導語：在奔流不息的歷史長河中，逐支分流緩緩而下，數學綴飾其中，發展至今。其中，數學的發展就經歷過三次關於基礎理論的危機。三次對數學理論進一步的新發現令當時的主流學說產生了不可迴避且無可爭議的理論漏洞與邏輯矛盾。

一般來講，危機作為一種不解決就無法更近一步的激烈矛盾，從哲學上來看，是無處不在的、不可避免的，即使是說一不二力求精確著稱的數學也難脫干係。自然而然，這既是對已有數學的危機與挑戰，也是象牙塔中新探索的契機與動力，也正是這幾場學術上的危機從哲學的矛盾角度客觀上大跨步地推動了數學史的進步，為這座大廈的落成奠定了堅實的基礎。

而以有無限之區分、連續還是發散、存在亦或是構造、具體抽象、概念計算為例的一系列矛盾，終於也是你方唱罷我登場，以一線貫穿但又枝狀發展的形態參與了整座部頭的數學史，以產生與解決兩大需求與動力作為燃料，燃起了數學的滿天光彩。歷史的前車之鑑告訴我們，在矛盾的激化蔓延到涉及整個數學的基礎時，數學危機就作為一種機制發生。而危機的解決，往往能給數學帶來一籮筐的新意：新內涵、新進步、新變革。

接下來筆者將以時間作為線索，展開對於三次數學危機的分析。

第一次數學危機 自我覆滅的古老學派

畢達哥拉斯

2000多年前公元前五世紀，古希臘的畢達哥拉斯創立了神秘主義學派——畢達哥拉斯學派，學派涉及政學哲三大方面三大領域，亦被稱為南意大利學派。而其本人最廣為人知的成就是證明了畢達哥拉斯定理，也即我們所稱的勾股定理。而畢達哥拉斯學派以美為引領，格外注重美學，也因此由衷地為整數所蘊含的天然無雕飾之美所吸引，塑造出了他們的哲學基石與信條——命題"萬物皆數"，也即一切數均可表示成整數或整數之比。然而作為畢達哥拉斯學派成員也是畢達哥拉斯門徒之一的希帕索斯（公元前470年）以等腰直角三角形的斜邊為實例，發現了第一個無理數的存在。由此如同天外隕石般的希帕索斯悖論誕生也成為了古希臘數學界與哲學界的一場軒然大波。

希帕索斯畫像

它就直接忤逆了眾多當時的主流認識，動搖了幾乎所有的基礎認知，不失為是一場大風暴，更恐怖的是對於這種既成的後果，無能為力與無可奈何成為了數學家們僅剩的堅持，而希帕索斯本人也成為了無知的祭品，被沉於水底而亡。畢達哥拉斯學派的基底也開始由此分崩離析。數學史上的第一次危機徹底爆發。我們也由此第一次見識到了矛盾在數學發展史中的威力，它從根本上摧毀了一門古代正在發源的學術泉眼，並且令基於當時的基本社會認知的數學家們陷入無力挽回的敗局，這是由於數學的矛盾本質產生，但是其客觀上令古希臘數學改道易轍，走向光輝。

而這一次危機的爆發以無理數的存在矛盾為初始，以古希臘數學體系的崩潰、歐式幾何與古典邏輯的誕生為高潮。整數的尊崇地位因這樣不唯一的矛盾受到挑戰，於是幾何學在希臘數學登上無上寶座。從此由自冾自明的公理出發，演繹式推理式證明的過程應運而生，並由此建立幾何學體系，這成為了古希臘數學的一條獨樹之路。可以見得，上述作為數學危機的自然產物，第一次數學危機不僅僅是一場數學思想的暴風般的革命。

第二次數學危機 累卵之上的無窮小量

到了十六、十七世紀，微積分學這一門無窮小演算在牛頓和萊布尼茨的共同拉開帷幕下登上歷史舞臺，這兩位奠基者統一出了互為逆運算的微分和積分法並將其明確計算出來。微積分的普遍泛用性全包圍了許多新問題的產生、同時也覆蓋了求曲線長度和曲線所包圍的面積等基礎問題的需求，這讓其成為一時無兩的後起之秀，成為了一門重要工具。

