艾伯史密斯
数学上有许多让人眼前一亮的证明，其中只勾股定理的证明过程就可达十几种，我们下面就来看看。
勾股定理是我们初中数学的内容，属于平面几何的定理，就是在一个直角三角形中，两个直角边分别为a,b。斜边为c。那么，a²+b²=c²。
如何证明呢？
第一种，赵爽证明法。
我们可以以a和b为直角边，其中b＜a，以c为斜边分别做四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如下图所示的一个大正方形。那么，
组成的大正方形的面积就是c²，而这四个同等的直角三角形的面积为1/2ab，所以四个直角三角形面积之和为4×1/2ab=2ab
而中间的蓝色的小正方形边长为a－b，所以小正方形的面积就是（a－b）²
所以中间蓝色小正方形的面积就等于外面大正方形的面积减去四个直角三角形面积之和，也就是，（a－b）²=c²－4×1/2ab
a²+b²－2ab=c²－2ab
所以就可以得出，a²+b²=c²
第二种是邹元治证明法。
还是做以a,b为直角边，c为斜边的直角三角形，将四个全等的直角三角形拼成下图的形状，可见，这四个三角形拼成了一个正方形。就可以通过正方形面积公式，直角三角形面积公式来证明勾股定理。
如图所示，外面大正方形的边长为a+b，所以它的面积就是（a+b）²，而三角形的面积为1/2ab
我们从图中可以看出内部是由三角形的斜边c构成的一个正方形，所以它的面积就是c²
中间小正方形的面积就等于外面大正方形的面积减去四个直角三角形面积之和。
也就是，c²=（a+b）²－4×1/2ab，
c²=a²+b²+2ab－2ab
所以，c²=a²+b²
其实，关于勾股定理的证明方法有十六种，还有美国总统证明法，课本证明法，梅文鼎证明法，项明达证明法，欧几里得证明法，杨作梅证明法，相似三角形证明法，李锐证明法，切割线定理证明法，多列米定理证明法等等，今天就暂时先讲了这两种。
其实在数学史上还有许多有趣的证明，你们还知道有哪些吗？
时间史
看了几个回答谈到了反证法，想起了我一直的一个疑惑，和题目关系不是很大，我觉得反证法本身可能就有问题。
我高中的时候有一次数学练习题，有一道证明题，具体我忘了，总之大概就是给了一些条件，最后证明k>2，我当时就没有解出来，后来老师讲题的时候用的反证法，倒推后证明k<=2时与题目给定的条件不一致，所以k>2成立，其实这种题高中时倒也常见，但我当时突然有点疑问，就问了老师一个问题，如果我不去证明k<=2时不符合给定的条件，而是去证明k<=1时不符合给定的条件（这个肯定是成立的，因为k<=2的区间包含k<=1），那么这个题不就无法证明了？怎么确认“2”是恰好的分界点？也许还有"2.1"、“3”啊，老师让我证明一遍，我用反证法很快照着老师的思路证明k<=1时，不符合题目给定的条件，所以k>1(事实上，k>1包含k>2)，老师当时也有点懵，我当时学习不是那种很好的，老师就说让我别考虑别的数字，既然题目是2，就用2。所以，我一直到现在都觉得反证法本身是有局限的，甚至是有问题的。当然，一家之言，我本身数学也不大好，如果不对请勿喷，如果有人能解答疑惑，万分感谢。
看了很多回复，我觉得应该重申一下我要说的关键，我不是说这个题怎么样，我是对反证法这种证明方法有异议，因为这种证明题，一般都是根据条件推导出结论，几乎没用过反证法。如果把这个题改一下，其他条件都不变，但改成不知道结论的求解题，大家随便假设一个数，然后反证法证明了，这个过程也没有问题，但明显不对，再说如果我反证法证明了k>3，那算不算对？如果一个证明方法等得出很多不同的结果，还有什么意义？这里重点是那个恰好的节点，如果能证明2就是那个节点，那就不需要用反证法了。
流落星空
说一个小时候，寒木死活想不明白，仅靠记忆做题……
长大了，看到证明后，才心服口服的东东。
证明过程超级简单，小学三年级的人都能看懂。
除数不能等于零！
这是小学老师告诉我们的，但那时，他们很少告诉我们，这是为什么。
