從大的時事新聞，近期美股熔斷，油價暴跌，給我們帶來什麼影響？可以說牽一髮動全局，業內人士測算，油價每下行10美元，中國企業和居民將節省開支1070億元。以疫情下最為緊缺的醫用口罩為例，其核心上游原材料聚丙烯將直接受益於油價下降，帶動口罩原材料生產成本的降低。中國正面臨一定的通脹壓力，以及海外疫情局勢的不確定性的影響，國際原油價格下跌有利於中國釋放內部壓力，為恢復經濟發展贏得時機。
從小的方面，我們數學學習，更過地方也涉及到牽一髮動全局的狀況。如近幾年各地中考試題中，雙曲線與幾何圖形的綜合問題，已然成為中考的熱點題型之一，解決這類問題的關鍵是抓住問題中的關鍵"點"（雙曲線與圖形的交點），利用這個"點"在幾何圖形中的位置，牽一髮動全局的觀點，並結合幾何圖形的性質即可順利解題。下面舉例說明此類問題的解法.
經典考題
1．（2019•蚌埠二模）如圖，直線y＝﹣2x+2與x軸y軸分別相交於點A、B，四邊形ABCD是正方形，曲線y＝k/x在第一象限經過點D．則k＝_____．
【分析】作DE⊥x軸，垂足為E，連OD．證出△BOA≌△AED，得到AE＝BO，AO＝DE，從而求出S△DOE，根據反比例函數k的幾何意義，求出k的值．
【解答】：作DE⊥x軸，垂足為E，連OD．
∵∠DAE+∠BAO＝90°，∠OBA+∠BAO＝90°，∴∠DAE＝∠OBA，
又∵∠BOA＝∠AED，AB＝DA，∴△BOA≌△AED（HL），∴OA＝DE．
∵y＝﹣2x+2，可知B（0，2），A（1，0），∴OA＝DE＝1，
∴OE＝OA+AE＝1+2＝3，
∴S△DOE＝1/2•OE•DE＝1/2×3×1＝3/2，
∴k＝3/2×2＝3．故答案為：3．
3．（2018•鄂州一模）如圖，一次函數y＝ax+b的圖象與x軸，y軸交於A，B兩點，與反比例函數y＝k/x的圖象相交於C，D兩點，分別過C，D兩點作y軸，x軸的垂線，垂足為E，F，連接CF，DE．有下列五個結論：
①△CEF與△DEF的面積相等； ②△AOB∽△FOE；
③△DCE≌△CDF；④AC＝BD； ⑤tan∠BAO＝a
其中正確的結論是_______．（把你認為正確結論的序號都填上）
∴△CEF的面積＝△DEF的面積，故①正確；
②△CEF和△DEF以EF為底，則兩三角形EF邊上的高相等，
∴EF∥CD，∴FE∥AB，∴△AOB∽△FOE，故②正確；
③BD∥EF，DF∥BE，∴四邊形BDFE是平行四邊形，
∴BE＝DF，而只有當a＝1時，才有CE＝BE，
即CE不一定等於DF，故△DCE≌△CDF不一定成立；故③錯誤；
④∵BD∥EF，DF∥BE，
∴四邊形BDFE是平行四邊形，∴BD＝EF，
同理EF＝AC，∴AC＝BD，故④正確；
⑤由一次函數y＝ax+b的圖象與x軸，y軸交於A，B兩點，
易得A（﹣b/a，0），B（0，b），則OA＝b/a，OB＝b，∴tan∠BAO＝OB/OA＝a，故⑤正確．
正確的有4個：①②④⑤．故答案為：①②④⑤．
4．（2020•龍泉驛區模擬）如圖，一次函數y＝kx+b（k≠0）與反比例函數y＝a/x（a≠0）的圖象在第一象限交於A，B兩點，A點的座標為（m，6），B點的座標為（2，3），連接OA，過B作BC⊥y軸，垂足為C．
（1）求一次函數和反比例函數的表達式；
（2）在射線CB上是否存在一點D，使得△AOD是直角三角形，求出所有可能的D點座標．
【分析】（1）先利用待定係數法求出反比例函數解析式，進而確定出點A的座標，再用待定係數法求出一次函數解析式；
（2）分兩種情形分別討論求解即可解決問題．
【解答】：（1）∵點B（2，3）在反比例函數y＝a/x的圖象上，
∴a＝3×2＝6，∴反比例函數的表達式為y＝6/x，
∵點A的縱座標為6，
∵點A在反比例函數y＝6/x圖象上，∴A（1，6），
∴2k+b=3, k+b=6，∴k=-3,b=9，
∴一次函數的表達式為y＝﹣3x+9；
（2）如圖，①當∠OD₁A＝90°時，設BC與AO交於E，則E（1/2，3），
∴AE＝OE＝D1E＝√37/2，
∵E（1/2，3），∴D₁的座標為（1/2+√37/2，3）；
②當∠OAD₂＝90°時，可得直線AD₂的解析式為：y＝﹣1/6x+27/6，
