大海145394350

大家知道，无理数也称为无限不循环小数，如圆周率π、√2（根号2）等，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数包括大部分数的平方根、π等。这个在公元前就被放出来的魔鬼，虽然在两千多年来一直被全世界的人们使用，却又让人们一直在逻辑上无法接受它的存在。甚至有很多人人为，是我们基于整数的整个数学体系出了问题。

史上第一个闯入人类数学世界中的无理数：根号2

传说，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现。他发现了一个事实：若正方形的边长为1，则正方形对角线的长不是一个有理数。这与毕达哥拉斯学派的“万物皆数”（指有理数）的哲理大相径庭。而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。后来希伯索斯将无理数透露给外人，触犯学派章程，将动摇他们在学术界的地位，因而希伯索斯被处死。

毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点。在数轴上存在着不能用有理数表示的区域。无理数的发现对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的发展。

无理数的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪下半叶。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。

如何证明根号2是无限不循环小数

最早的计算方法是这样的，我们一个数位一个数位地来不断接近它。首先，我们知道1<2<4，所以12，我们又得到√2是介于1.4和1.5之间的数，这第二位4也就确定了。用这种笨办法，我们可以一位接一位永远算下去。经计算这个数为1.4142135623731……然而,这个数,它却具有“无限且不循环”的性质!

随着数学的不断发展，人们发明了各种方法来计算√2的数值，其中最简洁的表达是这个无穷无尽的

我们来从求知的角度来证明下根号2（√2）为什么是无理数？

方法1：尾数证明法：

假设根号2是一个有理数，那么根号2就可以使用a/b的形式来标识，其中(a,b)=1,(表示a 与 b 最大的公因数是1）,a和b都是正整数，明确了这些条件，我们就开始证明了。

第1步：√2=a/b 那么可以得到a*a=2*b*b

第2步：从数的平方我们可以很快得到，b*b的尾数范围是 (0,1,4,5,6,9)中的一个数，不可能是2,3,7,8，这个道理不难理解；

第3步：2*b*b的尾数范围是（0,2,8）中的一个数，

第4步：因为a*a=2*b*b,那么a*a的尾数范围可以排除2和8，只有0

第5步：因为2*b*b得到的值肯定是一个偶数，那么b*b的尾数范围是(0,5)

第6步：按照目前的尾数可选项，a和b存在公因数5，和(a,b)=1是相矛盾的。

所以根号2是一个无理数。

方法2：奇偶分析法

所以根号2是一个无理数，可以说明的是希帕索斯就是用这种方法证明的。

还有很多种方法补充，差不多有8种左右，我就不一一罗列了。

如何计算根号2的值呢，查找了不少资料，我觉得这几种方法还是能消化的。

方法1：

（√2+1）（√2-1）=1，这是我们参考的一个基准，可以按照这种方式不断的展开。

√2-1=1/（√2+1）

√2 = 1+ 1/（√2+1）,继续带入根号2的对等公式

√2 = 1+ 1/（1+ 1/（√2+1）+1）=1+ 1/（2+ 1/（√2+1））

继续推导：

√2=1+ 1/（2+ 1/（√2+1））=1+ 1/（2+ 1/（1+ 1/（√2+1）+1））=1+ 1/（2+ 1/（2+ 1/（√2+1）））

这种方式叫做连分数法，我们可以通过这种不断的迭代可以得到更加精确的值。

方法2：

我们可以很容易得到根号2的范围，明显是大于1的，所以我们可以按照y=x+1的函数来表示，即

√2 = y=1+x

对上式做平方，得到

2=（1+x）(1+x),得到

2=1+x*x+2*x+1,进一步得到，

x*x+2*x=1,推得，x*(x+2)=1,得到

x=1/（x+2）,所以

1/x=2+x=2+1/(2*x)=2+1/(2*1/（x+2）)

=2+1/(2*1/（1/（x+2）+2）)

按照这种方式可以不断的推导，得到更加精确的值。

计算机如何计算根号2

当然还有很多高大上的方法来进一步辅助，比如牛顿迭代法，二分法等

那么如何在计算机中来计算得到根号2呢， 这里要介绍一个传奇算法：算法名字就是：0x5f375a86，看起来像是一个内存地址一样，该算法据说比牛顿迭代法快4倍，核心的代码类似下面这样：

i = 0x5f375a86 - (i>>1);

至今为止仍未能确切知晓此常数的起源 ，值得一提的是这个值最初为0x5f3759df，后来由Lomont通过暴力穷举找到这个更优值，即0x5f375a86.

