在高中物理教材中，有一個重要的力學實驗：
如圖，從兩個方向一起用力，將彈簧從S點拉至O點，記錄此時兩個方向的力F1和F2（含方向），再沿SO方向用力拉彈簧也至O點，記錄此時的力F。通過簡單的幾何作圖，我們發現力F剛好在由F1、F2構成的平行四邊形的對角線上。
力的“平行四邊形法則”
物理學把力學元素分成了兩類：矢量和標量。這裡的力是既有大小又有方向的量，我們稱之為矢量，矢量都滿足“平行四邊形法則”。而像質量等只有大小沒有方向的量，我們稱之為標量。
矢量的發現由來已久，但由其導出的“平行四邊形法則”最早則可追溯到公元前4世紀。古希臘著名科學家亞里士多德（Aristotle，公元前384～前322）在《力學》一書中記載了“速度”的平行四邊形法則，3個世紀以後又被海倫證明。
亞里士多德
當一個物體以一定比率移動時 (即含有兩個常數比率的線性運動 ),物體一定沿一直線運動，這條直線是由這兩條有給定比率的直線形成的平行四邊形的對角線.（亞里士多德《力學》）
OC方向上速度，可分解為OB方向上速度和OA方向上的速度
接著，16世紀的兩位著名數學家：史蒂文（Simon Stevin，約1548-1620）和伽利略（Galileo，1564-1642）都在不同場合運用了“平行四邊形法則”，而17世紀的英國數學家牛頓（Isaac Newton，1643—1727）在其數學名著《自然哲學之數學原理》中準確闡述、證明了力的“平行四邊形法則”，給出了力的分解、合成方法，為他得整個力學系統的構建起了很大的作用。
伽利略
“當兩個力同時作用於一個物體時，這個物體將沿著平行四邊形的對角線運動，所需時間等於兩個力分別沿兩邊運動所用的時間之和”《自然哲學之數學原理》（P15）
在認識到了速度與力的“矢量”性質後，數學家開始進一步尋求其他滿足該性質的其他力學對象，18世紀，在歐拉、柯西、拉普拉斯、泊松等數學家的努力下，“力矩”和角速度以其同樣的“矢量”性質進入人們的視野，因大量的實際應用、及與笛卡爾座標的有力結合而紮根於物理想學研究中。
速度、力、力矩、角速度這些力學對象具有的“矢量”性質被陸續發現，但是19世紀以前的數學家所研究的“矢量”性質，幾乎只有“平行四邊形”法則。在接下來的半個世紀裡，這個物理法則會因為一項代數的發現，而得到前所未有的補充、拓展和革新。
一、複數與向量
“複數”的發現與16世紀三次方程的求解密不可分。1545年意大利數學家卡爾達諾(cardano)發表了著作《大術》，將塔爾塔利亞關於三次方程的一般解法發表其中，並第一次使用到了複數。
將10分成兩部分，使其乘積為40. “顯然，該問題是不可能的...但是拋開精神的痛苦，我們將5+√-15和5-√-15相加得到10，相乘得到40...”《大術》
顯然，卡爾達諾懷疑自己的發現，而同時期的數學家邦貝利(Bombelli)則不但大膽的接受了複數，而且在《代數》一書中制定了一系列計算規則，讓複數系統理論上切實可行。
√-1是複數系統的核心，它的出現讓數學家們大吃一驚、也大為不解，在以幾何為中心的16、17世紀，數學家們偶爾也提及它，但複數並未得到過多關注，18世紀複數在伯努利、歐拉等大家的關注下，才得以廣泛的關注，最著名的就有歐拉公式.
歐拉公式
複數在18世紀有了廣泛的應用（尤其在三角函數上），但是數學家們只是用它，仍然懷疑它的真實性，畢竟以嚴密性著稱的數學並不歡迎一個“來路不明”的迷失者。
1797年，測量員韋塞爾（Wessel,1745-1818）的一個發現，讓複數從此成為正規軍，兩年後的1799年，高斯“代數基本上定理”的證明，一錘定音式的給了複數以至高的地位。
韋塞爾給了複數以合理幾何解釋，讓複數變得“合法”。從現在的角度理解，在複平面上，取實軸（Re）上的座標a,和虛軸（Im）上的座標b,對應的點即為複數a+b√-1.
