数列是一种特殊的函数，一种定义在正整数集（或其子集）上的函数，因此也具有单调性，可用函数的思想和方法去研究。对于数列而言，若
，则此数列为递增数列，若 ，则其为递减数列，若 
，则其为常数列，运用其单调性可求出一些常见数列的最值，下面举例说明。一. 整式（一次，二次）函数为背景的数列
例1. 已知等差数列（d<0）其前n项和为
，若
，问
中哪一项最大？ 解：因为
又因为
，因为d
所以数列单调递减，于是
最大
点评：等差数列中，当d<0时，
时，
最大。公差
时，最小。
二. 无理根式函数为背景的数列
例2. 设函数
数列满足
（1）求。
（2）求的最小项
解：（1）由已知
解得
，即
可知
（2）
，可知数列是递增数列
的最小项为
点评：注意隐含条件，否则会得出
的错误结论，在（2）中用到了分子有理化技巧，这是根式运算常见的一种方法。
三. 以分式函数为背景的数列
例3. 已知
则在数列的前30项中最大项和最小项分别是_____。
解：
数列中的项是函数
上的一个个孤立点，而f(x)的图象是由
右移 
个单位再上移1个单位得到的，因此f(x)在
上是减函数。 在
上也是减函数，从而可知当n=9时最小，n=10时，最大。
最大项和最小项分别为
。
例4. 已知
，记
，求数列的最小值。
解：
，
则
为递增数列
中的最小项为
四. 以函数
为背景的数列
例5. 已知数列
，则该数列中的最大项是第几项？
解：由
得
联想函数
知函数在
上为减函数。在 
为增函数。当且仅当
时，函数取最小值，而
。要使
的值最小，应使
。通过计算验证，可得n=12或13时，最大。
为数列中的最大项。
五. 混合型数列（由一个等差数列和一个等比数列的对应项的积组成的数列称为）
例6. 已知无穷数列的通项公式
，试判断此数列是否有最大项，若有，求出第几项最大，若没有，说明理由。
解：
时，
，即
当n=8时，
，即
当n>8时，，即
由函数单调性知数列存在最大项即第8，9项。
例7. 已知数列的通项公式为
，其中
，数列中是否存在最大的项？若存在，指出是第几项最大；若不存在，请说明理由。解：
（1）当
时，易见
，即
，所以数列中不存在最大项。（i）当
，即
时
，即
，所以数列中的第1项
最大。 （ii）当
，即
时，
。（仅在n=1时等式成立）即
所以数列中的第1项和第2项最大…
（iii）当
即
时，若且为整数。
记
，易知
所以数列中的第N项和第N+1项最大。
若不是整数，记N为不超过的最大整数。
易见所以数列中的第N+1项最大。
