【例題】
26.已知：AB為⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，弧BC=弧CD，連接AD，OC．
圖1
（1）如圖1，求證：AD∥OC；
（2）如圖2，過點C作CE⊥AB於點E，求證：AD＝2OE；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點F在OC上，且OF＝BE，連接DF並延長交⊙O於點G，過點G作CH⊥AD於點H，連接CH，若∠CFG＝135°，CE＝3，求CH的長．
【涉及考點】圓的綜合題．
【解題分析】（1）證明∠DAB＝∠COB即可．
（2）由於O是圓心，也就是直徑的中點，於是延長CO交⊙O於F，延長CE交圓O於G，連接FG，BD，則OE為中位線，再證AD＝FG即可．
（3）連接BD交OC於N，則OC垂直平分BD，注意到OCB是等腰三角形，於是可得△COE≌△BON，從而DN＝BN＝CE，CN＝BE＝OF＝x，在Rt△OCE中利用勾股定理可以求出x，延長CO交HG於R，交⊙O於P，可得△RFG是等腰直角三角形，於是FG＝根號2RF，對於交點F使用相交弦定理可以算出RF長度，再算出HR長度即可由勾股定理得出CH長度．
【詳細解答過程】解：（1）如圖1，連接OD，
圖2
∵BC＝CD，
∴∠COD＝∠COB＝1/2∠BOD，
∵∠DAB＝1/2∠BOD，
∴∠DAB＝∠COB，
∴AD∥OC．
（2）如圖2，延長CO交圓O於F，延長CE交圓O於G，連接FG，BD，
圖3
則∠CGF＝∠BDA＝90°，
∵CE⊥AB於E，
∴CG＝2CE，∠OEC＝90°，
∴∠COE+∠OCE＝90°，
∵∠COE＝∠DAB，∠DAB+∠DBA＝90°，
∴∠OCE＝∠DBA，
∴AD＝FG
∵CO＝FO，
∴OE＝1/2FG，
∴AD＝2OE．
（3）如圖3，延長CO交圓O於P，連接BD交OC於N，作PM⊥AD於M，連接BC、BF．
圖4
則∠ADB＝90°，
∵AD∥OC，
∴OC⊥BD，
∴DN＝BN，
∵CE⊥AB於E，
∴∠OEC＝∠ONB＝90°，
∵OB＝OC，∠COE＝∠BON，
∴△COE≌△BON（AAS），
∴BN＝CE＝3，ON＝OE，
∴DN＝BN＝3，CN＝BE＝OF，
∵∠CFG＝135°，
∴∠DFC＝∠PFG＝45°，
∴FN＝DN＝3，DF＝根號2DN＝3倍根號2，
設BE＝x，則OC＝3+2x，OE＝3+x，
在Rt△OCE中：
OE2+CE2＝OC2，所以（3+x）2+9＝（3+2x）2，解得x＝1，
∴CF＝4，OC＝OB＝5，AB＝CP＝10，PF＝6，
∵FM⊥AD，
∴∠FMD＝∠FMH＝90°，
∵OC∥AD，
∴∠MDF＝∠DFC＝45°，
∴MF＝DM＝根號2/2DF＝3，
設CP交HG於R，
∵HG⊥AD，
∴CP⊥HG，
∴∠GRF＝∠HRF＝90°，
∴RF＝RG，FG＝根號2RF，HR＝MF＝3，
又∵CF•PF＝DF•FG，
∴24＝6RF，
∴RF＝4，
∴CR＝CF+RF＝8，
在Rt△CHR中：CH2＝HR2+CR2＝9+64＝73，
∴CH＝根號73．
【總結】
這道題屬於圓的綜合題，主要考查了圓的基本性質，中位線的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、相交弦定理等眾多知識點，難度較大．第三問是這道題的難點所在，通過構造全等三角形進而利用勾股定理算出圓的半徑及直徑是解答的關鍵．
圖5
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