递进式几何综合题已成为一些省市中考品牌试题，大多连续多年年都列在压轴题的位置的出现。试题以层层递进的方式呈现，求解时往往大致经历模型建立，模型研究，模型应用三个阶段。递进式几何题具有如下特点：小切口、深分析，问题从特殊到一般，由表及里，由浅入深。问题之间，承前启后，解法互联。
解题策略综述
在战争中，将帅经常通过排兵布阵来迷惑对手，以最小的代价换取最大的杀伤力。但作为对手方，如何找到此阵法的弱点即突破口，应该是最重要的事情了。
几何综合题的图形一般都比较复杂，识图意识和能力是求解问题中的一个重要环节。在边读题边看图的过程中观察其是否蕴含着熟悉的基本图形，这此基本图形往往就是解决问题的突破口，借助基本图形的处理解决问题。
并列式设问与递进式求解,传递以退为进的解答策略，往往注重类比构造，尤其注重构造全等三角形、相似三角形与辅助圆等模型工具。
对于中考较难试题的思路获得,需要引导学生学会"以退为进"策略,也就是说,面对难题,没有思路或解题念头时,"要善于退,退到简单处、好懂处,再迎上去"。
这类题往往第（3）问似乎难以找到下手的方向,但当我们退回到前两问想清一些中点线段之间的等量关系之后,就可以找到转化念头了这些解答策略在解后反思时都要注意反复体会﹑感悟，以便能感受命题人员的良苦用心。在此老师举几例，希望同学们细细品味。
最新考题精讲
例1．（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝12，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，体现了转化和化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可判断．
中线AD的取值范围是_______ ；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DM⊥DN于点D，DM交AB于点M，DN交AC于点N，连接MN，求证：BM+CN＞MN；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝110°，以C为顶点作一个55°角，角的两边分别交AB，AD于M、N两点，连接MN，探索线段BM，DN，MN之间的数量关系，并加以证明．
【解析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；正确作出辅助线并证明三角形全等是解决问题的关键．
（1）阅读理解：
由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE＝AC＝12，在△ABE中，由三角形的三边关系即可得出答案为：2＜AD＜10；
（2）问题解决：
延长ND至点F，使FD＝ND，连接BF、MF，同（1）得：△BFD≌△CND，由全等三角形的性质得出BF＝CN，由线段垂直平分线的性质得出MF＝MN，在△BFM中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（3）BM+DN＝MN．
问题拓展：
延长AB至点E，使BE＝DN，连接CE，如图2所示，由SAS证明△EBC≌△NDC，得出CE＝CN，∠ECB＝∠NCD，根据SAS可证明△NCM≌△ECM，则MN＝ME，即可得出结论．
例2．如图所示，△ABC为等边三角形，点D，点E分别在CA，CB的延长线上，连接BD，DE，DB＝DE．
（1）如图1，若CA：AD＝3：7，BE＝4，求EC的长；
（2）如图2，点F在AC上，连接BE，∠DBF＝60°，连接EF，
①求证：BF+EF＝BD；
②如图3，若∠BDE＝30°，直接写出EF/BF的值．
【解析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
（1）如图1，延长CB至H，使EH＝BC，连接DH，由"SAS"可证△DEH≌△DBC，可得DH＝AC，可证△DHC是等边三角形，由线段的数量关系可求解EC=7；
（2）①如图2，延长CB至H，使EH＝BC，连接DH，延长BF至G，使BG＝BD，由"SAS"可证△DEF≌△DGF，可得EF＝FG，可得结论；
②过点F作FM⊥BC于M，作∠EFN＝∠FEC，交BC于N，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质分别求出EF＝（√2+√6）FM，BF＝√2FM，即可求解EF/BF的值1+√3．
例3．如图，在Rt△ABC中，CB/CA＝nM为BC上的一点，连接BM．
（1）如图1，若n＝1，
①当M为AC的中点，当BM⊥CD于H，连接AH，求∠AHD的度数；
②如图2，当H为CD的中点，∠AHD＝45°，求AD/BD的值和∠CAH的度数；
（2）如图3，CH⊥AM于H，连接CH并延长交AC于Q，M为AC中点，直接写出tan∠BHQ的值（用含n的式子表示）．
【解析】本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
（1）①如图1中，作AK⊥CD交CD的延长线于K．利用全等三角形的性质证明AK＝CH，再证明CH＝KH，推出AK＝KH即可解决问题∠AHD＝45°．
②如图2中，作AK⊥CD交CD的延长线于K，作CM⊥AB于M．设DH＝CH＝a．证明△ADH∽△CDA，推出AD＝√2a，设AM＝CM＝BM＝x，在Rt△CMD中，根据CM2＝DM2+CD2，构建方程求出x（用a表示），求出BD即可，再证明sin∠ACK＝1/2，推出∠ACK＝30°即可解决问题，AD/BD=√3/3，∠CAH＝15°．
