「概率論與數理統計」互不相容和相互獨立的概念，應用到題目中

互不相容

在概率論與數理統計當中，有一種概念，叫做互不相容，從字面意思上來理解，便是兩者不能容忍各自的存在，假定事件A和事件B互不相容，那麼事件A存在，事件B必定不存在；反之，事件B存在，事件A必定不存在。

相互獨立

而相互獨立，便是兩個事件的發生互相之間沒有關係，都是各自獨立存在的事件。

假設事件A和事件B相互獨立，那麼事件A可以和事件B同時存在，也可以不同時存在，也可以事件A存在事件B不存在，同樣也可以事件A不存在而事件B存在。

一般來說，當兩個事件滿足P(A)(B)=P(AB)的時候，我們就說這兩個事件相互獨立。

實踐出真知：給出兩道例題

第一題：

第一題

這道題給出三個事件，其中事件A與事件C互不相容，既可以說明事件A存在，事件C就不存在。

然後其中的¯C表示1-C，也就是C的對立事件，那麼，¯C必然包括事件A，也包括事件A與事件B的交集。

又因為P(AB|¯C)是根據條件概率的定義來進行計算，可以得到：

P(AB|¯C)=P(AB¯C)/P(¯C)，因為¯C包括事件A與事件B的交集，所以可以寫為P(AB)/P(¯C)。

得到(1/2)/(1-1/3)=(1/2)/(2/3)=3/4。

結果如下圖所示：

步驟一

第二題：

第二題

這道題說事件A與事件B相互獨立，第一可以想到P(AB)=P(A)P(B)。

然後也能夠得到A與¯B相互獨立、¯A與B相互獨立，接下來我來證明為什麼。

首先要證明一個公式：

A-B我們可以理解為事件A與事件B之間的差，那麼就是事件A發生，但是事件B不可能發生。

¯B之前介紹過了，它是事件B的對立事件，為1-B，那麼事件A與¯B之間的乘積，也可以理解為事件A發生，事件B的對立事件發生，也就是事件B不發生，所以前後兩個式子可以等同。

要證明A與¯B相互獨立，即要得到P(A¯B)=P(A)P(¯B)。

因為P(A¯B)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(¯B)。

所以，證明得到A與¯B相互獨立，同理，B與¯A相互獨立。

那麼，做這道題就很簡單了：

P(A-B)=P(A¯B)=P(A)P(¯B)=P(A)P(1-B)=0.3。

P(A)=0.3/P(1-B)=0.3/0.5=0.6。

P(B-A)=P(B¯A)=P(B)P(¯A)=0.5X0.4=0.2，所以，答案選擇B選項。

結果如下圖所示：

步驟二

總結：

總的來說，這些題目都不難，關鍵就是熟練掌握互不相容和相互獨立兩種概念，熟能生巧，方能會做題，才會這道心中有數，心中有底，加油吧。