函數極限理論的成熟，意味著分析將完成其光榮使命，即揭示函數的三大解析性質：連續性，可微性，可積性！
牛頓和萊布尼茨分別在研究瞬時速度和曲線的切線時，引入了導數的概念。
其等價的形式，可表示為
（3）（4）在用時有微妙的區別，（3）往往計算在一個給定點處的導數，而（4）式往往用來計算函數的導函數或泛指的一個點。
導數的幾何背景，是同學們在備考中必須要掌握的。
一旦理解了求切線的動態過程，導數的定義就像河水一樣，自然而然地流淌出來。
導數的定義，幾乎沒有新的知識，仍然屬於函數極限的範疇，也正因如此，順理成章地有了左、右導數的概念。
曾經的天才少年牛頓，雖然當時提出了導數的概念，但是由於當時分析的基礎並不牢固，以至於他並不能很好地將他萬丈光芒的數學思想展示給別的科學家，也遭到了大主教貝克萊的打壓，甚至造成了第二次數學危機。後人為了表達牛頓老師的抑鬱之情，就狠狠地抽了函數f(x)一巴掌，就有了今天導數的符號，你瞧，函數總是一副被打的樣子。
而戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨高瞻遠矚，技高一籌，放眼全球，他並不沿用牛頓老師的符號（畢竟他倆是死對頭，請參考最後大表哥給的小檔案），發明了“微商”！萊布尼茨是偉大的，就像一個先知，他準確地預言了二百多年後全球微商欣欣向榮的時代，遺憾的是，現在的絕大多數微商並不知道他們的祖師爺是誰（咳咳，這一段純屬大表哥胡謅，只是為了活躍氣氛）！
值得肯定的是，萊布尼茨微商的記號其實更加有效使用，無論是參數方程的求導，還是微分方程的求解，用萊布尼茨的dy/dx會更方便些！
導數和微分，從理論的角度，沒有區別，因為有個充要條件刻畫可微和可導之間的關係
一個大寫的HOWEVER，導數、微分的幾何意義是完全不同的。
導數表示切線的斜率。而微分是一種近似，也體現微積分的一大數學思想“以直代曲”！
微分的幾何意義，請同學們務必理解並掌握！
大表哥總結下微分的理解視角：1 近似值；2以直代曲；3誤差可忽略。
理解了微分的幾何意義，整個第五章的難點也就解決了。剩下的，則是導數的計算。
一元函數的導數計算問題，考研八大考點DCPPHIIV，大表哥總結如下（不僅僅拘泥於第五章）。
1 定義Definition
2 複合Compound
3 分段Piecewise
4 參數Parameter
5 高階Higher Order
6 反函數Inverse
7 隱函數Implicit
8 變限函數Variable of（lower）upper limit
上述八大考點，大表哥會以專題課的形式視頻講解，敬請期待！
最後，附上本章兩位男主的小檔案！
姓名：艾薩克·牛頓(Isaac Newton)；
職業：物理學家，哲學家，數學家；
別名：牛老師；牛爵爺；
生卒：1643年1月-1727年3月
業界地位：天下第一，無人能敵；
牛爵爺天才的一生簡介
1孤獨的一生：一輩子沒有朋友，也沒有結過婚，因為在牛老師的眼中，是不分男女的，只有傻逼(比如正在看小檔案的你)和大傻逼(比如 給他做小檔案的大表哥），大表哥有充分的理由懷疑牛老師很可能到死都是個處男；
2 天才的一生：可以壟斷四屆諾貝爾物理學獎和數學菲爾茨獎(全世界數學領域的最高獎項)；
3 戰鬥的一生：小時候一巴掌打哭他的胖子同學，長大了不以拳腳論高下，甚至僱傭槍手(比 如邁克勞林)大罵萊布尼茨；
4 荒唐的晚年：晚年的牛老師除了升官發財再無其他驕傲之處，而且官迷心竅，沒退休一直幹到85歲壽終。當然他並沒閒著，寫了150 萬字的神學著作，同時一心撲在化學事業上，在家裡蓋了窯子，拿出年輕時搞物理的勁頭玩命試驗。但這次他的出發點就錯了，總是希望從黃銅和煤渣中提煉出黃金。要知道化學反應只能改變分子並不能改變原子，能給原子做變性手術的只能是核反應,他違背了化學定律裡的物質不滅原則。
大表哥點評：你只知道牛老師很牛，但是你不知他到底有多牛；天才是人類的福祉，卻是自己的苦難。
姓名：戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨；
職業：哲學家，數學家，律師；
別名：妮子；
生卒：1646年7月－1716年11月；
業界地位：高瞻遠矚，全球微商；
世間罕見的通才妮子大神生平簡介
1666年萊布尼茨於Altdorf拿到博士學位後，拒絕了教職的聘任；
1671年發表兩篇論文《抽象運動的理論》)，及《新物理學假說》，分別題獻給巴黎的科學院和倫敦的皇家學會，在當時的學術圈暫露頭腳；
1680開始和牛爵爺頻繁通信，討論各種學術問題，尤其是微積分的問題，並開始建立深厚的學術友誼；
1686離婚，只因和牛老師瘋狂通信，無暇經營夫妻生活以及感情，比如陪媳婦逛街，吃飯，看電影等，從而導致夫妻感情最終破裂。
1689開始對中國事物有更強烈的興趣；
1695為了確立微積分CEO的職務，和牛老師正式開始互撕，數學史上至今最大的一樁撕逼大戰拉開帷幕；
1714年完成哲學代表作《單子論》；
1716年一顆數學巨星抑鬱而終；
大表哥點評：掐指一算，妮子20歲就博士畢業了。。。而大表哥。。。就醬紫不做過多評論。。。
我是大表哥，關注我，數學考研不翻車！現在關注，免費領取數學考研備考資料！
週三晚19:30，B站直播，搜索“大表哥考研數學”或房間號：22089437，帶你征服數學分析各章節重點難點！
閱讀更多 大表哥考研數學 的文章
