1948 年，康奈爾大學的年輕物理學家 R·P·費曼在《物理學評論》雜誌上發表了一篇名為《量子電動力學的時空方法》的論文。在這篇論文中，費曼介紹了一種使用矩陣來解決量子電動力學問題的新方法。然而，直到今天，人們也無法忘記費曼最偉大的發明——費曼圖。
利用數學圖形來描述亞原子粒子之間相互作用的費曼圖給物理學帶來了極大的影響。從數學角度來看，粒子相互作用的級數趨於無限。因此，即便這種相互作用比較簡單，我們也還是需要用十分複雜的數學表達式才能表示出來。
費曼的過人之處在於，他僅利用簡單的線形圖像就表示出了相互作用的級數。費曼圖讓科學家們得以用一種全新且令人興奮的方式思考粒子物理學。
隨後，費曼和其他物理學家立即用這種簡略圖形拓展了自己的思路。曾與費曼在上個世紀八十年代一起工作過的美國物理學家弗蘭克·維爾澤克曾經寫道，“要是沒有費曼圖的幫助，我就無法計算出結果，也拿不到 2004 年的諾貝爾獎。”
當然，許多其他的物理學領域也依賴於複雜的數學計算。有趣的問題來了：我們是否能像費曼那樣，利用圖形信息來簡化複雜的計算，並開啟一個以新方法為主的嶄新時代？
向量微積分是十分常見且非常好用的數學工具。韓國首爾大學的金俊輝和同事們設計了一個與費曼相似的方法，用簡單的圖形表達出了向量微積分。研究人員說道，“就像費曼圖給量子理論研究領域帶來了變革，我們預計用圖形表示的向量微積分也會讓相關的學習以及應用變得相對輕鬆。”
先講一些背景知識。向量微積分是數學的一個分支，主要研究向量場的微分與積分。它在物理學領域中有著舉足輕重的地位，因為宇宙中幾乎所有的向量場——電磁場、引力場、流體流動等等，都可以用向量微積分來表示。
這也是為什麼每個物理學以及工程學的本科生都要花上大把的“快樂”時間，來解決相關的數學難題或去理解其晦澀難懂的表達式符號。問題在於向量場是一個複雜的實體——向量場將單個向量分配到三維空間中的每一個點，我們還可以用一個更加複雜且被稱作微分流形的數學方法來表示這些向量。所以，簡單來說，一個向量場是無數個向量的集合。
在數學中，我們使用指數計數法來表示這些向量場。單個向量寫作 ai，在三維空間中 i=1、2 或 3。另一種寫法是：= [a1, a2, a3]。
當這些量以數學的方式相互作用時，問題就出現了。我們可以使用標量乘以向量場，也可以使用點積和叉積這兩種不同的方式乘以向量場。計算的結果將會十分複雜，並形成一個巨大的多維矩陣。
在所有的情況下，我們必須仔細地追蹤向量場的指數。任何物理學家都清楚把一個指數弄丟有多麼的容易，也清楚把它們找回來有多麼的困難。
之後，另一個挑戰出現了。研究人員要弄明白這些向量場會隨著時間以及一些其他變量的改變而發生怎樣的變化。這是微分中的問題，因此物理學家們已經發明出了一系列叫做算子的工具——也許其中最著名的當屬微分算子。
金俊輝和同事們所取得的進步就是開發出了能夠取代指數記數法的圖形表示法。研究人員用有一條線連著的方框表示單個向量。相比之下，並沒有線從標量中延伸出來。
當兩個向量通過點積相乘時，其得到的結果就是標量。金俊輝和同事們的圖示法會自動錶示出這一結果。在點積中，與兩個相連向量相關聯的線會得出一個外部無線的物體——換句話說，這就是一個標量。
然而，兩個向量之間的叉積又會產生另一個向量。研究人員的圖示法同樣會自動將其表示出來。叉積的圖形是一個英文字母“Y”，來自兩個向量的線會與另一個向量相連接並向外延伸。換言之，又形成了一個向量。
這僅僅只是一個開始。研究人員又繼續用圖示法來表示更多其他的數學工具，例如微分算子以及向量微積分中用到的各種重要工具。他們還將研究成果應用到了張量之中，這是一種更加複雜的數學概念，每一個都具有兩個或更多的指數。
研究結果價值極大。就像費曼圖那樣，金俊輝和同事們利用他們的圖示法，將複雜的數學表達式轉化為與之相關的簡單圖形。他們表示，“圖形語言非常直觀，並且能夠自動地簡化張量表達式。”
這種圖示法的應用範圍很廣。金俊輝和同事們表示，他們的方法使得向量場微積分具備了可視化的特點，而整個過程卻並不像玩樂高積木那樣。研究人員說道，“孩子在玩樂高積木以及磁性積木這類益智玩具時，快樂的體驗就像在‘舞蹈圖片上塗鴉’。如同費曼圖這種用來解釋基本粒子微觀作用的最自然的圖像語言一樣，我們的方法也是向量微積分系統中最簡潔的表達。”
費曼圖無疑改變了物理學家思考粒子物理學的方式。然而，作為現代物理學以及工程學數學基礎的向量微積分甚至具有更大的應用範圍。
最大的問題在於，這種方法的應用範圍到底有多大。它的答案將決定這種圖示法究竟是會變革我們思考物理學的方式，還是會在數學方法的歷史上留下奇怪的註腳。但無論出現哪種情況，費曼都將無比欣慰。
閱讀更多 麻省理工科技評論APP 的文章
