關於微積分的基本概念——微分（牛頓的和萊布尼茨的）——的本質，長時間處於爭論中。
牛頓認為，弧、弦和切線任何兩個互相的最終比都是等量的比，導數（或者流數）表示變化率，積分(或流量)是導數的逆運算；萊布尼茨認為，微分就是無窮小的差數，是定性的0，微商是微分之比，而積分（面積）是微分的和；歐拉（L.Euler，1707-1783）認為，微分是不同階的0；泊松（S.Poisson，1781-1840)認為無窮小是“小於任何同類性質的給定量”，這些量是真實存在的，而不僅僅是“幾何學家想象得一種研究方法”，微分學的目標就是求無窮小之比。
柯西繼承了牛頓的比的極限說法：當屬於一個變量的相繼的值無限地趨近某個固定值時，如果最終同固定值之差可以隨意地小，那麼這個固定值就稱為所有這些值的極限。
柯西基於“接近”的思想避免了一些早期嘗試中的缺陷。特別是，他既沒有對達到這個極限說什麼，也沒有對超過這個極限說什麼。柯西的所謂“迴避極限”的定義不提及無論怎樣達到極限，僅僅是接近並保持接近它。對他來說，這裡沒有消逝的量，於是貝克萊主教所謂消逝的量的鬼魂也就不復存在了。
圖一 柯西
法國數學家龐加萊（Poincare，1854－1912）說：“我個人，而且還不只我一人，認為重要之點在於，切勿引進一些不能用有限個文字去完全定義好的東西”。他把集合論當作一個有趣的“病理學的情形”來談，並且預測說：“後一代將把（Cantor）集合論當作一種疾病，而人們已經從中恢復過來了”。
數理邏輯學家阿伯拉罕?羅賓遜（Abraham Robinson,1918~1974），1962年去美國在普林斯頓大學的一次報告中指出：現代數理邏輯的概念和方法能為“無窮小”和“無窮大”作為“數”進入微積分提供合適的框架，羅賓遜寫了《非標準分析》一書，Robinson的非標準分析，本書證明了萊布尼茨的思想能夠全面維護。
哥德爾：“我們有理由相信，不論從哪方面看，非標準分析將會成為未來的數學分析。……在未來世紀中，將要思量數學史中的一件大事，就是為什麼在發明微積分學後300年，第一個嚴格的無限小理論才發展起來。”
圖二 哥德爾
一種方法，它能夠放之四海皆準，絕不會是無緣無故的。以Newton和Leibniz思想為內容而以Leibniz表達方式為形式的微積分能夠放之四海皆準，這背後一定隱藏著規律。揭示隱藏在事物背後的規律，才能建立科學的微積分原理。科學實踐證明， 以“直”代“曲”的推演和計算是精確的（而非近似的）；積分是微分的直接累加（根本不須再求極限）。在Cauchy看來，Leibniz的“定性的0”的思想，Euler的“不同階0”的思想，以及Poisson的“小於任何同類性質的給定量”的思想，都不是離成功只差半步的光芒四射的思想，而是他另起爐灶的依據。Newton說：“嚴格地說，消失量的最終比不是最終量之比，而是這些無限減少的量的比的極限。”這樣的話被Cauchy繼承，而Newton光輝奪目的非自遣論斷：“弧、弦和切線任何兩個互相的最終比都是等量的比。” 這樣的充滿真知灼見的思想卻被拋到九霄雲外。從而微積分的演化歷史進入了近兩百年的歷史大迂迴時期。
人類對微積分的要求不應滿足並停留於歷史的大迂迴之中。
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