演讲者:丘成桐院士
时间:民国107年12月27日
地点: ICCM 2018,集思台大会议中心
总论
数学大概是科学中最古老的学门, 也是所有科学的基础。数学这门学问已经发展了数千年, 其中有两个始终未改变的要素： 「数」与「形」, 也就是理解整数结构及物体形状, 这两者始终是数学家最热衷的研究课题。
几何学是科学的一部分, 完全致力于理解物体的形状。兹描述它对科学的贡献如下。
古希腊的贡献、牛顿力学
上面提到数及几何, 这两个主题实际上是密切相关的。
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更重要的是, 毕达哥拉斯的某门徒发现： 若直角三角形的两个直角边的长度都等于1, 则斜边的长度不能写成两个整数的比。这震惊了整个学派, 因为他们认为宇宙中的一切事物都可用整数来解释。这是几何首次揭示数字结构, 也是数学家首次经由几何扩张数系规模。
简单公理足以推导出极其复杂的物理现象, 这一事实全然符合希腊与西方文化的预期(但对中国人、 印度人、 埃及人和巴比伦人来说则属陌生)。它代表了唯有人类才能够发展的高水平文明。
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微积分与笛卡儿坐标
牛顿结合微分与积分, 根据平方反比定律计算行星运动。他成功解释了著名的克卜勒行星运动定律。微积分的巨大成功, 确立了它在科学中的地位。
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黎曼
但几何学最引人注目的发展是黎曼的就职演讲论文及他的黎曼面理论。它们都以非常内在的方式影响了我们对自然界的理解。
黎曼之前的空间概念, 几乎都取决于直角坐标的固定性。牛顿视空间为静态的部分缘由, 是他认为万事万物都必须藉由宇宙的内在坐标系来度量。我相信, 如果他知道黎曼引入的几何思想, 可能就会有不同的想法。
人们疏于细究黎曼1854 年的著名演讲。他有兴趣发展的空间概念, 要能够理解现实世界的物理本质。他已忧心自己的几何力有未逮, 不足以处理至小及极大尺度的宇宙。
以现代术语来说, 他对量子几何的概念感兴趣。他想知道： 使用非二次方程来量度极大的宇宙的同时, 是否该用离散几何测量极小的尺度。他的主张仍饶富趣味。
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高斯的Theorem Egregium
曲率张量的内在(intrinsic) 定义可回溯至高斯。1827 年, 高斯发表Theorem Egregium (「最好定理」), 名称源于他对自己的定理甚感兴奋。吾人若在三维欧氏空间计算曲面两个主曲率的乘积, 所得之值称为高斯曲率, 是由曲面上的距离度量所完全决定； 换言之, 它与曲面具体嵌入三维空间的方式无关。
要理解这个概念, 我们可审视悬链面(catenoid) 和螺面(helicoid)。它们的外观非常不同, 但它们可经由连续过程形变为彼此, 过程中不会产生皱折或撕裂, 因此不会出现额外的压缩或剪切。高斯曲率在这种变形下保持下变(见下图)。
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再谈黎曼
黎曼创建的, 实际上是一种包含等效原理概念的几何学。他的空间不依赖单一的直角坐标, 也更加动态。这确实突破了牛顿对空间的旧观点。为了充分理解等价原理的概念, 黎曼发展了张量的基本工具, 特别是黎曼曲率张量。
讽刺的是, 历史上关于黎曼曲率的首篇出版品, 是1861 年黎曼提交给巴黎科学院, 争取某奖项而未果的论文。在那篇文章中, 他用黎曼曲率来检测热传导的模式。
重点是, 黎曼曲率张量仅取决于度量张量。黎曼的论文创建了内在几何的新概念, 独立于任何大域静态的笛卡儿系统。
张量分析
1903 年, Ricci 提出张量缩约(tensor contraction)的主张, 取黎曼曲率张量的迹(trace)以形成一个二阶张量, 现称Ricci 张量。
广义相对论、三谈黎曼
这些工作为爱因斯坦的广义相对论奠定了最重要的基础。如果没有这些几何学者及Marcel Grossmann (1878-1936)的基础工作, 很难想像广义相对论要如何创立。
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在推导爱因斯坦方程的较后阶段, 进一步缩约Ricci 张量所得的纯量曲率, 恰好正确地量度了物质分布。这意味着完整的黎曼曲率张量, 测量了时空的完整重力内容。
规范理论、 额外维度理论、 Calabi-Yau 空间
