数的运算之乘法

一．概念描述

现代数学：乘法是数学中的基本运算之一。整数乘法是求几个相同加数的和的简便运算。“乘”亦指乘法的运算办法。一般来说，如果b是一个不小于2的整数，b个相同加数a的和是c，那么c就叫作a与b的积；记作axb=c，或a·b=c；读作a乘b等于c。其中，数a和数b都叫作乘数，乘数又叫作积的因数。符号“×”或“．”都称为乘号。当因数中至少有一个是字母时，乘号可以省略。即2Xa= 2a，axb =ab，或a·b=ab。但当两个因数a与b都是具体的数时，就不能用这种表示方法了。

例如，4+4+4= 12可以表示为3x4=12，也可以表示为4x3 =12。“3x4=12”读作“三乘四等十二”，“4x3= 12”读作“四乘三等于十二”。4和3都是乘数，又叫作积的因数。

当b是1或者0时，补充定义ax1 =a，ax0=0。特别当a=0时，0x0=0。

小学数学：小学数学教材中没有明确的乘法定义。不同版本的教材都是结合生活实例，让学生在数、读的过程中，感受求几个相同加数的和“用乘法算式表示真简便”，体会引入乘法的必要性。

二．概念解读

(1)乘号的产生

数学中的乘号迄今为止还没有达成国际统一的协定。翻开各国外文原版著作就会发现有三派：欧洲大陆和拉丁美洲派用脚点“．”，如3.5= 15（乘号在3的脚下，似我国小数点的位置，称为脚点）；英国和英联邦各派将乘法表示为“3.5= 15”（乘号也为脚点）；美国派则表示为3·5= 15（乘号在3与5正中间）。我国与美国相同。

乘“.”是英国代数奠基人哈里奥特在1621年前的《实用分析术》一书中首先用到的。1637年，法国数学家笛卡儿在其名著《方法谈》中曾用“．”表示乘法。创用的乘法记号有“·”、“×”、“．”和“省略乘号”，即“a·b”、“ax6”、“a.b”、“ab”（省略乘号，一般在字母前和括号前省略）。一意多符和一符多意都不好，乘法记号它们形异意同，都表示乘号的记号，不同场合人们使用不同的乘号。“×”在某些场合很好用，如3×4，写成3·4也正确，但与小数点易混。省略乘号也不是在所有场合都适合，如3x4省略点后，写成34就不正确了；又如axb=ab=a·b．几种形式都适合。

(2)乘法是特殊的加法

乘法运算和加法运算有密切联系。英国数学家奥特雷德在《数学入门》中，创造了150个数学符号。经过历史的冲刷，这些符号中只剩下有生命力的少数几个，乘号“×”就是其中的一个。关于奥特雷德是怎样发现乘号的，寓于想象的人们进行了蕴含哲理的精辟的解释：奥特雷德认为乘法是增加的意识，是一种特殊的加法，但又和加法有所不同，于是他把“+”斜过来，便得到了乘法的记号。因此，小学数学中，乘法表示求几个相同加数连加的简便运算。

三．教学建议

(1)站在加法的船上看乘法

乘法概念的建立与同数连加有着密切的联系，而同数连加算式的意义也是导出乘法意义的缘由。教学中，要让学生切实理解相同加数的概念、同数连加的意义。这可以选择生活中需要用加法解决的实际问题，列出加法算式，如2+4，5+3，2+2+2，3+3+3，6+6+6+6。再把这些加法算式进行分类，观察、比较，发现有一类加法算式的加数比较特殊，从而出示“相同加数”的概念：并且使学生能看出每个加法算式中的相同加数是几，数出“相同加数的个数”，为建立乘法概念奠定知识上的基础。

(2)结合具体情境理解乘法意义

因为取消了被乘数与乘数的区分，所以教师通常要在具体的情境下引导学生去理解乘法算式所表示的意义，一般不要求学生脱离具体情境抽象地理解算式的意义。如2004年北师大版教材一：年级上册中，通过解决“有几块积木”的问题，让学生体会到由于观察角度的不同，积木数量可以看成7个5，也可以看成5个7，用乘法算式表示可以写成7x5或5x7。因为它们的和相同，因而不必区分被乘数与乘数。那么5x7表示什么意义？它不仅表示7个5，也表示5个7。

教师也要让学生知道，结合具体情境，如“3个人，每人有2元，共有几元？”，可列出乘法算式3x2或2x3。但此时，它只表示3个2。显然，数学上的抽象性与具体问题具体分析的原则在乘法意义的学习中有了具体体现。

(3)结合具体情境理解整数乘法意义

关于如何理解整数乘法的意义，我们来看马明燕老师的一个教学设计：

①观察下图，说说一共有几个橘子。

怎样引导学生解决这个问题呢？教师可以让学生先说图意，再列出2道加法算式和2道乘法算式；也可以先列出算式，再说出所列算式的意思。

②在活动中加深对乘法的认识。

教师可以先让学生观察刚才列的四个算式中，哪些相同？哪些不同？这样意在让学生体会三点：同一个问题观察的角度不同，会有不同的解决方法；知道3个6与6个3的意义不同，但是和相同；3个6与6个3的和相同，意义不同，但乘法算式写法可相同。因此，学生可以感悟到“写乘法竹式可以交换因数的位置”，从而为一句口诀可以解决两道乘法算式做铺垫。

继而教师可以再让学生比较：3+3+3+3+3+3=18与6x3 =18或3x6=18。3个6连加的和可以用加法表示，可以写成6x3或3x6。然后再想象：如果10个6连加呢？100个6连加呢？这个算式写出来会是什么样呢？从而悟出：如果用加法表示会写很长，写很多个3相加，黑板都写不下了……而乘法算式写起来比较简便。然后再让学生读读加法算式和相乘法算式，发现乘法算式读起来比较简便。

进一步质疑：2+1+4=7能不能写成乘法算式？为什么？从而让学生深刻体会求几个相同加数的和用乘法读、写都简便，以后学习了乘法口诀计算起来会更简便。

③看书自学乘法算式的各部分名称。

6 × 3 = 18

· · ·

· · ·

因数 因数 积

(1)《数学符号史》（徐品方、张红，科学出版社，2007）

该书第118页《没有统一的×、÷号》一文，详细介绍了×、÷号的历史沿革。

(2)《让学生获得什么样的基础知识---以“乘法初步认识”为例》（刘加霞、高丽杰，《小学教学（数学版）》，2007年第2期）

该文介绍了“乘法的初步认识”的两节案例，通过对比分析，探讨了“让学生获得什么样的基础知识”这样一个问题，并阐述了如何设计有过程的教学，从而促进学生高水平的理解。