Lomont采用暴力方法逐步尝试，终于找到一个比之前的好那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴力得出的数字是0x5f375a86，为此他写了一篇论文《Fast Inverse Square Root》。

如果以皮亚诺公理作为基础，应如何证明根号2不是有理数呢？皮亚诺公理到定义加法、乘法并证明其交换律、结合律、分配律和序的概念，定义整数、减法、负数、交换环、序，定义有理数、除法、域、序、自然数次幂的指数运算。基础的定义已经做完了，但是没有n次根，毕竟n次根是在实数中定义的。不过可以做个等价命题，即不存在有理数x使得x^2=2。为了方便证明，定义奇数偶数。先假设存在x使上式成立，则x=0，不妨设x为正，则存在正整数p、q使得x=p/q。由命题可知p^2=2q^2。由奇偶可知，p为偶数，设p=2k，也q^2=2k^2，且q＜p。p':=q和q':=k，则由方程p^2=2q^2的解（p，q）过渡到新解（p'，q'）且新解的值更小，重复上述可得一组无穷递减的自然数解，这与无限减小原理矛盾，因此不存在。无限减小原理:不可能有无限减小的自然序列。当然这个也得证明，可以利用数学归纳法。

以上证明出自《陶哲轩实分析》，思路清晰，证明严谨，没有用到素数相关的知识，很多初等证明直接假设p、q互素，但是互素也需要证明，而且那是数论的范畴。

一点感想

学习需要循序渐进和有所取舍，正如闻道有先后，术业有专攻，对于初等数学阶段的证明我们就按照直观感觉去思考，不必深究。否则最应该笑得是哲学家。

中学数学深度研究

根号2如果是有限的或者无限循环小数，也就是有理数的时候，它可以写成两个互质整数的商的形式，两边平方，就得到了一个式子，然后把分式化成整式，根据左右两边的奇偶性可以找到矛盾，所以假设不成立，也就得到了根号2是无限不循环的小数了，也就是无理数。这个是初二时我们数学老师教我们的，现在还记得一清二楚，当时感觉这个证明的方法很厉害。后来发现这个方法也不是万能的，现在很怀念上学的日子啊。

数学老师MathHuang

无限不循环小数，统称为无理数。√2的出现，诞生了人类进步史上的“第一次数学危机”。

首先，简单回顾下“数”的分类

在数学上，任何一个数都可以表示为复数z=a+bi的形式。其中，a为实部，b为虚部(i为虚数单位)。

而实数，又分为有理数和无理数。有理数比较好理解，头疼的是无理数。√2、圆周率π、自然常数e等都是常见的无理数。而正是因为无理数的发现，诞生了人类进步史上的“第一次数学危机”。

无理数让人头疼的地方，不单单是它的“无限”，更主要的是它的“不循环”。像圆周率π，借助电脑已计算出小数点后10万亿位，也找不到其小数点后数字出现的任何规律。

无理数√2是由数学家毕达哥拉斯的徒弟希伯索斯，在研究边长为1的等腰直角三角形斜边长时发现的。

那么，我们借助等腰直角三角形，来谈一谈√2为什么会出现无限不循环这一结论。

√2的无限不循环论证

我们从两个方面来进行论证，第一步是先用逼近法得出√2的近似值，第二步是用反证法证明√2是无理数。由此得出，√2是无限不循环小数的结论。

(接下来可能比较枯燥，没有太多的配图，有劳耐心阅读，用时约5分钟)

第一步，逼近法，求得近似值

勾股定理 c² = a² + b²

设某直角三角形为等腰直角三角形，且直角边长为1

则 a = b = 1，所以 c² = 1² + 1² = 2，得 c =√2

1² = 1 ，2² = 4 ，c² = 2

则 1 ＜ c ＜ 2 ，即 1 ＜√2 ＜ 2

再取1和2的中间数1.5，1.5² = 2.25 ＞ 2，得√2 ＜ 1.5

当取 1.4² = 1.96 ＜ 2，得1.4 ＜√2 ＜ 1.5

当取 1.414212² ＜√2 ＜ 1.414214²；

当取 1.414213561² ＜√2 ＜ 1.414213563²；

依此类推，可得到√2 ≈ 1.4142135623730950488...

