06.02 數學美的哲學和數學教育

數學美的哲學和數學教育

四川成都華西中學

牟 林

摘要：本文首先從一個數學教育工作者的角度對數學美進行嚴肅的哲學性思考，做出了數學本身就是美的事物，真善美的高度統一是數學的重要的本質特徵等結論。其次，文章對當前數學教育的現狀進行了審視，提出了把真善美作為構建新的數學教育目標的重要依據的觀點，文章特別指出美在數學教育中的特殊作用應該受到特殊的重視。

關鍵詞：數學美 數學教育

一

學數學的人對數學的感覺無非兩類：

數學太抽象，太艱深了，一串又一串令人頭暈目眩的符號，一堆又一堆叫人眼花繚亂的圖形，枯燥啊！難學啊！於是宣稱：我不喜歡數學。

數學太玄妙，太深刻了，一串又一串令人心悅誠服的符號，一幅又一幅讓人美不勝收的圖形，神奇啊！美妙啊！於是宣稱：我真喜歡數學。

第一類人顯然是數學的門外漢。

第二類人顯然是數學的著迷者。

每一位數學教育工作者都是希望學習數學的人成為後者。

數學有什麼令人為之著迷的呢？不是別的，那就是美——一種在“著迷者”心中至高無上的數學美。

二

美是什麼？

數學美又是什麼？

數學美為什麼會令人著迷？

這是數學教育工作者關心的問題，但這不是數學問題，而是哲學問題！

三

美是什麼？這個問題直指美的本原、美的本質、美的表現形式等哲學問題。從哲學史上關於美的研究可見，不同的哲學流派，對美的理解是不同的。比如畢達哥拉斯認為美即“和諧”，柏拉圖認為美是一種理念即“美本身”，普羅丁進一步解釋說“物體之所以美，由於他分有來自神的理性”，亞里士多德認為“美的主要形式是秩序、勻稱與明確”，狄德羅提出“美是關係”的論點，休謨認為美是一種“主觀的愉快”，而柏克與之相反認為“美大半是藉助於感官的干預而機械地對人的心靈發生作用的物體的某種品質”，康德稱“美本身只涉及形式”、“美的對象是合目的性的形式，當感知它並不呈現任何目的表象的時候”，費爾巴哈認為“美是生活”，黑格爾認為“美就是理念的感性顯現”，“在事物的形狀中他欣賞的只是他自己的外在現實”，馬克思關於美的本質的論述是：“人是唯一能夠由於勞動而擺脫純粹的動物狀態的動物——他的正常狀態是和他的意識相適應的而且是要由他自己創造出來的”，在這種“實際創造一個對象世界，改造無機的自然界”中“人才實際上確認自己是類的存在物”，“我的勞動是生活的自由表現，因而我享受了生活的愉快”。中國美學家王朝聞先生在他的《美的概論》一書中認為：“美是人們創造生活、改造世界的能動活動及其在現實中的實現或對象化。作為一個客觀對象，美是一個感性具體的存在，它一方面是一個合規律的存在，體現著自然與社會發展的規律，一方面又是人的能動創造的結果。所以，美是包含或體現社會生活的本質、規律，能夠引起人們特定（美好的——筆者加註）情感反應的具體形象”。

四

依據上述論述，我們認為：

數學，是人的能動創造的結果——關於客觀世界的數與形以及結構的實踐和思考在現實中的實現或對象化，是從一個特定的角度（數與形以及結構的角度）反映自然和社會發展規律的存在，它能夠引起人們對它的驚奇、神往、崇拜、敬畏、讚美、欣賞等諸多美好的情感反應，它幾乎具有人們所認識到的美的所有特質，所以數學本身就是美的事物，即人們的審美對象——這應該是數學之所以美的哲學依據。

事實上，我們找到了把數學整體上視為一種美的事物的哲學依據，或者所從總體上把握了數學美的本質屬性——與其他形式的美的事物的共性。但是，我們並沒有回答什麼是數學美本身——數學美不同於其他美的事物本質屬性——數學美的個性。

其實，我們大多數關於數學美的論述多半都是談數學美的外在形式，比如數學的形式美——對稱、和諧、嚴謹等等。但是，這些美的特徵並非數學所獨有，在音樂、繪畫、雕塑、戲曲、電影等常見的藝術形式中，這些美的特徵都有其不同形式的表現。

