大海145394350

大家知道，無理數也稱為無限不循環小數，如圓周率π、√2（根號2）等，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會循環。常見的無理數包括大部分數的平方根、π等。這個在公元前就被放出來的魔鬼，雖然在兩千多年來一直被全世界的人們使用，卻又讓人們一直在邏輯上無法接受它的存在。甚至有很多人人為，是我們基於整數的整個數學體系出了問題。

史上第一個闖入人類數學世界中的無理數：根號2

傳說，無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯發現。他發現了一個事實：若正方形的邊長為1，則正方形對角線的長不是一個有理數。這與畢達哥拉斯學派的“萬物皆數”（指有理數）的哲理大相徑庭。而畢達哥拉斯深信任意數均可用整數及分數表示，不相信無理數的存在。後來希伯索斯將無理數透露給外人，觸犯學派章程，將動搖他們在學術界的地位，因而希伯索斯被處死。

畢氏弟子的發現，第一次向人們揭示了有理數系的缺陷，證明它不能同連續的無限直線同等看待，有理數並沒有佈滿數軸上的點。在數軸上存在著不能用有理數表示的區域。無理數的發現對以後2000多年數學的發展產生了深遠的影響，促使人們從依靠直覺、經驗轉向依靠證明，推動了公理幾何學與邏輯學的發展。

無理數的本質是什麼？長期以來眾說紛壇，得不到正確的解釋。15世紀意大利著名畫家達.芬奇稱之為“無理的數”，17世紀德國天文學家開普勒稱之為“不可名狀”的數。由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀下半葉。1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機。

如何證明根號2是無限不循環小數

最早的計算方法是這樣的，我們一個數位一個數位地來不斷接近它。首先，我們知道1<2<4，所以12，我們又得到√2是介於1.4和1.5之間的數，這第二位4也就確定了。用這種笨辦法，我們可以一位接一位永遠算下去。經計算這個數為1.4142135623731……然而,這個數,它卻具有“無限且不循環”的性質!

隨著數學的不斷髮展，人們發明了各種方法來計算√2的數值，其中最簡潔的表達是這個無窮無盡的

我們來從求知的角度來證明下根號2（√2）為什麼是無理數？

方法1：尾數證明法：

假設根號2是一個有理數，那麼根號2就可以使用a/b的形式來標識，其中(a,b)=1,(表示a 與 b 最大的公因數是1）,a和b都是正整數，明確了這些條件，我們就開始證明了。

第1步：√2=a/b 那麼可以得到a*a=2*b*b

第2步：從數的平方我們可以很快得到，b*b的尾數範圍是 (0,1,4,5,6,9)中的一個數，不可能是2,3,7,8，這個道理不難理解；

第3步：2*b*b的尾數範圍是（0,2,8）中的一個數，

第4步：因為a*a=2*b*b,那麼a*a的尾數範圍可以排除2和8，只有0

第5步：因為2*b*b得到的值肯定是一個偶數，那麼b*b的尾數範圍是(0,5)