那么，√2 的小数点后位数会是有限的吗？即使无限，会出现循环吗？这将是我们下一步需要做的事情。

第二步，反证法，证明√2是无限不循环小数

首先，我们确定的是，√2为正数，更是一个实数。

另外，我们知道实数的一个特性：

奇数 x 奇数 = 奇数 ；

偶数 x 偶数 = 偶数 ；

奇数 x 偶数 = 偶数 。

虽然我们较难轻易直接证明√2无限不循环，但可以通过反证法，假设√2为有限小数，或无限循环小数，即√2为有理数。

任何一个有理数，都可以表示成分数形式，即a/b，其中a、b均为整数。

所以，设√2 = a/b ，且a、b已互质(没有公约数)，

则 (√2)² = (a/b)²

⇒ 2 = a²/b² ⇒ 2b² = a²

2b²必为偶数 ⇒ a²为偶数

a x a = 偶数 ⇒ a为偶数

a为偶数 ⇒ a²必能被4整除

那么，1/2a²仍为偶数

再由(√2)² = (a/b)² ⇒ b² = a²/2，则b²也是偶数

b x b = 偶数 ⇒ b为偶数

a为偶数，b为偶数，说明a、b还有公约数

这与“a、b已互质”的前提矛盾

若说a、b已互质的前提假设错误，那么a、b可以化简直至最终互质。显然，这个假设前提不是矛盾的关键点所在。

那么，这个矛盾的关键点，最终还只能是“设√2 = a/b”不成立。即√2不是有理数。

作为实数的√2不是有理数，那么√2就只能是无理数，即无限不循环小数。

如上的反证法，是较常用的“奇偶分析法”。当然，证明√2是无理数(无限不循环小数)的方法不限于此，其他还有如“尾数证明法”，“连分数法”，“构图法”等。如有其他更好证明方法的伙伴，欢迎下方评论区留言讨论。

第一次数学危机(简述)

约公元前５世纪，有着“数学教父”之称的毕达哥拉斯，发现了“直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方”，西方称之为“毕达哥拉斯定理”，在中国称之为“勾股定理”(最早约公元前1100年，西周初年的商高提出了“勾三股四弦五”)。

毕达哥拉斯经长期研究，各地宣讲、收徒，虽然过程不乏艰辛，但最终名声显赫，非常权威。毕达哥拉斯学派曾流传一句名言，“万物毕数”。他们所说的“数”，按现今分类只是“有理数”范畴。

他们认为，世上万物都可以用数来表达，其中“整数”是上帝创造的，完美无缺。而分数是两个整数的比。除了整数和分数外，世上不可能再有其他什么数了。

然而，毕达哥拉斯的一个学生希伯索斯，在研究边长为1的正方形时，发现其对角线长√2既不是整数，也不是分数，而是介于1和2之间的一个数。

1和2之间显然不再有整数，那么√2是不是介于1和2之间的某个分数呢？

即：3/2；4/3；5/3，5/4；6/4，6/5；7/4，7/5，7/6；8/5，8/6，8/7；9/5，......当中的一个？

然后，他分别求证这些数，看有没有平方等于2的，结果可想而知。

......

希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷。证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。

诱发第一次数学危机的一个间接因素是之后“芝诺悖论”，它更增加了数学家们的担忧：数学作为一门精确的科学是否还有可能？

直至约公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。也正是由于第一次数学危机的发生和解决，希腊数学走上完全不同的发展道路，为世界数学作出了另一种杰出的贡献。

一周刊

来一个最简单的解释:首先根号2在整数1和2之间，所以它不是整数。那就假设它是分数吧，如果它是分数，那这个分数肯定能化成最简分数的形式(即分孑分母不能再约分的那种)，再平方以后，还是分数，而不会得到2这个整数，与题设矛盾！所以它也不是分数！所以根号2既不是整数也不是分数！

我微博粉丝十亿

我想从以下几个角度为大家讲解一下这个问题，供大家参考。

尺规作图

这个图就很有意思，说明了等腰直角三角形的斜边与其直角边是不存在最大公度线段的，也就是等腰直角三角形中三角斜边与直角边是不能用整数比表示的。

图中，AD=AC,过点D做DE垂直于AB交CB于点E。角ECD=角EDC,三角形EDB也是等腰直角三角形，所以线段CE=ED=BD(也就是相当于用圆规进行了截取)，于是问题转化成为求取线段EB与ED的最大公度线段问题。由于在直角三角形中斜边总是大于直角边的，所以这个过程可以无限进行下去。

连分数

之前在圆周率的约率和密率一篇问答中讲到了连分数。这个图也比较有意思，这里边的根号2是无论如何也消不去的，得到的是一个无限的连分数，而无限的连分数是不能化为通常意义下的分数的。