他们大多只会一边敲着黑板一边大喊：除数等于零，没有意义！没有意义！
这个“没有意义”实在是太难以理解了，折磨了寒木很长时间。
现在，我们用反证法来证明一下：
假设，0可以作为除数，则：
0×1=0
0×2=0
所以：
0×1=0×2
因为0可以作为除数，所以……
两边再除以0，得：
化简一下：
得：
1=2
矛盾，所以，0不能作为除数。
小学六年级的时候，如果老师能给我们这么证明一下，我们就不会去深入思考，那个“没有意义”到底是个什么意义了。
最后，来一个趣味题。
话说，有4个算命先生，分别是A、B、C、D先生。其中：
A先生：准确率10%，收费5元；
B先生：准确率45%，收费10元；
C先生：准确率60%，收费15元；
D先生：准确率80%，收费20元；
那么，你该选择哪个呢？既要追求准确率，还要追求性价比，能同时做到吗？
答案太容易了。
这样去思考，A先生的准确率只有10%，那就说明，他的错误率就是：
1-10%=100%-10%=90%
因此，你每次去找他算命，如果他说：
小伙子，你今年没有桃花运，要2020年才有哦。
则：
你今年拥有桃花运的概率是90%。
但你只需要花5块钱。
寒木钓萌
我业余数学兴趣者。有人证明：0.999…=1 证明大致可为
因为 1=3/3
=1/3+2/3
=0.333…+0.666…
=0.999…
所以 0.999…=1
我以为上述证明漏洞，严谨地讲 1/3、2/3应当表述为：
1/3=0.333…+无穷小量
2/3=0.666…+无穷小量
其符号…仅表述了无限循环数，
所以 1=1/3+2/3
=0.333…+无穷小量+0.666…+无穷小量
=0.999…+无穷小量
而 0.999…不等于0.999…+无穷小量，
所以 0.999…不等于1
以上为我业余数学兴趣者陋见，喜诸位老师指正。
甘云雄
生日悖论，一个班有50个学生，存在相同生日的概率为97%。怎么算的很简单，但就是结果让你想不到。
陈卓0119
1.证明你妈是你妈
2.证明1=0.99999999999999999999999999999999999999999999999
3、证明e∧iπ+1=0
4、證明E=MC²
哇长门
和伽利略的“物体落地速度与质量无关”的论证相比，其他的都弱爆了。
按照从前，甚至现在一部分人的固有思维，如果一个大铁球一个小铁球从同样的高度自由落体，应该是大的铁球先落地。
如果要论证这条理论的错误，很多人可能会从空气阻力、物体质量、受力形状等方方面面分析。
可是伽利略用了一个极其简单的办法论证，他就发问：如果把两个铁球用绳子连起来，那么速度又会怎样？
这就是一个悖论：按理，大小铁球连在一起，一个速度慢一个快，那么速度应该是二者平均。可是两个铁球连在一起，质量是大于大铁球的，应该比大铁球下落速度更快。
于是伽利略论证物体自由落体速度与自身质量无关。并当众演示（历史上并没有记载是在比萨斜塔）
在美国的阿波罗计划里，宇航员在月球也重复了这个实验。
只是一根绳子就打破了人的固有印象，没有任何说教与繁复的证明，就是小学生也可以轻易理解，要说论证的巧妙名副其实，还带火了那座本是建筑失败品的比萨斜塔。
用户11571625180
也算是对几十年数学学习的一个小结吧。
列一下从小到大给予我震撼的数学证明：
四年级：证明√2是无理数（亚里士多德），第一次接触反证法。另一类似的题是欧几里得证明素数有无限个。
六年级：3*3*3的立方体可否只用5刀（每次可以重组）切成27个单位小立方体？答案是不能（因为中心的单位立方体的6个面都需要刀切），这是我第一次学习寻找数学问题中的“不动点”，或者说是“特征值/函数”
初二（数竞班）：任意阶线性递归数列求通项。当时对这个“特征方程”深感神秘，直到后来上大学才意识到这是微积分的基本应用。
高一：证明有理数和自然数一样多，第一次接触到集合论和“一一对应法则”。