韋塞爾很熟悉物理中“矢量”的平行四邊形法則，並將其運用到複數“加法”運算中，(a+bi)+(c+di)=a+c+(b+d)i
複數的加法與平行四邊形法則
如果我們將兩條線段(OB和OC)以某種方式合併起來,就稱將兩條線段相加,方法是第二條線段的始端（點O）連接第一條線段的末端(點B),然後從合併線(O-B-D)的第一個點到最後一點貫穿一條線段,這條線段(OD)就是合併的兩線之和。
韋塞爾的“加法”使用了力學中的平行四邊形法則，同時藉助“有向線段”來完成。 對於乘法，韋塞爾的創造性想法是：根據（+1）·√-1=√-1，√-1·√-1=-1，（-1）·√-1=-√-1，-√-1·√-1=1等在座標上的位置，得出√-1的一個幾何解釋是“逆時針旋轉90°”，然後使用三角函數來處理複數，即對於任何的複數a+b√-1，都可以找到對應的座標（a,b），以及長度為r,角度為θ的“有向線段”來表示，a+b√-1=r(cosθ+√-1sinθ)。
這樣，複數的運算可以轉換為幾何來進行。一般的複數a+b√-1的乘法公式為：（a+b√-1）（c+d√-1）=(ac-bd)+(ad+bc)√-1.
韋塞爾的工作不但很好的解決了複數的合理性問題，而且真正為解決數學、物理問題引入了一個新的強有力工具——“向量”。
在18世紀之前，“向量”只在物理學中隱隱的以“平行四邊形法則”的形式出現，這相當於是向量的加法。韋塞爾的工作，不但說明覆數可以在複平面上用點和有向線段表示，而且建立在“有向線段”上的加法和乘法使得“向量”第一次正式的以純數學的方式進入我們的視野。從此，平面向量成為解決代數問題的有力工具。
數學家們希望將“向量”的方法運用到物理領域，但是發現並不是這麼容易，建立在複數基礎上的“向量”不能解決三元的物理問題。數學家們兵分兩路，一部分從物理應用出發建立了高維向量系統，而另一部分從數學的角度尋求突破，發現了“四元數”。
二、格拉斯曼的向量系統
1840年，格拉斯曼（Grassmann,1779-1852）完成了論文《潮的理論》的寫作，這篇論文初次建立了向量基礎上的空間分析系統。文章給出了向量的一些基本性質：如，AB=-BA,AB+BC=AC,A(B+C)=AB+AC，a·b=|a|·|b|cos<a,b>。論文也討論了向量的偏微分求法。
這樣一些關於向量的方法被格拉斯曼用來解決“潮的理論”問題，並取得了成功。接下來的1844年，格拉斯曼趁熱打鐵，發表了《擴張論》。
“我很快意識到自己已經邂逅了一個新的科學領域,而幾何只不過是其中的一個特殊應用。”（《擴張論》）
格拉斯曼把我們現在認為的向量作為“擴張量”的一部分，使向量在三元空間也不受限制。在承認向量是有向線段的基礎上，他提出了“向量的長度和方向是固定的，而位置卻可以隨意改變”的思想，討論了向量的加法和減法，並創造性的討論了10多種向量乘法，其中就包括了常用的向量的外積和內積。以三元向量為例，
兩個向量的“內積”得到的是一個數（而非向量），而“外積”的結果仍然是一個向量，這分別與我們中學課本中的“數量積”和“叉乘”是等價的。
格拉斯曼的擴張論思想太過超前、抽象和一般化，以至於當時頂尖的數學家也不能（或很難）理解，再加上他小小的名氣並沒有促使更多人去理解他的思想，這些原因都直接導致了他的思想在19世紀並未被傳播開來。
而另一位“天才數學家”哈密頓則要幸運得多，他的“四元數”思想，儘管發現時並未在物理上取得重要應用，而且也沒有“擴張論”這樣的接近向量分析。但是因為“光環效應”，以及文章的易理解性，“四元數”立刻深受數學家們的熱愛，並得到了廣泛傳播，隨後在泰特、麥克斯韋等大家的努力下，“四元數”更是成為了力學、電磁學研究必不可少的工具，這都為向量分析的最終成型奠定了堅實基礎。
三、哈密頓的四元數
哈密頓(Hamilton， 1805～1865) 是英國著名的數學家、物理學家，是英國曆史上繼牛頓公爵以後最偉大的數學家，他的能力與生俱來：
13歲，已熟練掌握多門語言
17歲，對大師拉普拉斯的《天體力學》瞭如指掌，並指出書中一個錯誤.
