我國古代數學著作《孫子算經》共三卷，成書大約在公元 5 世紀。這本書淺
顯易槿，有許多有趣的算術題，比如"雞兔同籠"問題。
解答雞兔同籠問題，常常通過假設。
當問題裡有兩個或兩個以上的未知數量時，可以假設要求的兩個或兩個以上
的末知量相等，或假沒它們為同一種量，然後按照題中的已知條件進行推算，如
果數量上出現矛盾，可以適當加以調整，求出正確答案。像這樣的思考方法稱為
假沒法。
一、基本知識點
1、含義
雞兔同籠是古典的算術問題，也叫作龜鶴問題、牛頓問題、置換問題。已知
雞、兔的總頭數和總腳數，求雞、兔各有多少隻的應用題，叫做第一雞兔同籠問
題。已知雞兔的總數和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔
同籠問題。
2、類型
（1）已知雞兔總頭數和總腳數，求雞、兔各多少隻；
（2）已知雞兔總頭數和雞兔腳數的差，求雞、兔各多少隻；
（3）雞兔互換問題（已知總腳數及雞兔互換後總腳數，求雞兔各多少隻）；
（4）得失問題（雞兔問題的推廣題）。
3、數量關係
（1）類型 1 已知雞兔總頭數和總腳數，求雞、兔各多少隻
①假設全都是雞，
兔數＝（實際總腳數－每隻雞腳數×雞兔頭總數）÷（每隻兔腳數－每隻雞腳數）
雞數=雞兔總數-兔數
②假設全都是兔，
雞數＝（每隻兔腳數×雞兔頭總數－實際總腳數）÷（每隻兔腳數－每隻雞腳數）
兔數=雞兔總數-雞數
（2）類型 2 已知雞兔總頭數和雞兔腳數的差，求雞、兔各多少隻
①雞的總腳數比兔的總腳數多
A、假設全是雞
兔數＝（每隻雞腳數×雞兔頭總數－實際腳數差）÷（每隻兔腳數+每隻雞腳數）
雞數=雞兔總數-兔數
B、假設全都是兔
雞數＝（每隻兔腳數×雞兔頭總數＋實際腳數差）÷（每隻兔腳數+每隻雞腳數）
兔數=雞兔總數-雞數
②兔的總腳數比雞的總腳數多
A、假設全是雞
兔數＝（每隻雞腳數×雞兔頭總數+實際腳數差）÷（每隻兔腳數+每隻雞腳數）
雞數=雞兔總數-兔數
B、假設全都是兔
雞數＝（每隻兔腳數×雞兔頭總數-實際腳數差）÷（每隻兔腳數+每隻雞腳數）
兔數=雞兔總數-雞數
（3）類型 3 雞兔互換問題
雞數=[兩次總腳數和÷每隻雞兔腳數和+兩次總腳數差÷每隻雞兔腳數差]÷2
兔數=[兩次總腳數和÷每隻雞兔腳數和-兩次總腳數差÷每隻雞兔腳數差]÷2
（4）類型 4 得失問題
①假設全是合格產品
不合格產品數=（每個合格產品的分數×產品總數-實際總得分數）÷（每隻
合格產品得分數+每隻不合格產品扣分數）
合格產品數=產品總數-不合格產品數
②假設全是不合格品
合格產品數=（每個不合格產品扣分數×產品總數+實際總得分數）÷（每隻
合格產品得分數+每隻不合格產品扣分數）
不合格產品數=產品總數-合格產品數
4、解題思路
解答此類題目一般都用假設法或置換法，可以先假設全是同一種動物雞（也
可以假設全是兔）。如果先假設都是雞，即用雞置換兔，再根據雞兔總頭數算出
在假設情況下的總腳數，用實際總腳數減去這個假設情況下的總腳數，就是假設
情況下多出的總腳數。實際上每有 1 只兔就少 1 只雞，總腳數就會比假設情況下
多（每隻兔腳數－每隻雞腳數）。所以只要求出在假設情況下，多出的腳數種有
多少個（每隻兔腳數－每隻雞腳數），就可以推算出兔的只數。如果先假設都是
兔，然後以兔置換雞。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題得
到解決。
5、口訣記憶
假設全是雞，假設全是兔，
多了幾隻腳，少了幾隻足，
除以腳的差，便是雞兔數。