高三上：尽管高联拿到了省第一，但第二试的第二题只做出一半。这题本身不值一提，但当时让我意识到自己的数学水平还停留在冷兵器时代：还没有掌握“火药”，即微积分思想。
高三下（集训队）：证明无理数比有理数多（类似的：无穷集合幂集>原集），被康托尔精妙的“对角线方法”折服。
大一：e的一切，罄竹难书的美妙！微积分也从此变得有趣。
大二：欧拉公式的推导，你无法不对欧拉的敏锐和深刻顶礼膜拜。
大三：古希腊三大尺规作图问题不可解，五次以上方程没有一般根式解。天才伽罗华！抽象代数也是我最喜欢的数学课之一。
入行工作后第一年：算术编码理论，花一晚上看懂后大脑高潮了好久。
…
最近一次是几年前，看到绝对反常识的banach-tarski定理的证明，太tm漂亮了！
其实还有很多极其精彩的数学证明，不过大多超出了我的知识范围，只能不明觉厉。
帖木兒
数学一向以严谨的思维著称，每一步推理都需要严格的理由。但在数学历史中，漏洞百出的数学推理也频频出现。有趣的是，即使是这些不严格的思路也充满着智慧，在数学中的地位不亚于那些伟大的证明。今天笔者举例几个经典让人拍案叫绝的异类证明，来说明在数学里证明有时也是可以耍流氓的。
1.勾股定理得的无字证明
这个大家小学就学过的古老定理，有着无数传奇故事。我可以很随意的写出她的10个不同的证明方法。而路明思（Elisha Scott Loomis）在 《毕达哥拉斯命题》（ Pythagorean Proposition）提到这个定理的证明方式居然有367种之多，实在让人惊讶。这里给出一个不需要语言的证明方法。
最直观的证明：
实际上勾股定理是余弦定理的一种特殊情况，而余弦定理的证明，同样可以不用语言。
2.欧拉的流氓证明法
在数学史上，很多漂亮的定理最初的证明都是错误的。最典型的例子可能就是 1735 年大数学家欧拉（Euler）的“证明”了。他曾经仔细研究过所有完全平方数的倒数和的极限值，并且给出了一个漂亮的解答：
这是一个出人意料的答案，圆周率 π 毫无征兆地出现在了与几何完全没有关系的场合中。欧拉的证明另辟蹊径，采用了一种常人完全想不到的绝妙方法。他根据方程 sin(x)/x = 0 的解，对 sin(x)/x 的级数展开进行因式分解，再利用对比系数的方法神奇地得到了问题的答案。不过，利用方程的解进行因式分解的方法只适用于有限多项式，在当时的数学背景下，这种方法不能直接套用到无穷级数上。虽然如此，欧拉利用这种不严格的类比，却得出了正确的结果。欧拉大师耍了一个漂亮的流氓。
3.几何平均值小于算术平均值
这是不等式中最重要和基础的等式：
它也可以通过图形来证明。
注意到△ABC∽△DBA ,可以很轻松地得到AB=√ab。剩下的就显而易见了。
4.最受数学家喜爱的无字证明
1989 年的《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）上有一个貌似非常困难的数学问题：下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分），证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。
《美国数学月刊》提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等。
它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝。这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。死理性派曾经讨论过 这个问题 。同时它还是死理性派logo的出处。
5..棋盘上的数学证明
在一个8×8的国际象棋棋盘上，我们可以用32张多米诺骨牌（是两个相连正方形的长方形牌）覆盖整个棋盘上的64个方格。如果将对角线上的两个方格切掉，剩下来的62个格子还能用31张骨牌覆盖住吗？