當y＝3時，x＝19，∴D₂的座標為（19，3），
綜上所述，當△AOD是直角三角形，D點座標為（1/2+√37/2，3）或（19，3）
5．（2019秋•順德區期末）已知一次函數y＝kx﹣（2k+1）的圖象與x軸和y軸分別交於A、B兩點，與反比例函數y＝﹣(1+k)/x的圖象分別交於C、D兩點．
（1）如圖1，當k＝1，點P在線段AB上（不與點A、B重合）時，過點P作x軸和y軸的垂線，垂足為M、N．當矩形OMPN的面積為2時，求出點P的位置；
（2）如圖2，當k＝1時，在x軸上是否存在點E，使得以A、B、E為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點E的座標；若不存在，說明理由；
（3）若某個等腰三角形的一條邊長為5，另兩條邊長恰好是兩個函數圖象的交點橫座標，求k的值．
【分析】本題是反比例函數綜合題題，考查了反比例函數的性質，一次函數的性質，矩形的性質，相似三角形的性質，等腰三角形的性質，利用分類討論思想解決問題是本題的關鍵．
【解答】：（1）當k＝1，則一次函數解析式為：y＝x﹣3，反比例函數解析式為：y＝﹣2/x，
∵點P在線段AB上∴設點P（a，a﹣3），a＞0，a﹣3＜0，
∴PN＝a，PM＝3﹣a，
∵矩形OMPN的面積為2，∴a×（3﹣a）＝2，∴a＝1或2，
∴點P（1，﹣2）或（2，﹣1）
（2）∵一次函數y＝x﹣3與x軸和y軸分別交於A、B兩點，
∴點A（3，0），點B（0，﹣3）
∴OA＝3＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，AB＝3√2，
∵x﹣3＝﹣2/x,∴x＝1或2，
∴點C（1，﹣2），點D（2，﹣1）
6．（2019秋•臨海市期末）如圖1，直線y＝x與雙曲線y＝3/x交於A，B兩點，根據中心對稱性可以得知OA＝OB．
（1）如圖2，直線y＝2x+1與雙曲線y＝3/x交於A，B兩點，與座標軸交點C，D兩點，試證明：AC＝BD；
（2）如圖3，直線y＝ax+b與雙曲線y＝k/x交於A，B兩點，與座標軸交點C，D兩點，試問：AC＝BD還成立嗎？
（3）如果直線y＝x+3與雙曲線y＝k/x交於A，B兩點，與座標軸交點C，D兩點，若DB+DC≤5√2，求出k的取值範圍．
【分析】本題考查反比例函數綜合題，考查了反比例函數的性質，一次函數的性質，平行四邊形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造特殊四邊形解決問題，屬於中考壓軸題．
【解答】：（1）如圖1中，作AE⊥x軸於E，BF⊥y軸於F，連接EF，AF，BE．
∵AE∥y軸，∴S△AOE＝S△AEF＝3/2，
∵BF∥x軸，∴S△BEF＝S△OBF＝3/2，∴S△AEF＝S△BEF，∴AB∥EF，
∴四邊形ACFE，四邊形BDEF都是平行四邊形，
∴AC＝EF，BD＝EF，∴AC＝BD．
（2）如圖1中，如圖1中，作AE⊥x軸於E，BF⊥y軸於F，連接EF，AF，BE．
∵AE∥y軸，∴S△AOE＝S△AEF＝k/2，
∵BF∥x軸，∴S△BEF＝S△OBF＝k/2，
∴S△AEF＝S△BEF，∴AB∥EF，
∴四邊形ACFE，四邊形BDEF都是平行四邊形，
∴AC＝EF，BD＝EF，∴AC＝BD．
（3）如圖2中，
∵直線y＝x+3與座標軸交於C，D，∴C（0，3），D（3，0），
∴OC＝OD＝3，CD＝3√2，
∵CD+BD≤5√2，∴BD≤2√2，
當BD＝2√2時，∵∠CDO＝45°，∴B（1，2），此時k＝2，
觀察圖象可知，當k≤2時，CD+BD≤5√2.
總結反思
以座標系為橋樑，運用數形結合思想。縱觀最近幾年的壓軸題，絕大部分都是與座標系有關的，其特點是通過建立點與數即座標之間的對應關係，一方面可用代數方法研究幾何圖形的性質，另一方面又可藉助幾何直觀，得到某些代數問題的解答。
圖形與雙曲線的綜合題的重要組成部分是交點，這是惟一能溝通它們的要素，應用交點時應注意，交點既在圖形上也在雙曲線上，交點座標既滿足圖形特徵也滿足雙曲線的解析式．
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