第6步：按照目前的尾數可選項，a和b存在公因數5，和(a,b)=1是相矛盾的。

所以根號2是一個無理數。

方法2：奇偶分析法

所以根號2是一個無理數，可以說明的是希帕索斯就是用這種方法證明的。

還有很多種方法補充，差不多有8種左右，我就不一一羅列了。

如何計算根號2的值呢，查找了不少資料，我覺得這幾種方法還是能消化的。

方法1：

（√2+1）（√2-1）=1，這是我們參考的一個基準，可以按照這種方式不斷的展開。

√2-1=1/（√2+1）

√2 = 1+ 1/（√2+1）,繼續帶入根號2的對等公式

√2 = 1+ 1/（1+ 1/（√2+1）+1）=1+ 1/（2+ 1/（√2+1））

繼續推導：

√2=1+ 1/（2+ 1/（√2+1））=1+ 1/（2+ 1/（1+ 1/（√2+1）+1））=1+ 1/（2+ 1/（2+ 1/（√2+1）））

這種方式叫做連分數法，我們可以通過這種不斷的迭代可以得到更加精確的值。

方法2：

我們可以很容易得到根號2的範圍，明顯是大於1的，所以我們可以按照y=x+1的函數來表示，即

√2 = y=1+x

對上式做平方，得到

2=（1+x）(1+x),得到

2=1+x*x+2*x+1,進一步得到，

x*x+2*x=1,推得，x*(x+2)=1,得到

x=1/（x+2）,所以

1/x=2+x=2+1/(2*x)=2+1/(2*1/（x+2）)

=2+1/(2*1/（1/（x+2）+2）)

按照這種方式可以不斷的推導，得到更加精確的值。

計算機如何計算根號2

當然還有很多高大上的方法來進一步輔助，比如牛頓迭代法，二分法等

那麼如何在計算機中來計算得到根號2呢， 這裡要介紹一個傳奇算法：算法名字就是：0x5f375a86，看起來像是一個內存地址一樣，該算法據說比牛頓迭代法快4倍，核心的代碼類似下面這樣：

i = 0x5f375a86 - (i>>1);

至今為止仍未能確切知曉此常數的起源 ，值得一提的是這個值最初為0x5f3759df，後來由Lomont通過暴力窮舉找到這個更優值，即0x5f375a86.

Lomont採用暴力方法逐步嘗試，終於找到一個比之前的好那麼一丁點的數字，雖然實際上這兩個數字所產生的結果非常近似，這個暴力得出的數字是0x5f375a86，為此他寫了一篇論文《Fast Inverse Square Root》。

如果以皮亞諾公理作為基礎，應如何證明根號2不是有理數呢？皮亞諾公理到定義加法、乘法並證明其交換律、結合律、分配律和序的概念，定義整數、減法、負數、交換環、序，定義有理數、除法、域、序、自然數次冪的指數運算。基礎的定義已經做完了，但是沒有n次根，畢竟n次根是在實數中定義的。不過可以做個等價命題，即不存在有理數x使得x^2=2。為了方便證明，定義奇數偶數。先假設存在x使上式成立，則x=0，不妨設x為正，則存在正整數p、q使得x=p/q。由命題可知p^2=2q^2。由奇偶可知，p為偶數，設p=2k，也q^2=2k^2，且q＜p。p':=q和q':=k，則由方程p^2=2q^2的解（p，q）過渡到新解（p'，q'）且新解的值更小，重複上述可得一組無窮遞減的自然數解，這與無限減小原理矛盾，因此不存在。無限減小原理:不可能有無限減小的自然序列。當然這個也得證明，可以利用數學歸納法。

以上證明出自《陶哲軒實分析》，思路清晰，證明嚴謹，沒有用到素數相關的知識，很多初等證明直接假設p、q互素，但是互素也需要證明，而且那是數論的範疇。

一點感想

學習需要循序漸進和有所取捨，正如聞道有先後，術業有專攻，對於初等數學階段的證明我們就按照直觀感覺去思考，不必深究。否則最應該笑得是哲學家。

中學數學深度研究

根號2如果是有限的或者無限循環小數，也就是有理數的時候，它可以寫成兩個互質整數的商的形式，兩邊平方，就得到了一個式子，然後把分式化成整式，根據左右兩邊的奇偶性可以找到矛盾，所以假設不成立，也就得到了根號2是無限不循環的小數了，也就是無理數。這個是初二時我們數學老師教我們的，現在還記得一清二楚，當時感覺這個證明的方法很厲害。後來發現這個方法也不是萬能的，現在很懷念上學的日子啊。

數學老師MathHuang

無限不循環小數，統稱為無理數。√2的出現，誕生了人類進步史上的“第一次數學危機”。

首先，簡單回顧下“數”的分類

在數學上，任何一個數都可以表示為複數z=a+bi的形式。其中，a為實部，b為虛部(i為虛數單位)。

而實數，又分為有理數和無理數。有理數比較好理解，頭疼的是無理數。√2、圓周率π、自然常數e等都是常見的無理數。而正是因為無理數的發現，誕生了人類進步史上的“第一次數學危機”。