18歲，以第一名的成績考入“三一學院”
22歲，被任命為敦辛克天文臺的皇家天文研究員和三一學院的天文學教授
此後的簡歷就不用多說了，22歲就混到了常人一輩子也不敢想的位置，只能望其項背了。
哈密頓發現“四元數”是受到韋塞爾關於複數的幾何研究的啟發。前文說到，複數可以轉化為二元的向量，或是在複平面直觀的表示。哈密頓則引入有序偶(a,b)，來對應複數a+b√-1，使得複數脫離幾何而成為代數的一部分，通過定義有序偶(a,b)來作相關運算，而不必藉助幾何。如複數的加法寫成：(a,b)+（c,d）=(a+c,b+d).
一方面，這樣定義的複數在二元運用上功能強大，但是推廣複數到三元就遇到了前所未有的瓶頸。另一方面，在實際應用中，給出一個物理量（如，力），是需要有三個方向來確定的，當時的複數只有兩維(a,b)，無法實現。哈密頓希望從純代數的角度來將複數進行推廣，再運用到物理學上。
剛開始哈密頓計劃發明一種類似(a,b)的“三元數”，作為“複數”在三元上的推廣。這件看似簡單的事情，事後被證明是不可能的。我們知道，從實數推廣到複數，數系的很多性質和“邏輯”都是保持不變的。如“+、-、×、÷”的運算，及交換律、分配律等。
1、乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c
2、乘法結合律:(a×b)×c=a×(b×c)
3、乘法交換律:a×b=b×a
4、加法結合律:(a+b)+c=a+(b+c)
但是從二元的“複數”變化到“三元”時，很多數的性質都不能滿足了，通過進一步的研究，哈密頓轉而研究“四元數”，並取得了部分成功。
哈密頓引入了四元數（a,b,c,d）=a+bi+cj+dk並定義了相關運算，式子中a為實數部分，bi+cj+dk為向量部分。定義加法：（a,b,c,d）+（x,y,z,r）=(a+x,b+y,c+z,d+r).乘法則建立在下列運算的基礎上：jk=i,kj=-i,ki=j,ik=-j,ij=k,ji=-k,i^2=j^2=k^2=-1.
由此得到的“乘法”運算，和二元運算的時候產生了衝突，即“四元數”不滿足“乘法交換律”，我們看一個簡單的乘法運算：
a =1+2i+3j+k,b=1+2i+j+k,則，
ab=-7+6i+4j-2k,
ba=-7+2i+4j+6k ,
而ab≠ba.
但是哈密頓並不在意，因為其他的數的大部分法則,”四元數”都是滿足的。
哈密頓的“四元數”一經發表就受到了數學家們的強烈追捧，儘管當時還沒有任何的物理應用，但是以他“天才”的名氣而使得“四元數”迅速傳播，贏得了像泰特和麥克斯韋這樣的超級粉絲。泰特在物理上找到了“四元數”的許多應用，而麥克斯韋更是在“四元數”的基礎上完成了電磁學的方程簡化。
麥克斯韋
到了19世紀末期，兩位數學家：吉布斯(J·W·Gibbs，1839-1903)和亥維賽（Heaviside,1850-1925），最終在“四元數”的基礎上（只考慮向量部分）提出了完整的、系統的“向量系統”。
四、綜述
縱觀向量的發展史，我們發現它是物理與代數相互交織的結果。首先，是源於古希臘時期的向量加法（力學中的平行四邊形法則），然後18世紀隨著複數（二元）的幾何化而以“有向線段”的存在，得到較大的發展。接著，數學家們從兩個角度對二維向量進行推廣，一方面，從物理應用角度，格雷斯曼將向量推廣到高維空間，但是因其高度抽象性而未及時受到重視。另一方面，哈密頓從純數學的角度將複數推廣到“四元數”，“四元數”在物理上的成功及麥克斯韋等大家推崇讓四元數得以重視和發展，並最終導致了20世紀向量分析的產生。一切都不是偶然，但是偶然會讓必然的時間提前或延後。向為此做出努力的數學家們致敬。
參考文獻：
1. 牛頓.自然哲學的數學原理,曾瓊瑤等譯.江蘇人民出版社.2014.
2. 克萊因.古今數學思想.萬韋勳等譯.上海科技出版社.2012.
3. 孫慶華.向量理論歷史研究.2006
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