那麼，究竟什麼是數學美呢？

我們知道，數學是人的智慧的最高級的結晶之一。儘管數學是來源於人們的社會實踐活動，但是，它作為一門學科在很大程度上是人腦的純思維活動的產物，它是隻用符號就可以（注意數學是可以不借助圖形或實物表達的）表達客觀世界數、形和結構的學科，這是其他任何學科都無法比擬的數學的獨有特徵。比如虛數的產生就只是因為對“負1的開平方運算在實數集合中沒有意義”這一事實的“不滿”，解析幾何誕生於笛卡兒“火爐旁的思考”，非歐幾何僅僅來自於對歐幾里得第五公設的懷疑等等，這些數學活動都具有強烈的“純思維活動”色彩，距離“實踐（狹義的）”活動非常遙遠以至於它的創造者們誤以為這都純粹是他們大腦的造物或上帝智慧的顯現，甚至導致他們每每走入哲學的誤區。數學美的這一特徵外在地表現為它的高度的抽象性與符號化，它可以在已經是高度抽象化的數學事實的基礎上再度的抽象，沒有止境。數學給人以強烈的人的思維的造物的印象，是人的大腦活動（或勞動）的典型的外化物或存在形式，“這種形式就是一種力量，能喚起人對自己創造的才能感到驚奇、驕傲和快樂的力量而作用於感性和理性”。可見，數學美，首先表現為人們對自己純思維活動的“創造才能”和勞動成果的驚奇、驕傲和快樂的情感體驗。數學是現實世界最理想的“摹本”。它和現實世界驚人的“一致”（事實上是相似或在一定條件下的一致）。畢達哥拉斯從太陽系行星的個數、音樂的音符與數字的關係就大膽地宣稱“萬物皆數”。在文藝復興時期，上帝被懷疑、哲學被懷疑、其他許多學科的真理性都受到質疑，惟有數學被認為是絕對真理，這個認識一直持續到17世紀。從歐幾里得幾何到非歐幾何到上世紀60年代誕生的分形幾何，儘管人們已經認識到現實真理是相對真理和絕對真理的辨證統一，但是並沒有減少這幾種幾何學在各自的領域內的真理性色彩。人們為自己“純思維活動”創造的數學能如此“精確”地描述現實世界的結構圖景，能夠“精確”地預知未來世界的發展走向，而對自己充滿信心。隨著科學技術的突飛猛進，數學通過電子計算機顯示出來的表現力越來越強，數學在各個領域的應用越來越廣泛深入，數學越來越與人們的生活息息相關，人們越來越感到世界是按照數學的方式構成和運轉的，人們自信地認為掌握了數學就似乎等於掌握了宇宙法則。於是，人們動情地把當今時代稱為“數字化”時代。可見，數學美也表現為人們對數學本身的神往、讚美和欣賞的美好的情感體驗。

不僅如此，數學美還有一個最重要的特徵，那就是“真、善、美”的高度統一。

我們知道，美，不是孤立自在的東西，美的本質常常表現在它與真和善的關係之中。而在許多事物中，“真、善、美”並不總是統一的、和諧的存在著。比如藝術，就有高雅和粗俗之分。劉華傑先生在《分形藝術》中說：“真、善、美本身並不是藝術，三者以及處於張力狀態的兩極之間的某種不可言說的‘度’才是藝術。藝術不是對稱或者非對稱、藝術不是真或者假、藝術不是具體或者抽象等等，藝術是兩極之間的和諧。藝術是真假的和諧，是善惡的和諧，是美醜的和諧，一方襯托另一方，除掉一方，另一方也就不復存在”。換句話說，藝術本身有真假之異、善惡之分、美醜之別。但是，數學沒有。

數學首先表現為真。數學活動就是一個人們不斷地追求真理的活動，它的全部任務就是探索現實世界的存在與結構及其發展與變化的規律，並試圖用“數”和“形”來描述這種結構和表現這種規律。數學成果都是相對真理和絕對真理和諧統一的典範。所以，不存在“假的數學”。