無理數讓人頭疼的地方，不單單是它的“無限”，更主要的是它的“不循環”。像圓周率π，藉助電腦已計算出小數點後10萬億位，也找不到其小數點後數字出現的任何規律。

無理數√2是由數學家畢達哥拉斯的徒弟希伯索斯，在研究邊長為1的等腰直角三角形斜邊長時發現的。

那麼，我們藉助等腰直角三角形，來談一談√2為什麼會出現無限不循環這一結論。

√2的無限不循環論證

我們從兩個方面來進行論證，第一步是先用逼近法得出√2的近似值，第二步是用反證法證明√2是無理數。由此得出，√2是無限不循環小數的結論。

(接下來可能比較枯燥，沒有太多的配圖，有勞耐心閱讀，用時約5分鐘)

第一步，逼近法，求得近似值

勾股定理 c² = a² + b²

設某直角三角形為等腰直角三角形，且直角邊長為1

則 a = b = 1，所以 c² = 1² + 1² = 2，得 c =√2

1² = 1 ，2² = 4 ，c² = 2

則 1 ＜ c ＜ 2 ，即 1 ＜√2 ＜ 2

再取1和2的中間數1.5，1.5² = 2.25 ＞ 2，得√2 ＜ 1.5

當取 1.4² = 1.96 ＜ 2，得1.4 ＜√2 ＜ 1.5

當取 1.414212² ＜√2 ＜ 1.414214²；

當取 1.414213561² ＜√2 ＜ 1.414213563²；

依此類推，可得到√2 ≈ 1.4142135623730950488...

那麼，√2 的小數點後位數會是有限的嗎？即使無限，會出現循環嗎？這將是我們下一步需要做的事情。

第二步，反證法，證明√2是無限不循環小數

首先，我們確定的是，√2為正數，更是一個實數。

另外，我們知道實數的一個特性：

奇數 x 奇數 = 奇數 ；

偶數 x 偶數 = 偶數 ；

奇數 x 偶數 = 偶數 。

雖然我們較難輕易直接證明√2無限不循環，但可以通過反證法，假設√2為有限小數，或無限循環小數，即√2為有理數。

任何一個有理數，都可以表示成分數形式，即a/b，其中a、b均為整數。

所以，設√2 = a/b ，且a、b已互質(沒有公約數)，

則 (√2)² = (a/b)²

⇒ 2 = a²/b² ⇒ 2b² = a²

2b²必為偶數 ⇒ a²為偶數

a x a = 偶數 ⇒ a為偶數

a為偶數 ⇒ a²必能被4整除

那麼，1/2a²仍為偶數

再由(√2)² = (a/b)² ⇒ b² = a²/2，則b²也是偶數

b x b = 偶數 ⇒ b為偶數

a為偶數，b為偶數，說明a、b還有公約數

這與“a、b已互質”的前提矛盾

若說a、b已互質的前提假設錯誤，那麼a、b可以化簡直至最終互質。顯然，這個假設前提不是矛盾的關鍵點所在。

那麼，這個矛盾的關鍵點，最終還只能是“設√2 = a/b”不成立。即√2不是有理數。

作為實數的√2不是有理數，那麼√2就只能是無理數，即無限不循環小數。

如上的反證法，是較常用的“奇偶分析法”。當然，證明√2是無理數(無限不循環小數)的方法不限於此，其他還有如“尾數證明法”，“連分數法”，“構圖法”等。如有其他更好證明方法的夥伴，歡迎下方評論區留言討論。

第一次數學危機(簡述)

約公元前５世紀，有著“數學教父”之稱的畢達哥拉斯，發現了“直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方”，西方稱之為“畢達哥拉斯定理”，在中國稱之為“勾股定理”(最早約公元前1100年，西周初年的商高提出了“勾三股四弦五”)。