二、一張思維導圖歸納總結
三、經典應用
例 1、雞兔共 8 只，共有 22 條腿，雞育多少隻，兔有多少隻？
【解答】我們用枚舉的方法，假設雞 8 只、兔 0 只，一共 2×8=16（條）腿；
雞 7 只、免 1 只 1×2+1×4=18（條）腿；雞 6 只、兔 2 只，一共 6×22×420（條）
腿；雞 5 只、免只，一共 5×2+3×4=22（條）腿„„直到滿足答案為止。如下
表：
答：雞有 5 只，兔有 3 只。
【反思】答雞兔同籠問題，當數據較小時我們可以根據"雞兔頭"的總數，
逐一按順序列舉出來，從中找到正確的答案。
當數據較大時，我們可以先猜測"雞、兔"各有幾隻，算出"腿數"進行列
表，列出幾種況，再逐步調整到符合題目要求的情況。
例 2、籠子裡有若干只雞和兔，從上面數，有 8 個頭，從下面數，有 26 條
腿，雞和兔各有幾隻？
【解法 1】假設都是雞：先在紙上畫 8 個圈，代表 8 個頭，然後在每個圈上
畫 2 條豎線，代表 2 條腿，一共畫了 16 條腿，如下圖：
再在 5 個圈上畫 2 條豎線，這樣一共是 26 條腿，所以，有 5 只兔，3 只雞。
【解法 2】假設都是免：先在紙上畫 8 個圈，代表 8 個頭，然後在每個圈上
畫 4 條豎線，代表 4 條腿，一共畫了 32 條腿。
再在 3 個圈上畫掉 2 條豎線，這樣一共是 26 條腿。所以，有 5 只免，3 只
雞。
驗證：5+3=8（只）；5×4+3×2=26（條）
答：雞有 3 只，兔有 5 只。
【反思】這兩種畫圖方法都是採用假設的方法，全假設成雞或全假設成兔，
腿數和實際相比不夠就要添上，多了就要去掉。
例 3、在同一籠子裡，有若千隻雞和兔，從籠子上看有 35 個頭，從籠子下
數有 94 只腳。那麼，這個籠子裡有兔、雞各多少隻？
【分析】假設 35 個頭都是雞，由於每隻雞有 2 只腳，所以共有腳 2×35=70
（只）。
但題設為 94 只腳，少了 94-70=24（只）腳。
原因是每個兔子當作雞，要少算 2 只腳，因此少了 24只腳是因為將 24÷2=12
只兔子當作雞的結果。
因此兔子有 12 只，雞有 35-12=23 只。
【解法 1】假設全是雞。
兔子：（94-2×35）÷（4-2）=12（只）
雞： 35-12=23（只）
【分析】假設 35 個頭都是兔子的，由於每隻兔 4 只腳，所以共 4×35=140
（只）腳，但題設只有 94 只腳。多了 140-94=46（只）腳。原因是每個雞當作
兔子要多算 2 只腳，因比多的 46 只腳是因為將 46÷2=23 只雞當作兔子的結果，
因此雞 23 只，兔 35-23=12（只）。
【解法 2】雞：（4×35-94）÷（4-2）=23（只）
兔：35-23=12（只）
【解法 3】假設這籠子中的雞都是"金雞獨立"的"單腳雞"，兔子都是前
腳抱著大蘿蔔的兔"，則共有 35 個頭，94÷2=47（只）腳，由於每隻"雙腳兔"
比"單腳雞"多一隻腳，所以有兔 47-35=12（只）雞
【解法 4】假設每隻動物都砍掉 2 條腿，則共砍掉 2×35=70（條）腿，還剩
94-70=24條腿。這些腿都是兔子的腿，每隻兔還剩 2條腿，所以共有兔子24÷2=12
（只），雞 35-12=23（只）
【解法 5】如圖，AB 代表雞、兔頭數 35 個。
ABCD 代表免子的總腳數；
DEFG 代表雞的總腳數；
ABEFGC 代表雞、兔的總腳數 94 只。右上角補上一塊長方形 EFHB，構成大長
方形 ACGH。其面積為4×35=140，因此補上的一塊 ACGH的面積等於4×35-94=46。
