函数极限理论的成熟，意味着分析将完成其光荣使命，即揭示函数的三大解析性质：连续性，可微性，可积性！
牛顿和莱布尼茨分别在研究瞬时速度和曲线的切线时，引入了导数的概念。
其等价的形式，可表示为
（3）（4）在用时有微妙的区别，（3）往往计算在一个给定点处的导数，而（4）式往往用来计算函数的导函数或泛指的一个点。
导数的几何背景，是同学们在备考中必须要掌握的。
一旦理解了求切线的动态过程，导数的定义就像河水一样，自然而然地流淌出来。
导数的定义，几乎没有新的知识，仍然属于函数极限的范畴，也正因如此，顺理成章地有了左、右导数的概念。
曾经的天才少年牛顿，虽然当时提出了导数的概念，但是由于当时分析的基础并不牢固，以至于他并不能很好地将他万丈光芒的数学思想展示给别的科学家，也遭到了大主教贝克莱的打压，甚至造成了第二次数学危机。后人为了表达牛顿老师的抑郁之情，就狠狠地抽了函数f(x)一巴掌，就有了今天导数的符号，你瞧，函数总是一副被打的样子。
而戈特弗里德·威廉·莱布尼茨高瞻远瞩，技高一筹，放眼全球，他并不沿用牛顿老师的符号（毕竟他俩是死对头，请参考最后大表哥给的小档案），发明了“微商”！莱布尼茨是伟大的，就像一个先知，他准确地预言了二百多年后全球微商欣欣向荣的时代，遗憾的是，现在的绝大多数微商并不知道他们的祖师爷是谁（咳咳，这一段纯属大表哥胡诌，只是为了活跃气氛）！
值得肯定的是，莱布尼茨微商的记号其实更加有效使用，无论是参数方程的求导，还是微分方程的求解，用莱布尼茨的dy/dx会更方便些！
导数和微分，从理论的角度，没有区别，因为有个充要条件刻画可微和可导之间的关系
一个大写的HOWEVER，导数、微分的几何意义是完全不同的。
导数表示切线的斜率。而微分是一种近似，也体现微积分的一大数学思想“以直代曲”！
微分的几何意义，请同学们务必理解并掌握！
大表哥总结下微分的理解视角：1 近似值；2以直代曲；3误差可忽略。
理解了微分的几何意义，整个第五章的难点也就解决了。剩下的，则是导数的计算。
一元函数的导数计算问题，考研八大考点DCPPHIIV，大表哥总结如下（不仅仅拘泥于第五章）。
1 定义Definition
2 复合Compound
3 分段Piecewise
4 参数Parameter
5 高阶Higher Order
6 反函数Inverse
7 隐函数Implicit
8 变限函数Variable of（lower）upper limit
上述八大考点，大表哥会以专题课的形式视频讲解，敬请期待！
最后，附上本章两位男主的小档案！
姓名：艾萨克·牛顿(Isaac Newton)；
职业：物理学家，哲学家，数学家；
别名：牛老师；牛爵爷；
生卒：1643年1月-1727年3月
业界地位：天下第一，无人能敌；
牛爵爷天才的一生简介
1孤独的一生：一辈子没有朋友，也没有结过婚，因为在牛老师的眼中，是不分男女的，只有傻逼(比如正在看小档案的你)和大傻逼(比如 给他做小档案的大表哥），大表哥有充分的理由怀疑牛老师很可能到死都是个处男；
2 天才的一生：可以垄断四届诺贝尔物理学奖和数学菲尔茨奖(全世界数学领域的最高奖项)；
3 战斗的一生：小时候一巴掌打哭他的胖子同学，长大了不以拳脚论高下，甚至雇佣枪手(比 如迈克劳林)大骂莱布尼茨；
4 荒唐的晚年：晚年的牛老师除了升官发财再无其他骄傲之处，而且官迷心窍，没退休一直干到85岁寿终。当然他并没闲着，写了150 万字的神学著作，同时一心扑在化学事业上，在家里盖了窑子，拿出年轻时搞物理的劲头玩命试验。但这次他的出发点就错了，总是希望从黄铜和煤渣中提炼出黄金。要知道化学反应只能改变分子并不能改变原子，能给原子做变性手术的只能是核反应,他违背了化学定律里的物质不灭原则。
大表哥点评：你只知道牛老师很牛，但是你不知他到底有多牛；天才是人类的福祉，却是自己的苦难。
姓名：戈特弗里德·威廉·莱布尼茨；
职业：哲学家，数学家，律师；
别名：妮子；
生卒：1646年7月－1716年11月；
业界地位：高瞻远瞩，全球微商；
世间罕见的通才妮子大神生平简介
1666年莱布尼茨于Altdorf拿到博士学位后，拒绝了教职的聘任；
1671年发表两篇论文《抽象运动的理论》)，及《新物理学假说》，分别题献给巴黎的科学院和伦敦的皇家学会，在当时的学术圈暂露头脚；
1680开始和牛爵爷频繁通信，讨论各种学术问题，尤其是微积分的问题，并开始建立深厚的学术友谊；
1686离婚，只因和牛老师疯狂通信，无暇经营夫妻生活以及感情，比如陪媳妇逛街，吃饭，看电影等，从而导致夫妻感情最终破裂。
1689开始对中国事物有更强烈的兴趣；
1695为了确立微积分CEO的职务，和牛老师正式开始互撕，数学史上至今最大的一桩撕逼大战拉开帷幕；
1714年完成哲学代表作《单子论》；
1716年一颗数学巨星抑郁而终；
大表哥点评：掐指一算，妮子20岁就博士毕业了。。。而大表哥。。。就酱紫不做过多评论。。。
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