畢達哥拉斯經長期研究，各地宣講、收徒，雖然過程不乏艱辛，但最終名聲顯赫，非常權威。畢達哥拉斯學派曾流傳一句名言，“萬物畢數”。他們所說的“數”，按現今分類只是“有理數”範疇。

他們認為，世上萬物都可以用數來表達，其中“整數”是上帝創造的，完美無缺。而分數是兩個整數的比。除了整數和分數外，世上不可能再有其他什麼數了。

然而，畢達哥拉斯的一個學生希伯索斯，在研究邊長為1的正方形時，發現其對角線長√2既不是整數，也不是分數，而是介於1和2之間的一個數。

1和2之間顯然不再有整數，那麼√2是不是介於1和2之間的某個分數呢？

即：3/2；4/3；5/3，5/4；6/4，6/5；7/4，7/5，7/6；8/5，8/6，8/7；9/5，......當中的一個？

然後，他分別求證這些數，看有沒有平方等於2的，結果可想而知。

......

希伯索斯的發現，第一次向人們揭示了有理數系的缺陷。證明了它不能同連續的無限直線等同看待，有理數並沒有佈滿數軸上的點，在數軸上存在著不能用有理數表示的“孔隙”。

誘發第一次數學危機的一個間接因素是之後“芝諾悖論”，它更增加了數學家們的擔憂：數學作為一門精確的科學是否還有可能？

直至約公元前370年，這個矛盾被畢氏學派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。也正是由於第一次數學危機的發生和解決，希臘數學走上完全不同的發展道路，為世界數學作出了另一種傑出的貢獻。

一週刊

來一個最簡單的解釋:首先根號2在整數1和2之間，所以它不是整數。那就假設它是分數吧，如果它是分數，那這個分數肯定能化成最簡分數的形式(即分孑分母不能再約分的那種)，再平方以後，還是分數，而不會得到2這個整數，與題設矛盾！所以它也不是分數！所以根號2既不是整數也不是分數！

我微博粉絲十億

我想從以下幾個角度為大家講解一下這個問題，供大家參考。

尺規作圖

這個圖就很有意思，說明了等腰直角三角形的斜邊與其直角邊是不存在最大公度線段的，也就是等腰直角三角形中三角斜邊與直角邊是不能用整數比表示的。

圖中，AD=AC,過點D做DE垂直於AB交CB於點E。角ECD=角EDC,三角形EDB也是等腰直角三角形，所以線段CE=ED=BD(也就是相當於用圓規進行了截取)，於是問題轉化成為求取線段EB與ED的最大公度線段問題。由於在直角三角形中斜邊總是大於直角邊的，所以這個過程可以無限進行下去。

連分數

之前在圓周率的約率和密率一篇問答中講到了連分數。這個圖也比較有意思，這裡邊的根號2是無論如何也消不去的，得到的是一個無限的連分數，而無限的連分數是不能化為通常意義下的分數的。

戴德金分割（切割）

兩個由有理數為元素構成的集合A和B，集合A中的每個元素都小於集合B中的每個元素，A∪B=Q。通過邏輯分析，有下面4種情況。

1、A中有最大元素，B中無最小元素。

2、A中無最大元素，B中有最小元素。

3、A中無最大元素，B中無最小元素。

4、A中有最大元素，B中有最小元素。

事實上第4種情況是不存在的。用反證法。假設A中有最大元素a，B中有最小元素b，那麼（a+b）÷2顯然是個有理數，既不在集合A中，也不在集合B中。這就A∪B=Q發生矛盾。

戴德金分割打個形象的比喻，就好比在數軸上切一刀。第1種情況確定了一個有理數a，第2種情況確定了一個有理數b，第3種情況就正好切到了有理數的空隙上，就有必要引進一個新的數（非比例數），第3種情況確定了一個無理數。

