钳工雕历史
第一，这项羽是主帅，范增就算是亚父，但也只是谋士，既然项羽都不想杀刘邦了，范曾又何必再去追击？毕竟范增只是高级打工仔，要杀谁并没有最终决策权。在项羽已经明确阻挠这个行动的情况下，范增如果再杀刘邦，那就是自讨没趣了。
第二，咱们从事后诸葛亮的角度来说，觉得刘邦最终吞并了项羽，但实际上，就当时的情况来说，谁能想到刘邦后面会变得那么强大呢？其他人根本没想到布衣出身的刘邦会对项羽有威胁，范增就算眼光比其他人更长远，但可能也就想到刘邦会有点威胁，而没想到威胁大到这个程度。
第三，退一万步来说，就算鸿门宴没杀刘邦，范增也有后招。毕竟参加鸿门宴的不止刘邦项羽这哥俩，而是各路诸侯都在场。杀刘邦，万一各路诸侯为了自保而联合起来对抗项羽，怎么办？范增肯定也明白这一点，所以他还有后招，那就是在分封诸侯的时候，把刘邦封地放在到汉中，在设立“三秦王”封堵刘邦出关的路线，对于项羽和范增来说，这已经是当时的最优解了，没必要去追杀刘邦。
至于后来刘邦和韩信来了个明修栈道，暗度陈仓，这种事在当时没有人会想到。范增和项羽同样也没想到这一招，但这都是后话，至少在鸿门宴结束的时候，范增和项羽都觉得没必要真的杀刘邦了。
你觉得项羽和范增在鸿门宴该不该暗杀刘邦呢？欢迎一起讨论。
绿茵守望者
我是雨夜构想我来回答这个问题。
不论什么原因使项羽在鸿门宴上放走对手，都令他最终落败，或许正因为如此，项羽的悲剧才更令人扼腕叹息。
鸿门宴上，刘邦如何能从封锁严密的敌营中脱身，项羽为何没在鸿门宴上杀死刘邦，这些都成了千古谜团。
秦朝末期，反秦起义如火如荼，起义军声势也越来越大，项羽和刘邦所率领的起义军，是其中最有实力的两支队伍，公元前207年，项羽一路与秦主力部队苦战，大破秦军，乘胜向咸阳进发。而这时，刘邦已经趁机抢先占领秦都咸阳，项羽听后，勃然大怒，帅40万大军，屯兵洪鸿门，准备消灭刘邦，刘邦得到消息后，立刻赴鸿门向项羽致歉，项羽原谅的刘邦，并设宴招待，之后，刘邦解如厕之际逃回本营。
但是令人不解的是，在这样戒备森严的鸿门宴中，刘邦如何能够脱身。试想在鸿门宴上，刘邦的一举一动，无不在范增等人的严密监视之下，他如何能够逃脱。于是有人认为刘邦的脱身是向羽故意放走的，但项羽为何放走刘邦而不杀掉他以绝后患的。各种缘由看法不一，前人大多认为这是因为项羽不听忠言狂妄自大的表现，因而他的失败也是自取灭亡｡但近年来，有不少人通过研究当时的背景，重新探讨这个问题，认为项羽是因为念旧情而没杀刘邦，项羽为人血气方刚，有他残暴的一面也有慷慨磊落的一面，范增也曾对项羽做出，“君王为人不忍”的评价。除了上述观点还有人认为鸿门宴上放走刘邦，是出于对当时情势的考虑，在当时就大局而言项羽的实力远高于刘邦，杀掉刘邦并无实质的意义，而放走刘邦既降服刘邦又维护自己反秦盟主的身份和地位，何乐而不为呢！
至于刘邦送给范增的玉，现在看来，对事情已经无关紧要了，范增做不了项羽的主，只能是为项羽出谋划策，最后做决定的只有项羽本人，如果项羽不想杀刘邦，那谁也阻止不了。更何况范增只是谋士，没有项羽的命令，他是不可能调动军队的。再说文中提到，刘邦马快，刘邦骑快马逃走，根本就没有追击的机会。
雨夜构想
范增虽是项羽的亚父，但实际只是项羽的谋士。
鸿门宴也是他和项羽精心设下的一个圈套。
范增原以为：刘邦不来，则可名正言顺地率领大军将其剿灭；刘邦若来，则可在宴席上将其斩首。
可是项羽自恃军力强盛，而又以义字当先，（未进咸阳前，曾和刘约定，谁先进咸阳，谁就为王。）自知理亏，同时刘邦当时又俯首称臣，所以就错误地认为，小小的泥鳅，也翻不起大浪，于是，就放过了刘邦。
：此时，范增若强行派兵截杀，将会以下犯上，有违主仆名分，故范只能以摔玉而泄其愤。等项羽醒悟，准备再追时，刘邦巳远去矣。
从此也就有了楚河、汉界，亥下之战，以及强楚的全军覆没。
最终，刘邦建立了大汉王朝。
宜将剩勇追穷寇，不可沽名学霸王。
毛主席的著名诗句，就是告诫后人的至理名言。