导语：在奔流不息的历史长河中，逐支分流缓缓而下，数学缀饰其中，发展至今。其中，数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。三次对数学理论进一步的新发现令当时的主流学说产生了不可回避且无可争议的理论漏洞与逻辑矛盾。

一般来讲，危机作为一种不解决就无法更近一步的激烈矛盾，从哲学上来看，是无处不在的、不可避免的，即使是说一不二力求精确著称的数学也难脱干系。自然而然，这既是对已有数学的危机与挑战，也是象牙塔中新探索的契机与动力，也正是这几场学术上的危机从哲学的矛盾角度客观上大跨步地推动了数学史的进步，为这座大厦的落成奠定了坚实的基础。

而以有无限之区分、连续还是发散、存在亦或是构造、具体抽象、概念计算为例的一系列矛盾，终于也是你方唱罢我登场，以一线贯穿但又枝状发展的形态参与了整座部头的数学史，以产生与解决两大需求与动力作为燃料，燃起了数学的满天光彩。历史的前车之鉴告诉我们，在矛盾的激化蔓延到涉及整个数学的基础时，数学危机就作为一种机制发生。而危机的解决，往往能给数学带来一箩筐的新意：新内涵、新进步、新变革。

接下来笔者将以时间作为线索，展开对于三次数学危机的分析。

第一次数学危机 自我覆灭的古老学派

毕达哥拉斯

2000多年前公元前五世纪，古希腊的毕达哥拉斯创立了神秘主义学派——毕达哥拉斯学派，学派涉及政学哲三大方面三大领域，亦被称为南意大利学派。而其本人最广为人知的成就是证明了毕达哥拉斯定理，也即我们所称的勾股定理。而毕达哥拉斯学派以美为引领，格外注重美学，也因此由衷地为整数所蕴含的天然无雕饰之美所吸引，塑造出了他们的哲学基石与信条——命题"万物皆数"，也即一切数均可表示成整数或整数之比。然而作为毕达哥拉斯学派成员也是毕达哥拉斯门徒之一的希帕索斯（公元前470年）以等腰直角三角形的斜边为实例，发现了第一个无理数的存在。由此如同天外陨石般的希帕索斯悖论诞生也成为了古希腊数学界与哲学界的一场轩然大波。

希帕索斯画像

它就直接忤逆了众多当时的主流认识，动摇了几乎所有的基础认知，不失为是一场大风暴，更恐怖的是对于这种既成的后果，无能为力与无可奈何成为了数学家们仅剩的坚持，而希帕索斯本人也成为了无知的祭品，被沉于水底而亡。毕达哥拉斯学派的基底也开始由此分崩离析。数学史上的第一次危机彻底爆发。我们也由此第一次见识到了矛盾在数学发展史中的威力，它从根本上摧毁了一门古代正在发源的学术泉眼，并且令基于当时的基本社会认知的数学家们陷入无力挽回的败局，这是由于数学的矛盾本质产生，但是其客观上令古希腊数学改道易辙，走向光辉。

而这一次危机的爆发以无理数的存在矛盾为初始，以古希腊数学体系的崩溃、欧式几何与古典逻辑的诞生为高潮。整数的尊崇地位因这样不唯一的矛盾受到挑战，于是几何学在希腊数学登上无上宝座。从此由自冾自明的公理出发，演绎式推理式证明的过程应运而生，并由此建立几何学体系，这成为了古希腊数学的一条独树之路。可以见得，上述作为数学危机的自然产物，第一次数学危机不仅仅是一场数学思想的暴风般的革命。

第二次数学危机 累卵之上的无穷小量

到了十六、十七世纪，微积分学这一门无穷小演算在牛顿和莱布尼茨的共同拉开帷幕下登上历史舞台，这两位奠基者统一出了互为逆运算的微分和积分法并将其明确计算出来。微积分的普遍泛用性全包围了许多新问题的产生、同时也覆盖了求曲线长度和曲线所包围的面积等基础问题的需求，这让其成为一时无两的后起之秀，成为了一门重要工具。