然而，當時的微積分學理論基礎更像是東拼西湊的一個臨時產物。以無窮小量究竟是不是零的一系列的矛盾，就如同微積分學誕生時欠下的債，而微積分此時已經債臺高築。而以貝克萊主教為先鋒的無數催債人從未停歇的攻擊，也把又一次的大矛盾大危機作為標靶，引發了第二次數學危機。

1734年"貝克萊悖論"的誕生給了實用主義者達朗貝爾所謂"把房子蓋得更高些，而不是把基礎打得更加牢固"的言論致命一擊，貝克萊用"依靠雙重錯誤得到了不科學但卻正確的結果

貝克萊畫像

這無疑的一個矛盾在形式邏輯上被判決了死刑，也使微積分的支持者們陷入了異常尷尬的境地，數學界此時一片譁然，面對貝克萊的針鋒相對，發明微積分者自然試圖通過將微積分大廈的地基重構來擺脫矛盾，但屢次失敗。微積分學的兩大戰場，實際應用已然收官，邏輯理論卻死於了糧草輜重。微積分的應用與理論的矛盾之爭一時間令這個風光無兩的銳利工具銷聲匿跡，卻又令數學學術的爭論開出了新的花朵，花香滿園。矛盾雖然扮演著一次次的反派角色，卻如肥料般滋養了新的土壤。

第二次數學危機的影響一直持續到十九世紀二十年代，波爾查諾、狄利克雷、阿貝爾、波西、魏爾斯特拉斯、戴德金和康託等一眾名字鐫刻在其後的豐碑，熠熠生輝。之後近六十年的理論發展，為數學分析這一門數學的大基礎平復了動盪，實數論作為數學分析的基礎也得到了深入的探討，嚴格的極限理論連帶著徹底消滅了希帕索斯悖論。也為二十世紀的主要數學問題實數論的矛盾性問題以及後期的集合論開疆拓土。

第三次數學危機 人人自危的邏輯思維

數學悖論具象化

自從集合論的橫空出世，數學界的基礎理論似乎終於被安全地保護了起來，整個現代數學氣氛溫暖安逸。集合論的無矛盾性成為了天底下的最強的盾。這一切歸功於在十九世紀下半葉，我們現在所稱的樸素集合論，也就是包含了數學中最基礎的公理化邏輯的這樣一塊墊基石，被數學石匠康托爾所雕琢出來，托起了數學基底的千鈞重擔。

而第三次數學危機，是一場矛盾，卻又恰似以彼之矛攻彼之盾的一場鬧劇，伴隨著羅素悖論在1903年的發生，又一次席捲了數學界。1918年羅素在用通俗易理解更平民化過後的一個解釋——理髮師悖論說明了其中的矛盾：一位理髮師只為所有不給自己刮臉的人刮臉，有一天理髮師看見自己的鬍子長了，那麼他能否給自己刮臉？概括出的原則造集的任意性與生成集合的客觀規則的非任意性之間的矛盾，像是集合論自己給了自己一拳，這個悖論像是衝鋒前的集結號，連同之前的一些細微矛盾向集合論本身發起了進攻，整個數學體系又一次在根基上發生了12級的大地震，而這次，受到挑戰的是數學本身的嚴密與邏輯性。

羅素

這一次，面對數學危機，數學家們開始了新一輪對於理論的縫補與重置，數理邏輯新學科的現代數學以不同的分支開展進行，其中就包含了證明論，時至今日，第三次數學危機餘威猶在，數理邏輯學科與數學基本理論的悖論仍未完全消除，矛盾依舊存在，但是從哥德爾不完全性定理，策梅羅——弗倫克爾的集合論公理體系，羅素的類型論等一系列成果可見，新一輪的理論發展正在進行中，人類仍在為解決矛盾而努力，正如哥德爾不完全性定理已然為人工智能等領域服役許久，解決了一攬子機械與思維的基礎矛盾，我們可以繼續拭目了。

總結：理論矛盾的出現以三次數學危機為爆發點，悖論的產生為線索，串聯起了數學發展史的這一串珍珠，也在其中起到了巨大的推動作用。數學的發展與矛盾鬥爭相伴隨，是一場從未止息的戰鬥，而矛盾，恰恰又是這條數學長河中滾滾不息，奔騰不止的一線大潮，推動著數學一次次驚濤拍岸，亂石穿空。數學的本質是實現一種現實與理論的割裂，以進行對於數量的深度研究。

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