戴德金分割（切割）

两个由有理数为元素构成的集合A和B，集合A中的每个元素都小于集合B中的每个元素，A∪B=Q。通过逻辑分析，有下面4种情况。

1、A中有最大元素，B中无最小元素。

2、A中无最大元素，B中有最小元素。

3、A中无最大元素，B中无最小元素。

4、A中有最大元素，B中有最小元素。

事实上第4种情况是不存在的。用反证法。假设A中有最大元素a，B中有最小元素b，那么（a+b）÷2显然是个有理数，既不在集合A中，也不在集合B中。这就A∪B=Q发生矛盾。

戴德金分割打个形象的比喻，就好比在数轴上切一刀。第1种情况确定了一个有理数a，第2种情况确定了一个有理数b，第3种情况就正好切到了有理数的空隙上，就有必要引进一个新的数（非比例数），第3种情况确定了一个无理数。

那我们现在熟知的根号2就是下面的分割所确定的。集合A由所有的负有理数，以及平方小于等于2的非负有理数构成。集合B为平方大于2的非负有理数构成。这个分割A/B确定的数即为根号2。

多元视角

用人类确定的有理数为标准值，去度量腰长为1的等腰直角三角形斜边，不可公度，发现人因此丢了生命，故事大家都知道。人们对有理数和无理数的认识，有一个误区，就是无理数和有理数表示线段长度的功能，应该完全是一样的，误会在于，有人认为无理数表示的线段有无限长。例如，当直径为1时，旧的圆周率表示的圆周长即为3.14无限不循环，此时，精度似乎变成了圆周长有无限长，许多人都有这个疑问，而实际上，圆周长都是有限的长度，很明显，无限精确导致了圆周长芝诺悖论式，使圆周长无限精确，跟芝诺悖论里人追不上龟一样荒唐。假如圆周长可如上面说的等腰三角形斜边，可用同一精度的尺子直接测量，所测出的数不管是几点几，其精度与这把尺子测出的直径为1，完全是一样的精确，无理数据跟有理数据，都同样表示有限长度！因此，使圆周率无限精确，是没有实际计算意义的，在同一度量衡度量下，1.414跟1同样精确。无理数没有比有理数不精确，精确度都是相对的，即使你无限精确，还是做不到绝对精确，因为在这个宇宙，无限是客观存在的，谁都做不到绝对精确。

长眉1958

这个问题我来回答一下。

首先这问题涉及数的表示（representation），十进制是人类较习惯了的表示形式了（虽说也有不少如二、十二、二十、六十等进制之类的，分数和无理数进制暂时仅对数学工作者或数学家开放😂。注意：无理数不像素数，应该是与进制有关的，不属于数的本质属性）。

√2是无理数，这是相对整数如十进制，如果是√2进制的话，那√2就是“10”，这显然不是无理数。（注：无理数甚至分数是否可以或适宜于作为表示数的“位进制”的“基”即base值得商榷）

好了，说十进制的√2吧。其实开平方是有试算程序算法的，但是√2的这个算法是否有“终点”不得而知，因此，数学家们便默认了它是无理数（即无限不循环小数）。除了平方数自然数之外的所有其他自然数都是这种情况，其开平方都被认为是无理数的。当然，这样提出无理数是很滑稽的。😂

√2是无理数，是因为数间的整除性方面出现了问题。不知道现代计算机已经计算出√2的多少位了，据说π已经计算到了天文数字位了。

开立方、开n次方也是如此。。。

。。。。。。

😂☕️

Nick8354

由自然数扩充到实数，数的扩充，面临的最大困难就是用有限数字表示无穷的数。数如果对应一条数轴，数轴上的点没有空间延伸，线有长无宽。随机截取一个区间1和2，这中间有无穷个点。显然有限位数表示无穷个点是不可能，在无穷位数数列中，有些点可以通过一定规则找到的，如0.3循环，第一次十等分，在第四个位置能找到，再次十等分，在第四个位置能找到，这种有规则的无穷位数点归于有理数。另一些点细分下去位置不固定，这类数归于无理数。

有理数也可以表示某一位加零的循环数或者末位减1再加一串9的循环数。循环小数为有理数，非循环小数是无理数。

所以无理数与进制无关，任何进制，在任意基元中，都有无穷个点存在，其中能按规则找到的点都是有理数，不能按规则，只能通过计算确定位置的点都是无理数，如搞个九进制，一个点在0和1区间，第一次九等分，在第一个位置，再细分跑另一个位置，无穷细分下去，这个点在不同位置，没有规律，无法按规则确定位置，这个点代表的数就是无理数。

无理数只存在于数学中，自然界不是连续的。√2不可能画出来，只能表示你画的是√2。

邓伟定

证明下集合的第三次数学危机吧

越过山丘53

请看根号2的证明

關鍵字: 循环小数 无限 教育