然而，当时的微积分学理论基础更像是东拼西凑的一个临时产物。以无穷小量究竟是不是零的一系列的矛盾，就如同微积分学诞生时欠下的债，而微积分此时已经债台高筑。而以贝克莱主教为先锋的无数催债人从未停歇的攻击，也把又一次的大矛盾大危机作为标靶，引发了第二次数学危机。

1734年"贝克莱悖论"的诞生给了实用主义者达朗贝尔所谓"把房子盖得更高些，而不是把基础打得更加牢固"的言论致命一击，贝克莱用"依靠双重错误得到了不科学但却正确的结果

贝克莱画像

这无疑的一个矛盾在形式逻辑上被判决了死刑，也使微积分的支持者们陷入了异常尴尬的境地，数学界此时一片哗然，面对贝克莱的针锋相对，发明微积分者自然试图通过将微积分大厦的地基重构来摆脱矛盾，但屡次失败。微积分学的两大战场，实际应用已然收官，逻辑理论却死于了粮草辎重。微积分的应用与理论的矛盾之争一时间令这个风光无两的锐利工具销声匿迹，却又令数学学术的争论开出了新的花朵，花香满园。矛盾虽然扮演着一次次的反派角色，却如肥料般滋养了新的土壤。

第二次数学危机的影响一直持续到十九世纪二十年代，波尔查诺、狄利克雷、阿贝尔、波西、魏尔斯特拉斯、戴德金和康托等一众名字镌刻在其后的丰碑，熠熠生辉。之后近六十年的理论发展，为数学分析这一门数学的大基础平复了动荡，实数论作为数学分析的基础也得到了深入的探讨，严格的极限理论连带着彻底消灭了希帕索斯悖论。也为二十世纪的主要数学问题实数论的矛盾性问题以及后期的集合论开疆拓土。

第三次数学危机 人人自危的逻辑思维

数学悖论具象化

自从集合论的横空出世，数学界的基础理论似乎终于被安全地保护了起来，整个现代数学气氛温暖安逸。集合论的无矛盾性成为了天底下的最强的盾。这一切归功于在十九世纪下半叶，我们现在所称的朴素集合论，也就是包含了数学中最基础的公理化逻辑的这样一块垫基石，被数学石匠康托尔所雕琢出来，托起了数学基底的千钧重担。

而第三次数学危机，是一场矛盾，却又恰似以彼之矛攻彼之盾的一场闹剧，伴随着罗素悖论在1903年的发生，又一次席卷了数学界。1918年罗素在用通俗易理解更平民化过后的一个解释——理发师悖论说明了其中的矛盾：一位理发师只为所有不给自己刮脸的人刮脸，有一天理发师看见自己的胡子长了，那么他能否给自己刮脸？概括出的原则造集的任意性与生成集合的客观规则的非任意性之间的矛盾，像是集合论自己给了自己一拳，这个悖论像是冲锋前的集结号，连同之前的一些细微矛盾向集合论本身发起了进攻，整个数学体系又一次在根基上发生了12级的大地震，而这次，受到挑战的是数学本身的严密与逻辑性。

罗素

这一次，面对数学危机，数学家们开始了新一轮对于理论的缝补与重置，数理逻辑新学科的现代数学以不同的分支开展进行，其中就包含了证明论，时至今日，第三次数学危机余威犹在，数理逻辑学科与数学基本理论的悖论仍未完全消除，矛盾依旧存在，但是从哥德尔不完全性定理，策梅罗——弗伦克尔的集合论公理体系，罗素的类型论等一系列成果可见，新一轮的理论发展正在进行中，人类仍在为解决矛盾而努力，正如哥德尔不完全性定理已然为人工智能等领域服役许久，解决了一揽子机械与思维的基础矛盾，我们可以继续拭目了。

总结：理论矛盾的出现以三次数学危机为爆发点，悖论的产生为线索，串联起了数学发展史的这一串珍珠，也在其中起到了巨大的推动作用。数学的发展与矛盾斗争相伴随，是一场从未止息的战斗，而矛盾，恰恰又是这条数学长河中滚滚不息，奔腾不止的一线大潮，推动着数学一次次惊涛拍岸，乱石穿空。数学的本质是实现一种现实与理论的割裂，以进行对于数量的深度研究。

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