答案是不能的。每一张骨牌在棋盘上必是覆盖住两个相邻方格，一白一黑。所以31张骨牌应该可以盖住31个黑格和31个白格。而这被切了角的棋盘上的方格有32个是一种颜色，另一种颜色是30个，因此是不能被31张骨牌覆盖的。
但是如果我们切掉的不是颜色相同的两个呢？假如我们从棋盘的任何部位切掉两个颜色不同的方格，那么剩下来的62格是否一定能被31张骨牌完全盖住？我可以告诉你这是一定能做到的,并且关于这个结论，存在一个非常漂亮的证明。建议读者在继续往下阅读前，可以先自行思考如何证明这个结论。
上图就是那个漂亮的证明。不妨对它再赘述两句。粗黑线条将整个棋盘转变为一条首尾相连、黑白格相间的封闭路线。从这棋盘上切掉任何两个颜色不同的方格，会让这个封闭线路变成两段线路（如果切掉的方格是相连的，那就是一条线路）。在这两段（或一段）线路中，两种颜色的格子数量都是偶数，故分别都可以被若干张骨牌覆盖。从而证明整个棋盘可以被31张骨牌完全覆盖。
这个著名的棋盘问题是数学游戏大师马丁•加德纳提出的，而上述精妙绝伦的证明则是数学家哥莫瑞（Ralph Gomory）找到的。它们后来被收录在《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》这本书里。
6.旋轮线的面积求解
车轮在地上旋转一圈的过程中，车轮圆周上的某一点划过的曲线就叫做“旋轮线”。在数学和物理中，旋轮线都有着非常重要而优美的性质。比如说，一段旋轮线下方的面积恰好是这个圆的面积的三倍。
这个结论最早是由伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）发现的。不过，在没有微积分的时代，计算曲线下方的面积几乎是一件不可能完成的任务。伽利略是如何求出旋轮线下方的面积的呢？
他的方法简单得实在是出人意料：它在金属板上切出旋轮线的形状，拿到秤上称了称，发现重量正好是对应的圆形金属片的三倍。
在试遍了各种数学方法却都以失败告终之后，伽利略果断地耍起了流氓，用物理实验的方法测出了图形的面积。用物理实验解决数学问题也不是一件稀罕事了，广义费马点（generalized Fermat point）问题就能用一套并不复杂的力学系统解出，施泰纳问题（Steiner tree problem）也可以用肥皂膜实验瞬间秒杀。
中学数学深度研究
这个问题是很带有主观色彩的，毕竟每个人看法不一样，我只说出我认为数学上好的证明过程。
无理数的无理数次方可能为有理数
说实话无理数的无理数次方让人听起来就有点头晕，现在还要证明其结果可能为有理数。有些数学不好的人可能脑袋都要大了。
但总有一些人我们理解不了，例如这种证法若根号2的根号2次方为有理数，命题得证以得证。如果这个数扔为无理数那么:
此时我们同样得到了一个无理数的无理数次方是有理数的例子。怎么样，是不是想拍案叫绝？
中国古人对勾股定理的证明
勾股定理没有人不知道，但是这只是以我们现在的眼界去看。想想我们的古人在千年之前就能够证明了！
这是三国时期赵爽的证明过程:
三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方、青放并成弦方。依其面积关系有a^2+b^2=c^2.由于朱方、青方各有一部分在玄方内，那一部分就不动了。 以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。以赢补
虚，只要把图中朱方（a2）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形（c……2 ）。由此可证勾股定理。
其他证明
其实数学上让人惊叹的证明过程有很多很多，仔细翻一翻自己的高中数学书或者高等数学书你会发现很多证明过程简直令人惊叹，有时忍不住会想，他们的脑回路是怎么转的。
数学史上，比如费马大定理的证明，关于积分的证明，哥德巴赫猜想等等都是人类智慧的结晶。
你碰到过什么让你赞叹的数学证明吗？
