[遇見數學] 新開的一個系列文章: 【圖解概率】，與【圖解高數】與【圖解線性代數】一樣希望藉助圖像，動畫和視頻的方式來闡述相應的概念，希望各位老師和朋友多多指正和幫助！

01 排列組合

計數基本法則

乘法法則:如果一個試驗分成兩個階段, 其中第一階段 有 m 種可能發生的結果, 第二階段有 n 種可能發生的結果, 則對這個試驗, 一共有 m*n 種可能的結果.

比如, 在一副撲克牌中, 有 4 種花色, 而每種花色又有 13 張, 這裡計數就需要乘法法則.

置換(Substitution)

置換: 將 n 個事物按順序進行排列. 比如, 如果將 3 種小動物排列, 那麼共有多少種排法?

如果是 6 種不同動物的話, 置換按照乘法法則計算:

由此可得到下面的結果 720:

階乘

這樣遞減整數相乘稱為階乘(factorial). 因此, 把 n 個事物排列, 共有下面種擺法.

注意: 0! = 1 ， 之前 [遇見數學] 翻譯組翻譯製作的視頻推薦觀看《為什麼 0! = 1 ?》, 裡面給出了好幾種解釋.

排列(Permutation)

置換是對 n 個事物的所有排列. 如果是從 n 箇中取出一部分就稱之為排列. 比如將熊貓君, 豬弟, 猴哥, 狐娘取出 3 個進行排列, 所有的排法如下圖所示:

注意:

排列與置換都需要考慮順序. 比如下面 3 種小動物的排法, 因為順序不同, 所以對於排列與置換而言是不同的排列, 數量為 3!=6 種.

由上面置換的階乘公式也可以得到求從 n 種事物取出 k 種排列的總數:

也可以用階乘來表示排列.

組合(Combination)

置換和排列都是考慮順序的, 而組合不考慮順序的. 如上面 3 種小動物的排列對於組合而言只計為 1:

考慮計算 4 種動物裡取 3 中的組合數, 只需要這樣計算就可以.

1. 首先, 考慮順序按排列那樣進行計算;
2. 再來去除掉重複計算的部分;

先按第一步進行排列計算, 將熊貓君, 豬弟, 猴哥, 狐娘取出 3 個進行排列, 所有的排法共 4!=24 種, 如下圖所示:

請注意上圖共有 4 種背景, 每種背景的小動物種類是相同的, 只不過順序不同. 以淺藍色背景的熊貓君, 豬弟, 猴哥為例. 如果考慮順序的話, 共出現 6 邊, 也即是 3! . 所以對於組合而言, 要將排列數中除以重複倍數 3!, 即組合數為 4. 下圖即為 4 取 3組合結果等於 4:

下式即為計算組合的公式:

二項式定理

從 n 種物品中取 r 種的組合數也稱為二項式係數(binomial coefficient), 也是二項式定理中重要的係數部分:

多項式係數

我們還能進一步推廣組合公式. 如果為 n 個對象, 其中包括第一組 n1 個對象 , 第二組 n2 個對象, 第三組 n3 個對象.... , 則排列數目計算公式, 稱之為多項式係數()multinomial coefficient):

《程序員的數學》 結城浩

《概率導論》 Dimitri P. Bertsekas, John N. Tsitsiklis