从2019年北京中考数学新定义“中内弧”看数学概念理解题
新定义，就是将某个特征的图形或运算方式、代数式等数学元素赋予一个新的名字，形成新的概念。我们可以对比人教版初中数学教材里的概念，每个字都要经过推敲，方可成为概念，数学语言表达要简洁明了。多数教材上的概念，都会单独成为一个小节，再围绕这个概念进行知识体系的铺陈。北京市中考数学的新定义，由来已久，属于地方中考特色，北京考生大多习以为常，然而，新定义题背后呈现出来的对数学阅读的理解深度，却着实让人对北京学生的数学核心素养感到佩服。
题目
在△ABC中，D、E分别是△ABC两边的中点，如果弧DE上所有点都在△ABC内部或边上，则称弧DE为△ABC的中内弧，例如下图1中弧DE是△ABC的一条中内弧。
(1)如图2，在Rt△ABC中，AB=AC=2√2，D、E分别是AB、AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧DE，并直接写出此时弧DE的长；
(2)在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)，B(0,0)，C(4t,0)(t>0)，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点.
①若t=1/2，求△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；
②若在△ABC中存在一条中内弧DE，使得弧DE所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围.
解析：
(1)首先对新定义中内弧进行解读，抓住两个字要领，中是指中点，即弧的两个端点分别是三角形两边中点，内是指弧所在位置，位于三角形内部或边上。其次是联想与弧有关的概念，以备思考使用，弧有优弧劣弧之分，界于二者之间的是半圆，圆内最长的弦是直径等，然后以这些为功底，来拿第1小题练手。
条件中已经给出了这是一个等腰直角三角形，弧DE所在圆的圆心一定在这条弧的垂直平分线上，剩下的问题就是，什么时候这条弧最长？
从图中看，这是一条定弦所对的弧，当圆心在DE垂直平分线不同位置时，弦心距在不断变化，连带着半径和圆心角也在不断变化，如果对照弧长公式，有两个变量n和R，对于初中学生来讲，无法判断，那是否就毫无办法呢？这个时候几何直观就管用了，题目要求是直接写结论对吧？估计也是考虑到用初中阶段知识不好写过程的原因，比较厚道。
不妨将弧DE以及弦DE都看作是两点D、E之间的连线，我们都知道两点之间线段最短，这次我们反着来理解，圆心离DE越近，弧DE看上去就离DE越“远”，自然也就越长了，极端情况，圆心恰好就是DE中点，此时弧DE是半圆最长；或者换个理解角度，抓住DE是圆内的一条弦，而直径是圆内最长的弦，无论哪种理解方式，只要确定了圆心在DE中点，剩下的事就好办，求出弧长为π；
(2)建立平面直角坐标系，标注出各点坐标，如下图1：
同样我们可以得到，在①条件下，△ABC为等腰直角三角形，则圆心在直线x=1/2上，由于弧的位置不同，要保证它在三角形内部，必须考虑它与三角形边相切的情况，弧DE可能在弦DE上方，也可能在下方。
当弧DE在弦DE上方时，上图1红色弧DFE与AC相切时，圆心P与点E的连线垂直于直线AC，且可求得∠PEG=45°，弦心距PG=GE=1/2DE=1/2，点G坐标为(1/2,1)，所以P(1/2,1/2)，若点P向上平移，则弧将与线段AC相交，不符合中内弧的定义，故在这种情况下，点P纵坐标小于等于1/2；
当弧DE在弦DE下方时，如下图2：
当弧DFE与AB相切时，圆心P'与点D的连线垂直于直线AB，即点P'在线段DE的中点，P'F=P'D=1/2，此时P'(1/2,1)，若点P'向下平移，则弧将与线段AB相交，不符合中内弧的定义，故在这种情况下，点P纵坐标大于等于1；
综上所述，点P纵坐标≤1/2或≥1；
而在②条件中，对于“存在性”的理解，即在所有中内弧中，有至少一个弧DE所在圆的圆心P在△ABC内部即可，同样也分两种情况：
当弧DE在弦DE上方，如图3：
在此种情况下，由①可知，所有中内弧所在圆的圆心P中，当弧DE与AC相切时，此圆心的纵坐标最大，相应的弦心距PG最短，若要使该圆心在△ABC边上或内部，由PG≤点G到BC的距离，即PG≤1；
∵弧DE与AC相切
∴PE⊥AC，可证△PGE∽△CBA
∴PG:CB=GE:AB，得到PG=2t²
∴2t²≤1，0 当弧DE在弦DE下方，如图4： 在此种情况下，由①可知，若圆心从DE上方向DE靠近过程中，弧DE先与AB相切，则线段DE中点以上的点都满足条件，此时三角形内部一定存在符合条件的圆心，此时，t<1； 当t=1时，圆心向DE靠近过程中，弧DE与AB、BC同时相切，此时三角形内部也一定存在符合条件的圆心； 当t>1时，圆心向DE靠近过程中，弧DE先与BC相切，相切时弧DE所在圆的圆心为最低点，若要使三角形边上或内部存在满足条件的圆心，则相切时的弧所在圆的圆心P'到切点F的距离应≤FH，不难证明△CFH∽△CBA，得到CF:FH=CB:BA，即FH=3/2； 设半径为r，则P'G=r-1，由勾股定理得 P'G²+DG²=P'D²，即(r-1)²+t²=r²，从而r=(t²+1)/2，所以(t²+1)/2≤3/2，得到0 综上所述，由存在性可知，以上两种情况可不必同时满足，所以0 解题反思 这道题主要考查了几何直观以及圆的相关知识，在解题期间，还用到了相似、勾股定理作为辅助工具帮助建立线段之间的等量关系，而本题的难点有以下几点：1.充分理解“中内弧”的定义，找到影响其变化的因子；2.通过作图、几何直观，弄清楚这条弧的变化趋势；3.找到临界情况，并理清结果最终的范围与临界值的关系。 在第2小题②中，对t进行了分类，是因为当C点不确定后，中内弧对圆心的约束也就不同，先与谁相切，影响了圆心最低点的位置，因此，要想深入理解这道题，还需要花功夫，不是简单看看解析就完事，这个功夫是指平时学习圆的相关概念时，不要轻浮，要沉下心，所谓冰冻三尺，非一日之寒。
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