數學又表現為善。數學活動一開始就有很強的目的性，而這個目的與人類追求的善的終極目標是完全一致的，數學活動的成果在人類社會實踐中的成功和有效的應用更體現了數學善的本質。難怪數學一開始就誘發了畢達哥拉斯的“宗教情結”，數幾乎成了他的學派的“圖騰”。中國的道教對數的神秘性更是“推崇備至”，《道德經》中就講：“道生一，一生二， 二生三，三生萬物”。八卦圖就是用數的“二進制”來描述宇宙演進和結構的規律的一個符號。所以，不存在惡的數學。

說到這裡，我們先插入一段科學家在追求真和善的同時是如何追求美的鏡頭（注：取自劉華傑的《分形藝術》）。

龐 加萊(H.Poincare)說，科學家“研究自然是因為他們從中得到了樂趣，而他們得到樂趣是因為它美。如果自然不美，它就不值得去探求，生命也不值得存在。”朗道(L.Landau)認為，愛因斯坦的廣義相對論是物理學中最美的理論。當海森伯(W.Heisenberg)第一次發現他的矩陣中所有項都滿足能量守恆原理時，他陶醉了。他對愛因斯坦說：“當大自然把我們引向一個前所未見的和異常美麗的數學形式時，我們將不得不相信它是真的。”魏爾(H.Weyl)說 ：“我的工作總是盡力把真和美統一起來；但當我必須在兩者之中挑選一個時，我通常選擇美。”引力規範理論是魏爾在《空間、時間和物質》一書中提出來的，他曾承認，這個理論作為一個引力理論是不真的，但它顯示出的美又使他不願意放棄。多年之後，當規範不變性被應用於量子電動力學時，魏爾的直覺被證明是完全正確的。

可見，科學的目標固然是追求真理，但在許多大科學家的心目中，追求美才是科學研究的目的。前面已經論述，數學本身就是美的事物，當然也不存在醜的數學。

事實上，我們很難想象，同時具有真與善的數學會是“醜的數學”。

有的人稱數學是一門藝術，好像是在表示他對數學的由衷讚美或情有獨鍾，其實數學就是數學，它的美是“與生俱來”的，甚至是無可比擬的。

五

至此，我們應該已經回答了本文開頭提出的關於數學美的幾個哲學性的基本問題。但是，有人會問：既然數學是天然的美的事物，為什麼有人會感到數學枯燥無味呢？我們認為這有三個原因。

第一，由於數學高度的抽象具有“遠離”實踐活動的“純思維活動”特點，因此它不能像音樂、繪畫作品那樣直接刺激人的感官，讓人感受到它的美，須要理解它才能逐步地欣賞它。

第二，人們通常的美的觀念把美的概念狹義化了，認為只有那些直接能被感官感受到的事物（如：聲音、圖像）才可能是美的事物，持這種觀念的人一開始就把數學排斥在美的事物的範疇之外。不美當然就不可愛了。

第三個原因是當前基礎教育的過分功利化造成的，超量和超難度的且機械重複的數學作業在孩子和數學之間築起了一道情感的高牆，使孩子厭惡學習活動本身，自然也就不喜歡數學了，這使他們甚至沒有機會感受到數學美。

六

然而，孩子們總是從對數學一無所知開始學習數學的，你如何能讓孩子們感到數學是美的事物，使孩子們喜歡學習數學呢？這就給數學教育工作者提出了一個難題。這個難題也不屬於數學的範疇，而屬於數學教育或“教育數學”的範疇。

為從根本上解決這一問題，我們必須對當前數學教育的目的進行審視。

當前，數學教育的目的有作極強的現實功利性。這種功利性又分兩個層次：

第一：對數學的應用於實際強調得過分，這充分表現在社會對教育的急功近利。這就忽略了對數學的其它育人功能的開發利用，特別沒有讓學生感到數學是美的事物。

第二，把數學當成實現某種現實目標（如：考學）的工具，這比“過分強調數學應用於實際”更遠離數學本身，在這裡，數學的育人功能不只是被淹沒了，而且被扭曲了因此，我們必須重新思考數學教育的目的。

七

在前面的論述中，我們已經指出“真、善、美和諧統一是數學重要的本質特徵”，因此，在思考數學教育的目的時，我們想，從數學的這一本質特徵出發思考數學教育的目的更符合教育的目的性。

