06.02 数学美的哲学和数学教育

数学美的哲学和数学教育

四川成都华西中学

牟 林

摘要：本文首先从一个数学教育工作者的角度对数学美进行严肃的哲学性思考，做出了数学本身就是美的事物，真善美的高度统一是数学的重要的本质特征等结论。其次，文章对当前数学教育的现状进行了审视，提出了把真善美作为构建新的数学教育目标的重要依据的观点，文章特别指出美在数学教育中的特殊作用应该受到特殊的重视。

关键词：数学美 数学教育

一

学数学的人对数学的感觉无非两类：

数学太抽象，太艰深了，一串又一串令人头晕目眩的符号，一堆又一堆叫人眼花缭乱的图形，枯燥啊！难学啊！于是宣称：我不喜欢数学。

数学太玄妙，太深刻了，一串又一串令人心悦诚服的符号，一幅又一幅让人美不胜收的图形，神奇啊！美妙啊！于是宣称：我真喜欢数学。

第一类人显然是数学的门外汉。

第二类人显然是数学的着迷者。

每一位数学教育工作者都是希望学习数学的人成为后者。

数学有什么令人为之着迷的呢？不是别的，那就是美——一种在“着迷者”心中至高无上的数学美。

二

美是什么？

数学美又是什么？

数学美为什么会令人着迷？

这是数学教育工作者关心的问题，但这不是数学问题，而是哲学问题！

三

美是什么？这个问题直指美的本原、美的本质、美的表现形式等哲学问题。从哲学史上关于美的研究可见，不同的哲学流派，对美的理解是不同的。比如毕达哥拉斯认为美即“和谐”，柏拉图认为美是一种理念即“美本身”，普罗丁进一步解释说“物体之所以美，由于他分有来自神的理性”，亚里士多德认为“美的主要形式是秩序、匀称与明确”，狄德罗提出“美是关系”的论点，休谟认为美是一种“主观的愉快”，而柏克与之相反认为“美大半是借助于感官的干预而机械地对人的心灵发生作用的物体的某种品质”，康德称“美本身只涉及形式”、“美的对象是合目的性的形式，当感知它并不呈现任何目的表象的时候”，费尔巴哈认为“美是生活”，黑格尔认为“美就是理念的感性显现”，“在事物的形状中他欣赏的只是他自己的外在现实”，马克思关于美的本质的论述是：“人是唯一能够由于劳动而摆脱纯粹的动物状态的动物——他的正常状态是和他的意识相适应的而且是要由他自己创造出来的”，在这种“实际创造一个对象世界，改造无机的自然界”中“人才实际上确认自己是类的存在物”，“我的劳动是生活的自由表现，因而我享受了生活的愉快”。中国美学家王朝闻先生在他的《美的概论》一书中认为：“美是人们创造生活、改造世界的能动活动及其在现实中的实现或对象化。作为一个客观对象，美是一个感性具体的存在，它一方面是一个合规律的存在，体现着自然与社会发展的规律，一方面又是人的能动创造的结果。所以，美是包含或体现社会生活的本质、规律，能够引起人们特定（美好的——笔者加注）情感反应的具体形象”。

四

依据上述论述，我们认为：

数学，是人的能动创造的结果——关于客观世界的数与形以及结构的实践和思考在现实中的实现或对象化，是从一个特定的角度（数与形以及结构的角度）反映自然和社会发展规律的存在，它能够引起人们对它的惊奇、神往、崇拜、敬畏、赞美、欣赏等诸多美好的情感反应，它几乎具有人们所认识到的美的所有特质，所以数学本身就是美的事物，即人们的审美对象——这应该是数学之所以美的哲学依据。

事实上，我们找到了把数学整体上视为一种美的事物的哲学依据，或者所从总体上把握了数学美的本质属性——与其他形式的美的事物的共性。但是，我们并没有回答什么是数学美本身——数学美不同于其他美的事物本质属性——数学美的个性。

其实，我们大多数关于数学美的论述多半都是谈数学美的外在形式，比如数学的形式美——对称、和谐、严谨等等。但是，这些美的特征并非数学所独有，在音乐、绘画、雕塑、戏曲、电影等常见的艺术形式中，这些美的特征都有其不同形式的表现。