（2）作AJ⊥BM交BM的延长线于J．设AM＝CM＝y，则BC＝2yn．想办法求出AJ，HJ（用n，y表示）即可解决问题．tan∠BHQ＝n．
例4．问题提出
（1）如图①，在△ABC中，BC＝6，D为BC上一点，AD＝4，则△ABC面积的最大值是______．
问题探究
（2）如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．
问题解决
（3）如图③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC＝60°．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．
【解析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，四边形的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
（1）当AD⊥BC时，△ABC的面积最大，最大值＝1/2×6×4＝12．
（2）由题意矩形邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为6﹣m，可得S＝m（6﹣m）＝﹣（m﹣3）²+9，所以m＝3时，S有最大值，最大值为9．
（3）由题意，AC＝100，∠ADC＝60°，即点D在优弧ADC上运动，当点D运动到优弧ADC的中点时，四边形鱼塘面积和周长达到最大值，此时△ACD为等边三角形，计算出△ADC的面积和AD的长即可得出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值．
如图③中，
∵AC＝50米，AB＝40米，BC＝30米，
∴AC²＝AB²+BC²，∴∠ABC＝90°，
作△AOC，使得∠AOC＝120°，OA＝OC，以O为圆心，OA长为半径画⊙O，
∵∠ADC＝60°，∴点D在优弧ADC上运动，
当点D是优弧ADC的中点时，四边形ABCD面积取得最大值，
设D′是优弧ADC上任意一点，连接AD′，CD′，延长CD′到F，使得D′F＝D′A，连接AF，则∠AFC＝30°＝1/2∠ADC，
∴点F在D为圆心DA为半径的圆上，∴DF＝DA，
∵DF+DC≥CF，∴DA+DC≥D′A+D′C，
∴DA+DC+AC≥D′A+D′C+AC，
∴此时四边形ADCB的周长最大，最大值＝40+30+50+50＝170（米）．
答：这个四边形鱼塘周长的最大值为170（米）．
例5．问题探究
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，P为CD边上的中点，试比较∠APB和∠ADB的大小关系，并说明理由；
（2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD上任意一点，试问当P点位于何处时∠APB最大？并说明理由；
问题解决
（3）某儿童游乐场的平面图如图③所示，场所工作人员想在OD边上点P处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果最佳，必须要求∠APB最大，已知：∠DOC＝60°，OA＝400米，AB＝200√3米，问在OD边上是否存在一点P，使得∠APB最大，若存在，请求出此时OP的长和∠APB的度数；若不存在，请说明理由．
【解析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
（1）如图①中，结论：∠APB＞∠ADB．作PH⊥AB于H．证明四边形ADPH是正方形，推出∠APH＝45°，推出∠APB＝90°，即可解决问题．∠APB＞∠ADB．
（2）当点P位于CD的中点时，∠APB最大．假设P为CD的中点，如图②中，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于点P，利用圆周角定理以及三角形的外角的性质解决问题即可．
（3）如图③中，当经过A，B的⊙T与OD相切于P时，∠APB的值最大，作TH⊥OC于H，交OD于Q，连接TA，TB，OT．设TP＝TA＝TB＝r，用两种方法求出QH，构建方程即可解决问题．
教学反思
1.图形变换考题要重视学生独立画图的训练
我们知道,各地中考试题的最后一题多为几何综合题,又会以图形变换(翻折、平移或旋转等为设问背景,像北京地区图形往往需要考生自己补全,这种几何综合题值得关注因为,就几何学习来看,画图、作图应该是基本功,将图形都画好、配全再安排学生推证结论。
其实就是很多专家学者所批判的"烧中段"现象，不利于学生几何素养的全面提升。所以面对这类几何综合题,应该让学生独立画图、作图之后再引导其对比各自所画图形是否致是否符合要求,有没有太大误差,甚至出现画图出错的现象如何纠错,等等多进行这样的训练,有利于提高学生解此类考题的能力。
2.解题教学时要注重引导学生体会"向上看"策略
所谓"向上看"策略,就是以退为进的解题策略，一般来说,中考综合题特别是最后两道大题,都是精心设计、打磨而成,往往各个小问之间看似并列、实则递进,即增设出来的强化条件可能互不干扰,但是解题策略却互为影响,前一问的解题策略可以启示或影响后一问的思路获得。
当学生挑战到最后一问时,如果思路获取出现困难,则需要退回上一问,将上一问的问题结构看清,成果扩大,这样就能得出更多的思路就像上面这5道模考题,我们提供的第（3）问的第2种思路就是将第（2）问的成果扩大。
