先讲一个笑话：
村口王师傅：“我只给那些自己不刮胡子的人刮胡子。”有一天，王师傅站在镜子前手拿刮胡刀，看着自己日渐葱郁的胡渣子，犹豫了，刮还是不刮？
其实这是著名数学家和哲学家罗素提出的一个悖论：理发师悖论。这个悖论引发了第三次数学危机！
一、前两次危机回顾
第一次数学危机颠覆了毕达哥拉斯“万物皆数”的哲学理念而发现无理数；第二次数学危机是莱布尼茨和牛顿的微积分工具所致。由于采用无穷小的分析手段，但微积分本身对无穷小量的理解和运用却是一团糟，从问世一开始就遭到各方反对。典型的反对者就是主教贝克莱，最后由柯西等数学家建立起了微积分理论的基础：上层基础是极限理论，中层是实数理论，而下层则是集合论，至此第二次危机才得以消除。
集合论指出，任何确定的对象组成一个集合，每一个对象称为集合的元素。集合可以划分为两类，一是本身不是本身的元素，如自然数集；另一类是本身也是本身的元素，比如一切建筑群组成的集合。
二、罗素悖论及第三次数学危机
数学家罗素
数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“……借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”
罗素指出集合论是有漏洞的，消息一出震惊数学界！
他提出了一个关于合集的悖论：设集合S是由一切不属于自身的集合所组成，即“S={x|x∉x}”。那么问题是：S属于S是否成立？首先，若S属于S，则不符合x∉x，则S不属于S；其次，若S不属于S，则符合x∉x，S属于S。
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”
相信你们都不想看这么晦涩的表达，不过没关系，这里有很多通俗化的表达，最常见的就是文章开头提到的理发师悖论。
罗素悖论被提出后，人们才发现，我们最基础的科学基石是不稳固的，在我们兢兢业业地铺砖添瓦的时候往往会忽视了最根本的东西，这也引发了所谓的“第三次数学危机”。
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”
来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？
如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
罗素指出的是合集论中最为基础的问题，非常的浅显易懂，但是却引发了数学界的深思。
关于这一悖论提出还有这么一个小插曲：
德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”
三、第三次数学危机的影响
其重大影响是使科学家们开始考虑数学命题在什么情况下具有真理性，什么情况下失灵，于是产生了一门新的数学分支―――数学基础论。
危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年，策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统 。
在策梅洛（Zermelo）和弗伦克尔（Fraenkel）等提出的ZF公理系统（也称ZFC公理系统）中，严格规定了一个集合存在的条件（简单地说，存在一个空集【空集公理】；每个集合存在幂集【幂集公理】；每个集合里所有的集合取并也形成集合【并集公理】；每个集合的满足某条件的元素构成子集【子集公理】；一个”定义域“为A的”函数“存在“值域”【替换公理】等），这样无法定义出悖论中的集合。
第三次数学危机就此完美解决。
四、三次数学危机的意义
历史上的三次数学危机,给人们带来了极大的麻烦,危机的产生使人们认识到了现有理论的缺陷,科学中悖论的产生常常预示着人类的认识将进入一个新阶段,所以悖论是科学发展的产物,又是科学发展源泉之一.第一次数学危机使人们发现无理数,建立了完整的实数理论,欧氏几何也应运而生并建立了几何公理体系；第二次数学危机的出现,直接导致了极限理论、实数理论和集合论三大理论的产生和完善,使微积分建立在稳固且完美的基础之上；第三次数学危机,使集合论成为一个完整的集合论公理体系（ZFC系统）,促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性。
数学发展的历史表明对数学基础的深入研究、悖论的出现和危机的相对解决有着十分密切的关系,每一次危机的消除都会给数学带来许多新内容、新认识,甚至是革命性的变化,使数学体系达到新的和谐,数学理论得到进一步深化和发展.悖论的存在反映了数学概念、原理在一定历史阶段会存在很多矛盾,导致人们的怀疑,产生危机感,然而事物就是在不断产生矛盾和解决矛盾中逐渐发展完善起来的,旧的矛盾解决了,新的矛盾还会产生,而就是在其过程中,人们便不断积累了新的认识、新的知识,发展了新的理论.数学家对悖论的研究和解决促进了数学的繁荣和发展,数学中悖论的产生和危机的出现,不单是给数学带来麻烦和失望,更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望。
数学中悖论和危机的历史也说明了这一点：已有的悖论和危机消除了,又产生新的悖论和危机.但是人的认识是发展的,悖论或危机迟早都能获得解决.“产生悖论和危机,然后努力解决它们,而后又产生新的悖论和危机.”这是一个无穷反复的过程,也就不断推动着数学的发展,这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。