那么，究竟什么是数学美呢？

我们知道，数学是人的智慧的最高级的结晶之一。尽管数学是来源于人们的社会实践活动，但是，它作为一门学科在很大程度上是人脑的纯思维活动的产物，它是只用符号就可以（注意数学是可以不借助图形或实物表达的）表达客观世界数、形和结构的学科，这是其他任何学科都无法比拟的数学的独有特征。比如虚数的产生就只是因为对“负1的开平方运算在实数集合中没有意义”这一事实的“不满”，解析几何诞生于笛卡儿“火炉旁的思考”，非欧几何仅仅来自于对欧几里得第五公设的怀疑等等，这些数学活动都具有强烈的“纯思维活动”色彩，距离“实践（狭义的）”活动非常遥远以至于它的创造者们误以为这都纯粹是他们大脑的造物或上帝智慧的显现，甚至导致他们每每走入哲学的误区。数学美的这一特征外在地表现为它的高度的抽象性与符号化，它可以在已经是高度抽象化的数学事实的基础上再度的抽象，没有止境。数学给人以强烈的人的思维的造物的印象，是人的大脑活动（或劳动）的典型的外化物或存在形式，“这种形式就是一种力量，能唤起人对自己创造的才能感到惊奇、骄傲和快乐的力量而作用于感性和理性”。可见，数学美，首先表现为人们对自己纯思维活动的“创造才能”和劳动成果的惊奇、骄傲和快乐的情感体验。数学是现实世界最理想的“摹本”。它和现实世界惊人的“一致”（事实上是相似或在一定条件下的一致）。毕达哥拉斯从太阳系行星的个数、音乐的音符与数字的关系就大胆地宣称“万物皆数”。在文艺复兴时期，上帝被怀疑、哲学被怀疑、其他许多学科的真理性都受到质疑，惟有数学被认为是绝对真理，这个认识一直持续到17世纪。从欧几里得几何到非欧几何到上世纪60年代诞生的分形几何，尽管人们已经认识到现实真理是相对真理和绝对真理的辨证统一，但是并没有减少这几种几何学在各自的领域内的真理性色彩。人们为自己“纯思维活动”创造的数学能如此“精确”地描述现实世界的结构图景，能够“精确”地预知未来世界的发展走向，而对自己充满信心。随着科学技术的突飞猛进，数学通过电子计算机显示出来的表现力越来越强，数学在各个领域的应用越来越广泛深入，数学越来越与人们的生活息息相关，人们越来越感到世界是按照数学的方式构成和运转的，人们自信地认为掌握了数学就似乎等于掌握了宇宙法则。于是，人们动情地把当今时代称为“数字化”时代。可见，数学美也表现为人们对数学本身的神往、赞美和欣赏的美好的情感体验。

不仅如此，数学美还有一个最重要的特征，那就是“真、善、美”的高度统一。

我们知道，美，不是孤立自在的东西，美的本质常常表现在它与真和善的关系之中。而在许多事物中，“真、善、美”并不总是统一的、和谐的存在着。比如艺术，就有高雅和粗俗之分。刘华杰先生在《分形艺术》中说：“真、善、美本身并不是艺术，三者以及处于张力状态的两极之间的某种不可言说的‘度’才是艺术。艺术不是对称或者非对称、艺术不是真或者假、艺术不是具体或者抽象等等，艺术是两极之间的和谐。艺术是真假的和谐，是善恶的和谐，是美丑的和谐，一方衬托另一方，除掉一方，另一方也就不复存在”。换句话说，艺术本身有真假之异、善恶之分、美丑之别。但是，数学没有。

数学首先表现为真。数学活动就是一个人们不断地追求真理的活动，它的全部任务就是探索现实世界的存在与结构及其发展与变化的规律，并试图用“数”和“形”来描述这种结构和表现这种规律。数学成果都是相对真理和绝对真理和谐统一的典范。所以，不存在“假的数学”。