那我們現在熟知的根號2就是下面的分割所確定的。集合A由所有的負有理數，以及平方小於等於2的非負有理數構成。集合B為平方大於2的非負有理數構成。這個分割A/B確定的數即為根號2。

多元視角

用人類確定的有理數為標準值，去度量腰長為1的等腰直角三角形斜邊，不可公度，發現人因此丟了生命，故事大家都知道。人們對有理數和無理數的認識，有一個誤區，就是無理數和有理數表示線段長度的功能，應該完全是一樣的，誤會在於，有人認為無理數表示的線段有無限長。例如，當直徑為1時，舊的圓周率表示的圓周長即為3.14無限不循環，此時，精度似乎變成了圓周長有無限長，許多人都有這個疑問，而實際上，圓周長都是有限的長度，很明顯，無限精確導致了圓周長芝諾悖論式，使圓周長無限精確，跟芝諾悖論里人追不上龜一樣荒唐。假如圓周長可如上面說的等腰三角形斜邊，可用同一精度的尺子直接測量，所測出的數不管是幾點幾，其精度與這把尺子測出的直徑為1，完全是一樣的精確，無理數據跟有理數據，都同樣表示有限長度！因此，使圓周率無限精確，是沒有實際計算意義的，在同一度量衡度量下，1.414跟1同樣精確。無理數沒有比有理數不精確，精確度都是相對的，即使你無限精確，還是做不到絕對精確，因為在這個宇宙，無限是客觀存在的，誰都做不到絕對精確。

長眉1958

這個問題我來回答一下。

首先這問題涉及數的表示（representation），十進制是人類較習慣了的表示形式了（雖說也有不少如二、十二、二十、六十等進制之類的，分數和無理數進制暫時僅對數學工作者或數學家開放😂。注意：無理數不像素數，應該是與進制有關的，不屬於數的本質屬性）。

√2是無理數，這是相對整數如十進制，如果是√2進制的話，那√2就是“10”，這顯然不是無理數。（注：無理數甚至分數是否可以或適宜於作為表示數的“位進制”的“基”即base值得商榷）

好了，說十進制的√2吧。其實開平方是有試算程序算法的，但是√2的這個算法是否有“終點”不得而知，因此，數學家們便默認了它是無理數（即無限不循環小數）。除了平方數自然數之外的所有其他自然數都是這種情況，其開平方都被認為是無理數的。當然，這樣提出無理數是很滑稽的。😂

√2是無理數，是因為數間的整除性方面出現了問題。不知道現代計算機已經計算出√2的多少位了，據說π已經計算到了天文數字位了。

開立方、開n次方也是如此。。。

。。。。。。

😂☕️

Nick8354

由自然數擴充到實數，數的擴充，面臨的最大困難就是用有限數字表示無窮的數。數如果對應一條數軸，數軸上的點沒有空間延伸，線有長無寬。隨機截取一個區間1和2，這中間有無窮個點。顯然有限位數表示無窮個點是不可能，在無窮位數數列中，有些點可以通過一定規則找到的，如0.3循環，第一次十等分，在第四個位置能找到，再次十等分，在第四個位置能找到，這種有規則的無窮位數點歸於有理數。另一些點細分下去位置不固定，這類數歸於無理數。

有理數也可以表示某一位加零的循環數或者末位減1再加一串9的循環數。循環小數為有理數，非循環小數是無理數。

所以無理數與進制無關，任何進制，在任意基元中，都有無窮個點存在，其中能按規則找到的點都是有理數，不能按規則，只能通過計算確定位置的點都是無理數，如搞個九進制，一個點在0和1區間，第一次九等分，在第一個位置，再細分跑另一個位置，無窮細分下去，這個點在不同位置，沒有規律，無法按規則確定位置，這個點代表的數就是無理數。

無理數只存在於數學中，自然界不是連續的。√2不可能畫出來，只能表示你畫的是√2。

鄧偉定

證明下集合的第三次數學危機吧

越過山丘53

請看根號2的證明

關鍵字: 無限 根號 循環小數