從真出發，我們認為，數學教育的目的應該是：培養學生的科學精神——崇尚真理、追求真理和捍衛真理；培養學生的思維能力，特別是抽象思維和創新思維的能力；

從善出發，我們認為，數學教育的目的應該是：培養學生的博愛精神——愛自然、愛人類、愛自由、愛世間一切美好的事物；培養學生美好的品質——勤學、善思、嚴謹、謙遜、和達、自律；培養學生應用數學的能力。

從美出發，我們認為，數學教育的目的應該是：培養學生認識美的事物、理解美的事物、欣賞美的事物、創造美的事物的能力；培養學生美的心靈、美的人格、美的情操、美的行為。

我們想，人們會同意這樣的觀點：真和善是美的載體，美是真和善的表達。真善美中，表現力最強的應該是美。孩子有愛美的天性，美能使孩子對美的事物保持長久的興趣，興趣是最好的老師。實現這樣的數學教育目標，才算是最大限度地發揮了數學的育人功能。

因此，人們會理解這樣的看法：為實現數學教育的目的，我們應該重新創建一部最符合這個目的的“教育數學”。這部“教育數學”應該以數學知識為載體，真善美為內核，用美的形式來表現。

那麼，改革現行數學教育的一個重要任務就是研究數學美的外在表現形式，使孩子們在不太懂得數學的時候，就強烈地感受到數學美，就被數學美所吸引，就愛上數學。

八

那麼，數學美是否可以被直觀地表現，即用可以直接刺激人們的感官的方式表現呢？回答是肯定的。事實上，儘管數學給人以“純思維活動”的產物的映像，但是它本質上仍然是來源於人們的社會實踐活動，它完全能夠回到客觀實踐中去，脫去它“豪華”的外衣，返樸歸真，用孩子們都能感受和理解的方式去表現它的“自然”美。

比如：我們可以通過幾何圖形向學生展示數學的對稱美、和諧美、運動美，可以通過行星運動等模型和相關數據讓學生感受數學的“神奇美”，可以通過數學推理過程的學習使學生體會數學的“嚴謹美”，可以通過實踐活動（如測量數據、設計模型、電腦製圖等）讓學生體驗數學的“生活美”，可以通過了解數學家解決數學問題、發現數學規律讓學生欣賞的“思維美”，可以通過指導學生解決力所能及的數學“難題”讓學生品嚐“成功美”。

實踐證明，這是可行的，現行數學教材的編者自發地進行了這方面的探索，現在應該是我們自覺地這樣做的時候了。

當今，電子計算機本身就是數學“機器化”的產物，它本身和它的功能就是數學美最好的表現形式，它為我們表達數學美提供了最有力的工具。

九

在“解決了”數學教育“教什麼”的問題後，當然應該“落實”“怎樣教”的問題。

毫無疑問，新的數學教育理念中，“數學美”的教育應該是數學教育的核心理念之一。在數學教學中，我們的任務之一就是要使學生通過對數學事實的學習感知數學美、理解數學美、欣賞數學美、崇尚數學美、創造數學美。這不僅要求我們在課堂設計之中要盡力挖掘數學美的內涵，使課件的設計理念、結構模式、操作環節等都能表現出數學美的特徵，而且還要求教師在教學過程中要使學生從教師的語言、情態和動作感受到教師對數學的熱愛、讚美、欣賞和激情，教師要全方位地展示自己的數學美的修養。

一堂數學課如果不能讓學生感受到數學美，就一定不是一堂成功的數學課。

十

今天，我們的教育改革又掀開了新的一頁——課程改革。數學美能否在新的課程體系中佔據一席之地呢？筆者對此充滿期待。

2003．4．1

柏拉圖《理想國》，引自北京大學哲學系編譯《古希臘羅馬哲學》，三聯書店，1957年。

亞里士多德《形而上學》，商務印書館出版。普羅丁《九卷書》。

狄德羅《美之根源幾性質的哲學的研究》，引自《文藝理論譯叢》1958

柏克《關於崇高與美的觀念的根源的哲學探討》人民文學出版社

康德《判斷力批判》。黑格爾《美學》，人民文學出版社

馬克思《資本論》。恩格斯《自然辯證法》

朱光潛《西方美學史》人民文學出版社

王朝文《美學概論》人民出版社。

劉華傑《分形藝術》湖南電子音像出版社