数学又表现为善。数学活动一开始就有很强的目的性，而这个目的与人类追求的善的终极目标是完全一致的，数学活动的成果在人类社会实践中的成功和有效的应用更体现了数学善的本质。难怪数学一开始就诱发了毕达哥拉斯的“宗教情结”，数几乎成了他的学派的“图腾”。中国的道教对数的神秘性更是“推崇备至”，《道德经》中就讲：“道生一，一生二， 二生三，三生万物”。八卦图就是用数的“二进制”来描述宇宙演进和结构的规律的一个符号。所以，不存在恶的数学。

说到这里，我们先插入一段科学家在追求真和善的同时是如何追求美的镜头（注：取自刘华杰的《分形艺术》）。

庞 加莱(H.Poincare)说，科学家“研究自然是因为他们从中得到了乐趣，而他们得到乐趣是因为它美。如果自然不美，它就不值得去探求，生命也不值得存在。”朗道(L.Landau)认为，爱因斯坦的广义相对论是物理学中最美的理论。当海森伯(W.Heisenberg)第一次发现他的矩阵中所有项都满足能量守恒原理时，他陶醉了。他对爱因斯坦说：“当大自然把我们引向一个前所未见的和异常美丽的数学形式时，我们将不得不相信它是真的。”魏尔(H.Weyl)说 ：“我的工作总是尽力把真和美统一起来；但当我必须在两者之中挑选一个时，我通常选择美。”引力规范理论是魏尔在《空间、时间和物质》一书中提出来的，他曾承认，这个理论作为一个引力理论是不真的，但它显示出的美又使他不愿意放弃。多年之后，当规范不变性被应用于量子电动力学时，魏尔的直觉被证明是完全正确的。

可见，科学的目标固然是追求真理，但在许多大科学家的心目中，追求美才是科学研究的目的。前面已经论述，数学本身就是美的事物，当然也不存在丑的数学。

事实上，我们很难想象，同时具有真与善的数学会是“丑的数学”。

有的人称数学是一门艺术，好像是在表示他对数学的由衷赞美或情有独钟，其实数学就是数学，它的美是“与生俱来”的，甚至是无可比拟的。

五

至此，我们应该已经回答了本文开头提出的关于数学美的几个哲学性的基本问题。但是，有人会问：既然数学是天然的美的事物，为什么有人会感到数学枯燥无味呢？我们认为这有三个原因。

第一，由于数学高度的抽象具有“远离”实践活动的“纯思维活动”特点，因此它不能像音乐、绘画作品那样直接刺激人的感官，让人感受到它的美，须要理解它才能逐步地欣赏它。

第二，人们通常的美的观念把美的概念狭义化了，认为只有那些直接能被感官感受到的事物（如：声音、图像）才可能是美的事物，持这种观念的人一开始就把数学排斥在美的事物的范畴之外。不美当然就不可爱了。

第三个原因是当前基础教育的过分功利化造成的，超量和超难度的且机械重复的数学作业在孩子和数学之间筑起了一道情感的高墙，使孩子厌恶学习活动本身，自然也就不喜欢数学了，这使他们甚至没有机会感受到数学美。

六

然而，孩子们总是从对数学一无所知开始学习数学的，你如何能让孩子们感到数学是美的事物，使孩子们喜欢学习数学呢？这就给数学教育工作者提出了一个难题。这个难题也不属于数学的范畴，而属于数学教育或“教育数学”的范畴。

为从根本上解决这一问题，我们必须对当前数学教育的目的进行审视。

当前，数学教育的目的有作极强的现实功利性。这种功利性又分两个层次：

第一：对数学的应用于实际强调得过分，这充分表现在社会对教育的急功近利。这就忽略了对数学的其它育人功能的开发利用，特别没有让学生感到数学是美的事物。

第二，把数学当成实现某种现实目标（如：考学）的工具，这比“过分强调数学应用于实际”更远离数学本身，在这里，数学的育人功能不只是被淹没了，而且被扭曲了因此，我们必须重新思考数学教育的目的。

七

在前面的论述中，我们已经指出“真、善、美和谐统一是数学重要的本质特征”，因此，在思考数学教育的目的时，我们想，从数学的这一本质特征出发思考数学教育的目的更符合教育的目的性。