除此之外, Kaluza 对大自然的理论模型做出非常重要的贡献(Klein 后来参与研究, 该理论现称Kaluza-Klein 理论)。Kaluza 是一位数学家。他在平坦的Minkowski 四维时空上添加圆, 从而提出第一个五维相对论。他发现： 藉由爱因斯坦方程在此五维时空的真空解, 可获致有效的四维时空理论, 耦合重力与Maxwell 方程。这是令爱因斯坦十分兴奋的杰出成果。唯一的问题是, 它会产生一个无法在自然界观察到的纯量场(scalar field)。尽管如此, 拓朴及额外维度的思想, 是当代物理极为基本的论题。
弦论(string theory) 的发展显示, 量子化的重力理论可能产生异常, 唯当时空的总维数为10 时, 异常才会消失。从这个意义上来说, 额外维度理论乃势所必然。
时空基态的超对称模型, 是在真空Minkowski 时空上外加六维Calabi-Yau 空间。其中六维Calabi-Yau 空间的尺度非常微小, 迄今创建的最强大机器也检测不到它, 但它的拓朴及几何特性可用来计算质量及基本粒子的相互作用。在物理和数学领域进行的弦论研究, 引发了许多重要的工作。
对偶性
在弦论的进展中, 出现一些出人意表但十分重要的对偶性概念, 统一了诸多看似相异的主题。弦论中的对偶性是概括性的概念, 允许我们执行一些以前束手无策的重要计算。这包括大直径空间与小尺寸空间之间的对偶性。
重力理论与规范理论之间的对偶性, 创建出非常重要的科学思想。它对凝聚态物理学来说也十分重要。
值谱(Spectra)
量子力学是一门以高精确度描述大自然的学科。量子物理非常重要的一项工具是算子值谱。值谱的概念是数学家在19 世纪发展出的, 事实上可回溯至古希腊哲学家。毕达哥拉斯学派辨识出声波中的基音。拨动端点固定的弦时, 可实际产生这些基音。
等周界常数、图论
我们要在所有可能的封闭曲线中最小化这个量。这种形式的常数, 源自对等周不等式的考量； 二十世纪初, 数学家用该不等式估计封闭曲面的第一个非零频率, 如今称之为Cheeger 常数。该常数已被推广至图论； 在图论, 我们希望找到优质的几何裁切线, 分割后讯息得以有效地穿越裁切线。
再谈值谱
在量子物理及任何与波动相关的课题中, 值谱及波的行为该如何理解, 始终是至关紧要的问题。有个植基于几何考量的重要方法。
四十年前, 我提出的一个简单的问题, 引发了众人对该领域的巨大兴趣。该问题是： 取某个基波的节点集(nodal set, 波在该集合中的各点都静止不动); 该集合的长度、 波的特征值的平方根, 两者数量级应相同。事实上, 我们想了解的是： 将节点线(nodal lines) 的长度除以特征值的平方根, 所得的商如何分布。
量子穿隧(Quantum Tunneling)、三谈值谱
另一个有趣的问题涉及量子穿隧： 粒子从一个量子阱(quantum well) 游走到另一个量子阱, 需时多久？它关乎Schrödinger算子的首两个特征值的间隙。要做数值计算很困难, 因为间隙之窄小属指数级。对波函数做几何考量有助于估计这种间隙。
电脑科学、再谈图论
在当代电脑科学, 几何概念大多有其显著的重要性。除了之前提到的概念, 图论也存在等周界不等式和Harnack 不等式的类似概念。当代图论使用了大量的几何概念。
在一般图上, 有一个自然定义的算子, 作用于定义在顶点上的函数空间, 担当的角色类似于平滑流形上的Laplace 算子。该算子的值谱不难计算, 但它揭露了图的大量讯息。图论中有个概念类似于定义在流形上的Green 函数, 出现在Larry Page 的公式中, 用于Google 搜索引擎。
160 多年前, 黎曼在博士论文中引入黎曼面的概念, 其目的是研究复函数的单值化(uniformization), 日后却成为研究曲面几何的至要工具。顾险峰和我把单值化的想法应用于电脑影像的问题。它对许多工程问题很有用, 譬如人脸辨识。
球面几何欧氏几何双曲几何
纹理映射(texture mapping)
援用几何来辅助电脑图学的想法已广受青睐。雷乐铭、 林文伟、 乐美亨等人把它应用于人脸辨识、 医学影像及其他课题。Stanley Osher 和他的团队使用水平集方法, 取得了非常好的结果。
面部表情捕捉
大脑造影(brain mapping)
基于几何方法的生成模型(generative model) 生成的随机面部图像
深度学习(deep learning) 方法执行流形嵌入及机率测度变换。机率测度变换可用最优传输映射(optimal mass transportation map) 来进行, 这相当于微分几何中的Minkowski-Alexandrov 定理, 可以陈述为Monge-Ampère 方程。
---演讲者丘成桐为哈佛大学讲座教授---
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