數列是一種特殊的函數，一種定義在正整數集（或其子集）上的函數，因此也具有單調性，可用函數的思想和方法去研究。對於數列而言，若
，則此數列為遞增數列，若 ，則其為遞減數列，若 
，則其為常數列，運用其單調性可求出一些常見數列的最值，下面舉例說明。一. 整式（一次，二次）函數為背景的數列
例1. 已知等差數列（d<0）其前n項和為
，若
，問
中哪一項最大？ 解：因為
又因為
，因為d
所以數列單調遞減，於是
最大
點評：等差數列中，當d<0時，
時，
最大。公差
時，最小。
二. 無理根式函數為背景的數列
例2. 設函數
數列滿足
（1）求。
（2）求的最小項
解：（1）由已知
解得
，即
可知
（2）
，可知數列是遞增數列
的最小項為
點評：注意隱含條件，否則會得出
的錯誤結論，在（2）中用到了分子有理化技巧，這是根式運算常見的一種方法。
三. 以分式函數為背景的數列
例3. 已知
則在數列的前30項中最大項和最小項分別是_____。
解：
數列中的項是函數
上的一個個孤立點，而f(x)的圖象是由
右移 
個單位再上移1個單位得到的，因此f(x)在
上是減函數。 在
上也是減函數，從而可知當n=9時最小，n=10時，最大。
最大項和最小項分別為
。
例4. 已知
，記
，求數列的最小值。
解：
，
則
為遞增數列
中的最小項為
四. 以函數
為背景的數列
例5. 已知數列
，則該數列中的最大項是第幾項？
解：由
得
聯想函數
知函數在
上為減函數。在 
為增函數。當且僅當
時，函數取最小值，而
。要使
的值最小，應使
。通過計算驗證，可得n=12或13時，最大。
為數列中的最大項。
五. 混合型數列（由一個等差數列和一個等比數列的對應項的積組成的數列稱為）
例6. 已知無窮數列的通項公式
，試判斷此數列是否有最大項，若有，求出第幾項最大，若沒有，說明理由。
解：
時，
，即
當n=8時，
，即
當n>8時，，即
由函數單調性知數列存在最大項即第8，9項。
例7. 已知數列的通項公式為
，其中
，數列中是否存在最大的項？若存在，指出是第幾項最大；若不存在，請說明理由。解：
（1）當
時，易見
，即
，所以數列中不存在最大項。（i）當
，即
時
，即
，所以數列中的第1項
最大。 （ii）當
，即
時，
。（僅在n=1時等式成立）即
所以數列中的第1項和第2項最大…
（iii）當
即
時，若且為整數。
記
，易知
所以數列中的第N項和第N+1項最大。
若不是整數，記N為不超過的最大整數。
易見所以數列中的第N+1項最大。
