序列，稱為“柯西序列”[1]。我們能像運算其他數一樣運算無理數，這表示我們至少能運算某些無窮序列。[1] 我們也可以將一個無理數看作其小數的一個無窮序列。
一旦開始討論序列，序列極限的問題就來了：序列如果存在極限，它便是一個數；我們在序列中越來越靠近這個極限。事實上， 數學家定義了許多種“靠近”，而這又催生了一樣多的集合與極限概念。如果存在這樣一個極限，那麼序列會收斂並趨向於這一極限。上文提到過的無理數可以被定義為某些有理數序列的極限。
數學家和物理學家總想計算一個序列中所有項的無限總和， 於是會用到級數。項的數量是無限的，但計算結果可以是有限的； 這樣一來，級數就是“收斂的”，它給出了有限和無限的集合。要確定級數是收斂的並不容易；如果它是收斂的，計算它的值也很難。一個典型的例子是如下級數：S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2^n，很難看出它是否是收斂的。然而，有一種“妙計”可以讓我們計算它 的 值 ： 構 建 表 達 式 S - 1/2 = 1/4 + 1/8 + … = 1/2（1/2 + 1/4 + …）= S/2；由於等式 S - 1/2 = S/2 成立，其值為解，即 S = 1。這並不表明這一級數是收斂的，但當我們證明了其收斂性後，便可以計算它的值。
所謂的調和級數，即 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …是發散的。萊昂納多·歐拉給每一項乘 s 次冪後，給出了一個更廣義的相似級數，稱之為 ζ 函數（源於希臘字母 zeta）。這就有了
原始級數符合 s = 1，換句話說，第 n 項的值為 1/n^s。如果s ≤ 1，這個級數是發散的；如果 s ＞ 1，它就是收斂的。歐拉發現， 級數的第一個意義是它與素數緊密相連。但數學家黎曼進一步思考， 當 s 變成一個複數（不再是實數）時會發生什麼，於是就有了黎曼 ζ 函數，根據不同的 s 值，級數或收斂或發散。重要的是，一種名為“解析延拓”的數學方法可以賦予級數一個值，即便它是發散的。
“黎曼假說”中的這些值被視為數學史上最重要的難題之一。
級數 1 + 1 + 1 + 1 + …自然是發散的，對應黎曼 ζ 函數值 s = 0； 解析延拓此時為 -1/2。同樣，1 + 2 + 3 + 4 + …明顯也是發散的，對應黎曼 ζ 函數值 s = -1，也就是 -1/12。這樣一來，解析延拓以一種驚人的方式賦予了發散級數一個有限值。這並不是把發散級數與有限值相聯繫的唯一方法，而歐拉（1707—1783）是最早考慮這種可能性的數學家之一。（未完待續）
作者 | [法]讓-皮埃爾·盧米涅 馬克·拉雪茨-雷
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