要求雞的頭數 DG=EF，而 FH=4-2=2,所以，雞的頭數 46÷（4-2）=23。兔的頭數
=35-23=12
綜合列式：雞:（4×35-94）÷（4-2）=23（只）
兔：35-23-12（只）
答：這個籠子裡有兔 12 只，雞 23 只。
【反思】我們可以得到解決雞兔同籠問題的基本關係式：
雞數=（每隻免腳數×雞兔總數-實際腳數）÷（每隻免腳數-每隻雞腳數）
兔數=（實際腳數-每隻雞腳數×雞兔總數）÷（每隻兔腳數-每隻雞腳數
【注意】這兩個基本關係式不必都用，用其中一個算出雞數或兔數，又知
總數，所以另一個也就知道了。
我們還可以看出，如果假設全是雞，那麼先求出來的就是兔子；如果假設
全是兔子，那麼先求出來的就是雞。
例 4、有一首中國民逕："一隊獵手一隊狗，二隊並著一隊走，數頭一共三
百六，數腳一共八百九。"這首民實際上是一道面用題，可有多少獵手？多少狗？
【分析】假設全是獵手，就有 360×2=720（只）腳，實際有腳 890 只，因
為每隻狗少算 2 只腳，因此用 890 與 720 的差去除以 2，就能算出有多少條狗。
【解答】狗的條數：（890-720）÷（4-2）=85（條）
人數： 360-85=275（人）
答：狗有 85 條，獵手有 275 人。
例 5、同學們舉行知識競賽，答對一題將得 10 分，答錯一題扣 6 分。1 號選
手共搶答 12 題，最後得分 72 分。他答錯了幾題？
【分析】假設該同學全答對，就能得 10×12=120（分），與實際得分 72 分
相比較，相差 120-72=48（分），一道對題和一道錯題相差 10+6=16（分），然後
在 48 分裡算一算有多少道錯題。
【解答】錯題數：（10×12-72）÷（10+6）=3（題）
答：他答錯了 3 題。
例 6、有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共 18 只，有同腿 118 條，翅膀 20 對（蜘
蛛 8 條腿；蜻蜓 6 條腿，2 翅膀；蟬 6 條腿，1 對翅膀），問蜻蜓有多少隻？
【分析】這道題可用雙假設法來解，先把 6 條腿的蜻蜓和蟬看成是一種動物，
假設會是 6 條腿的昆蟲，然後假設全是蟬。
【解答】蜘蛛：（118-18×6）÷（8-6）=5（只）
蟬和蜻蜓：18-5=13（只）
蜻蜓：（20-13×1）÷（2-1）=7（只）
答：蜻蜒有 7 只。
例 7、雞與兔共有 100 只，雞的腳比兔的腳多 80 只，雞與兔各有多少隻？
【分析】這道題沒有給出雞兔腳數的總和，而是給出了它們腳數的差，屬於
第二雞兔同籠問題。假設 100 只全是雞，那麼腳的總數是 2×100=200 只，這時
兔的腳數為 0，雞腳比免腳多 200 只，而實際上雞腳比兔腳多 80 只。因此，雞
腳與兔腳的差數比已知多了 200-80=120 只，這是因為把其中的兔換成了雞。每
把一隻兔換成雞，雞的腳數將增加 2 只，兔的腳數將減少 2 只。那麼雞腳與兔腳
的差數增加 2+4=6（只），所以換成的兔子有 120÷6=20 只，有雞 100-20=80 只。
【解答】兔子的只數：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）
雞的只數： 100-20=80（只）
答：雞有 80 只，兔有 20 只。
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