寒蟾
這個問題沒有那麼好回答。
先假定題主所說的“平面幾何”就是指歐幾里得幾何。歐氏幾何的公理體系是歐幾里得在2200多年前建立的，裡面的確沒有用尺度量的內容。該公里體系最終在1900年前後由希爾伯特完善，出版在其名著“幾何基礎”裡，是希爾伯提出的數學特形式化的重要成果。
需要指出，儘管希爾伯特完成了整個歐氏幾何的形式化，也就是說可以講任意一個幾何問題表述成純邏輯表達式。但，實際上這並不代表所有這些邏輯表達式都是“可證”的。
哥德爾在其舉世震驚的哥德爾定理裡無可辯駁的證明了任何一個“足夠強的”公里體系都不可兼有嚴謹性和完備性，或者說總會存在某些命題，你既不可證明是對的，也不可證明是錯的。
不過歐氏幾何倒不受該定理的約束，因為其實歐氏幾何的公里體系“很弱”，並不包括該定理所必須的“自然數公理”（想一下，平面幾何並不包含也不依賴自然數的存在）
當然不受哥德爾定理約束也還不能直接得出所有命題必可判定的結論，在我的印象裡，這應該是個尚未回答的問題。
平面幾何的另一個形式是建立在笛卡爾座標系下的解析幾何，或者說是代數化的幾何。解析幾何包含歐氏幾何的所有問題，但反過來說不成立，解析幾何的很多問題在純幾何公里體系裡是無法表達的，比如隨便給一條積分曲線之類就沒法用歐氏幾何五大公設去表達了。
解析幾何是代數，依賴自然數的定義，所以受到哥德爾定理的約束，顯然是存在不可判定的命題的。
題主所說的“尺量”，前面說過不是一個歐氏幾何的概念，但在解析幾何裡是可以通過微積分來定義的，當然，這都會受到哥德爾定理的約束。
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