“給我空間、時間及對數，我就可以創造一個宇宙。”（伽利略）
1946年，ENIAC的問世宣告電子計算機時代的來臨.ENIAC是為了滿足美國奧伯丁武器試驗場彈道計算而研發的. 該計算機驚人的運算能力使得數學家們“受寵若驚”，要知道在這之前的幾百年間，進行復雜的計算還不得不依賴基於 “對數表”的手工計算.
這是一次革命性的嘗試，就像16世紀對數的發明一樣，它們都改變了人們對於計算的認識，並使運算變得比之前更容易.那古人是如何進行數學運算的呢？看一個簡單的例子：
16世紀以前人們只能依靠純粹的、大量的複雜乘除/開方運算，這樣會耗費他們很多的時間。有沒有方法可以簡化“乘除/開方”運算呢？三角學在古阿拉伯時期已經發展成熟，數學家們經過探索自然能發現：“積化和差”公式可以將“乘除關係”轉化為“加減關係”.這是一個很好的想法，因為加法運算比乘法運算要好算得多。
但這樣一個公式並沒有被普及開來，雖然當時對於三角函數的運用已比較嫻熟，但是無論對於尋找原函數、還是涉及到多個乘除運算時，這樣的公式都很複雜.
不同的人對於不同的事物有不同的理解，“積化和差”公式到了16世紀著名數學家納皮爾這裡卻成了寶貝。他不照搬公式但洞穿了這個公式的本質——“乘法”變“加法”，並將其運用到自然級數與幾何級數的對應關係上.
為了更好理解納皮爾的想法，我們先來看一個樸素的想法：
如果要計算8*32=？。如表一，
我們只需要找到8所“對應”的指數3
及32所“對應”的指數5，
並將其相加得到3+5=8
再返回去找出8所“對應”的冪256.
就可得到8*32=256.
再來一個難度大一些的，我們要計算
59049*1594323=?
如表二，注意到59049“對”的指數為10，
1594323“對”的指數為11，
兩者相加10+11=21，
再找到21“對”的冪為10460353203.
因此59049*1594323=10460353203.
從上面兩個例子我們可以看到，這樣一個“對應”的計算方法可以巧妙的將“乘法”變“加法”，進而大大簡化運算。而且計算的關鍵在於製作類似上面的這樣一張“表”.將一個數與它的冪相“對應”，但是不同的底會有不同的計算方式，如何選擇一個高效實用的底數呢？
應該以那個數作為底？納皮爾思之再三，最後決定：為了使得冪增長較快，並儘量避免小數的出現，他選擇了1-1/10^7，即0.999 999 9。並從10^7開始，依次計算得到
作為第一張表. 緊接著，以1-1/10^5等為底又繼續作了另外3個表.這樣的4張表合在一起，形成了數學史上第一份“對數表”.
就是這樣一份簡單的“對數表”，納皮爾卻用了整整20年時間。很不可思議吧，身在21世紀的我們簡直無法想象：僅用最簡單的工具——紙和筆，是如何完成這樣一份高強度、精度又高要求的工作的. 這讓我想起了我國著名數學家祖沖之將圓周率π計算到小數點後7位，網上很多人說這有什麼了不起的，國人就喜歡拿領先世界幾百年說事，但真的是這樣的嗎?
“哥倫布的雞蛋”告訴我們，不要用我們現在的思維理解過去的事情，因為我們之所以覺得很簡單，是因為發現者已經告訴了我們是這樣的，但如果現在它仍然懸而未決，我們就知道自己的無知了。
對納皮爾我們應該以十分嚴肅的態度表示尊敬，他對計算進行了徹底的改革，這一改革以迅雷不及掩耳之勢傳遍歐亞. 作為東方霸主的大清帝國，18世紀初也在東方傳教士的傳播中知曉了“對數”的運算法則，並予以翻譯為“對數”。
對數(logarithm)願意為“比數”，即等比數列各項中公比的次數.清代傳入我國後，根據《數理精蘊》下篇卷38記載：“對數比例，乃西士納皮爾所作。以假數與真數對列成表，故名對數表....”
納皮爾的“對數表”很精細，但是這樣一個對數系統不利於性質的研究.
比如我們熟知的對數運算定理（乘積的對數等於各自對數的和）就不成立.
儘管尚有不足，但是納皮爾的“對數表”一經發表就受到狂熱的追捧，很多天文學家（如開普勒）從中受益。而當時英國的著名幾何學教授布里格斯(Henry Briggs,1561-1631)聞訊後更是親自拜訪了納皮爾.建議使用10代替1-1/10^7作為底數，並將1的對數值定義為0（注意到，納皮爾對數系統中，10^7的對數值為0）.這就相當於N=10^m（或，m=lgN）.
這樣的改變使得對數更簡潔適用，讓納皮爾沒有辦法拒絕。緊接著布里格斯便開始編制這樣的新對數表，並於1624年發表在他的《對數的算術》一書中，此表300多年來只被改動了一點點，並一直延用到21世紀.
有了對數表，現在讓我們一起來解決前文提出的問題：
首先，兩邊取對數，得到
查表得到：lg493.8=2.6935, lg23.67=1.3742, lg5.104=0.7079.計算得到lgx=1.578. 再次查表得x=37.84.
對數的用途在這樣的一個計算中扮演了重要的角色，但是這已經是被改良後計算方式。對數誕生於16世紀，經過17世紀的發展，但要直到18世紀（1727年）才成為了現在的樣子. 沒錯，這依舊歸功於我們常提起的著名數學家歐拉.
歐拉
對數和指數是獨立的個體嗎？它們之間有沒有更密切的關係？大神歐拉告訴我們，對數與指數具有互逆關係。用符號表示為：
對數的發現先於指數，但同時“對數又源於指數”。兩者為不可分割的整體。
1617年之前納皮爾發現了“對數”，1637年法國數學家笛卡兒提出了“指數”的概念，1770年歐拉將這兩者完美統一，到現在“對數”已從計算的工具逐漸延伸到數學多個領域（如酸鹼度PH值、人口模型等），成為了研究數學的必不可少。
笛卡爾
對數因計算而生，隨著電子計算機的普及，對數之於計算的核心位置已漸漸被計算機所替代，但對數並沒有因此而消亡。 正如Maor在《e的故事——一個常數的傳奇》中所說：
就算對數失去了在計算中的核心地位，對數函數仍然是幾乎所有數學分支的核心，無論是純數學還是應用數學，它出現在從物理學、化學到生物學、心理學、藝術和音樂的各種實際應用中。
參考文獻：
[1]. Eli Maor. e的故事——一個常數的傳奇.人民郵電出版社.2010.7
[2]. 汪曉勤.HPM:數學史與數學教育.科學出版社.2017.5
閱讀更多 數學原來如此 的文章