从真出发，我们认为，数学教育的目的应该是：培养学生的科学精神——崇尚真理、追求真理和捍卫真理；培养学生的思维能力，特别是抽象思维和创新思维的能力；

从善出发，我们认为，数学教育的目的应该是：培养学生的博爱精神——爱自然、爱人类、爱自由、爱世间一切美好的事物；培养学生美好的品质——勤学、善思、严谨、谦逊、和达、自律；培养学生应用数学的能力。

从美出发，我们认为，数学教育的目的应该是：培养学生认识美的事物、理解美的事物、欣赏美的事物、创造美的事物的能力；培养学生美的心灵、美的人格、美的情操、美的行为。

我们想，人们会同意这样的观点：真和善是美的载体，美是真和善的表达。真善美中，表现力最强的应该是美。孩子有爱美的天性，美能使孩子对美的事物保持长久的兴趣，兴趣是最好的老师。实现这样的数学教育目标，才算是最大限度地发挥了数学的育人功能。

因此，人们会理解这样的看法：为实现数学教育的目的，我们应该重新创建一部最符合这个目的的“教育数学”。这部“教育数学”应该以数学知识为载体，真善美为内核，用美的形式来表现。

那么，改革现行数学教育的一个重要任务就是研究数学美的外在表现形式，使孩子们在不太懂得数学的时候，就强烈地感受到数学美，就被数学美所吸引，就爱上数学。

八

那么，数学美是否可以被直观地表现，即用可以直接刺激人们的感官的方式表现呢？回答是肯定的。事实上，尽管数学给人以“纯思维活动”的产物的映像，但是它本质上仍然是来源于人们的社会实践活动，它完全能够回到客观实践中去，脱去它“豪华”的外衣，返朴归真，用孩子们都能感受和理解的方式去表现它的“自然”美。

比如：我们可以通过几何图形向学生展示数学的对称美、和谐美、运动美，可以通过行星运动等模型和相关数据让学生感受数学的“神奇美”，可以通过数学推理过程的学习使学生体会数学的“严谨美”，可以通过实践活动（如测量数据、设计模型、电脑制图等）让学生体验数学的“生活美”，可以通过了解数学家解决数学问题、发现数学规律让学生欣赏的“思维美”，可以通过指导学生解决力所能及的数学“难题”让学生品尝“成功美”。

实践证明，这是可行的，现行数学教材的编者自发地进行了这方面的探索，现在应该是我们自觉地这样做的时候了。

当今，电子计算机本身就是数学“机器化”的产物，它本身和它的功能就是数学美最好的表现形式，它为我们表达数学美提供了最有力的工具。

九

在“解决了”数学教育“教什么”的问题后，当然应该“落实”“怎样教”的问题。

毫无疑问，新的数学教育理念中，“数学美”的教育应该是数学教育的核心理念之一。在数学教学中，我们的任务之一就是要使学生通过对数学事实的学习感知数学美、理解数学美、欣赏数学美、崇尚数学美、创造数学美。这不仅要求我们在课堂设计之中要尽力挖掘数学美的内涵，使课件的设计理念、结构模式、操作环节等都能表现出数学美的特征，而且还要求教师在教学过程中要使学生从教师的语言、情态和动作感受到教师对数学的热爱、赞美、欣赏和激情，教师要全方位地展示自己的数学美的修养。

一堂数学课如果不能让学生感受到数学美，就一定不是一堂成功的数学课。

十

今天，我们的教育改革又掀开了新的一页——课程改革。数学美能否在新的课程体系中占据一席之地呢？笔者对此充满期待。

2003．4．1

柏拉图《理想国》，引自北京大学哲学系编译《古希腊罗马哲学》，三联书店，1957年。

亚里士多德《形而上学》，商务印书馆出版。普罗丁《九卷书》。

狄德罗《美之根源几性质的哲学的研究》，引自《文艺理论译丛》1958

柏克《关于崇高与美的观念的根源的哲学探讨》人民文学出版社

康德《判断力批判》。黑格尔《美学》，人民文学出版社

马克思《资本论》。恩格斯《自然辩证法》

朱光潜《西方美学史》人民文学出版社

王朝文《美学概论》人民出版社。

刘华杰《分形艺术》湖南电子音像出版社